Devoir maison 5

DM 5
PTSI
2016-2017
Devoir maison 5
A rendre le 01/12/2016 au plus tard.
Exercice 1
Résoudre sur R∗+ l’équation différentielle y 0 + 1t y =
1
t3 −4t2 +8t .
Exercice 2
Soient b et c deux réels. On s’intéresse aux solutions réelles de l’équation différentielle homogène
y 00 + by 0 + cy = 0 (EH )
On suppose que b2 − 4c > 0.
1. Donner les racines r1 et r2 du trinome r2 + br + c, et rappeler les relations coefficients-racines (qui premettent
d’exprimer en fonction de b et c : r1 + r2 et r1 r2 ).
2. Montrer que toute fonction de la forme t 7→ eri t , i ∈ {1, 2}, est solution de (EH ) sur R.
3. Montrer que pour toute solution y de (EH ) sur R :
(y 0 − r1 y)0 − r2 (y 0 − r1 y) = 0
4. Montrer que pour toute solution y de (EH ) sur R il existe deux constantes réelles C1 et C2 telles que :
∀t ∈ R y 0 (t) − r1 y(t) = C2 er2 t et y 0 (t) − r2 y(t) = C1 er1 t
5. En déduire que toute solution sur R de l’équation (EH ) est de la forme :
t 7→ λ1 er1 t + µer2 t
où (λ, µ) ∈ R2 .
6. Etude d’un cas particulier : b = 0 et c = −16.
(a) Donner l’ensemble des solutions sur R de l’équation différentielle homogène (EH ) dans ce cas particulier.
(b) On adjoint à l’équation différentielle (EH ) les conditions initiales :
y(0) = 2e, y 0 (0) = 0
Combien de solutions sur R admet alors ce problème de Cauchy ? Expliciter ensuite ces solutions.
Remarque : nous avons prouvé la réciproque du résultat de la question 5 en cours : toute combinaison des t 7→ eri t est
une solution de (EH ) sur R.