TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE

TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE
1. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
Si les angles de deux triangles sont isométriques deux à deux, alors on dit que ces deux triangles
sont semblables.
Dans le cas particulier des triangles rectangles, il suffit donc que l'un des angles aigus du premier
soit isométrique à l'un des angles aigus du second pour que ces deux triangles soient semblables.
On sait que, lorsque les triangles sont semblables, les côtés homologues sont proportionnels.
Ainsi dans notre exemple,
a b c
= =
a' b' c'
a
b
c
= =
a" b" c"
a' b' c'
= =
a" b" c"
Par transitivité de l'égalité et par permutation des moyens et des extrêmes, on obtient
a a' a"
= =
c c' c"
b b' b"
= =
c c' c"
a a' a"
= =
b b' b"
Une fois l'angle α fixé, ces rapports le sont également.
Par définition, le rapport
a a' a"
= =
c c' c"
sera appelé sinus de l'angle α et noté sin α ;
le rapport
b b' b"
= =
c c' c"
sera appelé cosinus de l'angle α et noté cos α ;
le rapport
a a' a"
= =
b b' b"
sera appelé tangente de l'angle α et noté tan α
1
ou
sin α =
cathète opposée à l' angle α
hypoténuse
cos α =
cathète adjacente à l' angle α
hypoténuse
tan α =
cathète opposée à l' angle α
cathète adjacente à l' angle α
Les valeurs des fonctions trigonométriques ne dépendent pas du nom donné à l'angle, mais
uniquement de sa mesure !
Exercices :
1. Par construction et par mesure, estimer l'angle dont la tangente vaut 3,5.
2. Même question pour un angle dont le cos inus vaut 0,4.
3. Même question pour un angle dont le sinus vaut 0,7.
4. Par construction et par mesure, estimer sin 53° , cos 53° , tan 53° .
5. Par des considérations géométriques, établir les valeurs exactes de sin α , cos α , tan α
pour α = 30° , α = 60° , α = 45° .
Quelques propriétés :
-
Les cathètes ayant des mesures plus petites que l'hypoténuse, pour tout angle α aigu
sin α < 1 et cos α < 1 .
-
La cathète opposée à l'angle α étant adjacente à l'angle 90° − α et la cathète adjacente à
l'angle α étant opposée à l'angle 90° − α , on a
et
sin(90° − α ) = cos α
cos(90° − α ) = sin α
Il suffit donc de connaître les sinus et les cosinus des angles compris entre 0° et 45° pour
connaître les sinus et les cosinus de tous les angles aigus.
-
côté opposé
sin α
hypoténuse
côté opposé hypoténuse
côté opposé
=
=
⋅
=
= tan α
côté
adjacent
cos α
hypoténuse côté adjacent côté adjacent
hypoténuse
2
sin α
cos α
2
2
2
1
Par Pythagore , (côté opposé ) + (côté adjacent ) = (hypoténuse )
Pour tout angle α aigu, tan α =
-
(côté opposé )2 + (côté adjacent )2
(hypoténuse )2 (hypoténuse )2
2
=1
2
 côté opposé 
 côté adjacent 

 + 
 = 1
 hypoténuse 
 hypoténuse 
(sin α )2 + (cos α )2 = 1
sin 2 α + cos 2 α = 1
-
d’où
sin 2 α cos 2 α
1
+
=
2
2
cos α cos α cos 2 α
1
 sin α 

 +1=
cos 2 α
 cos α 
2
1 + tan 2 α =
1
cos 2 α
Quel que soit l'angle aigu, il suffit de connaître son sinus, son cosinus ou sa tangente pour
connaître les deux autres fonctions trigonométriques.
En résumé, il suffit donc de connaître une des fonctions trigonométriques des angles compris
entre 0° et 45° pour connaître les trois fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) de
tous les angles aigus.
1
e
PYTHAGORE, mathématicien et philosophe grec (VI siècle avant J-C)
3
Exercices :
6. Un triangle ABC est rectangle en C. Résoudre ce triangle connaissant :
c = 4 ,75
c) a = 48,5
e) a = 22 ,3
a)
β = 65,8°
α = 53,5°
c = 25,43
d) a = 112 ,4
b)
a = 12 ,30
β = 14,3°
b = 41,6
7. Un triangle ABC est isocèle en A. Résoudre ce triangle connaissant :
a)
c)
α = 48,5°
β = γ = 72,4°
a = 22 ,8
a = 8,5
b)
d)
α = 103,4°
β = γ = 32,9°
b = c = 4 ,3
b = c = 18,7
8. Connaissant la base a = 15 et l’angle au sommet α = 40° d’un triangle isocèle, calculer les
côtés égaux, les hauteurs, le rayon du cercle inscrit, le rayon du cercle circonscrit et l’aire du
triangle.
9. Calculer le périmètre d’un polygone régulier à cinq côtés (pentagone) inscrit dans un cercle de
rayon 2.
10. Un polygone régulier convexe à 15 côtés a une aire égale à 1500. Calculer la longueur de son
côté et le rayon du cercle dans lequel il est inscrit.
11. Un pentagone étoilé régulier est inscrit dans un cercle de rayon 25. Calculer la longueur de
son côté.
12. Un homme aperçoit un arbre vertical sous un angle de 38,6°. Il recule de 25 m et voit l’arbre
sous un angle de 18,3°. Quelle est la hauteur de l’ arbre ? On admettra que l’œil est à la
hauteur du pied de l’arbre.
13. Une route s’élève régulièrement en formant avec l’horizontale un angle de 4,5°. Quelle
distance horizontale parcourt-on lorsqu’on a suivi la route durant 6,4 km ? De combien s’eston élevé ?
14. La voûte d’un tunnel routier est un arc de cercle d’angle au centre 220°. Calculer le rayon de
cet arc de cercle pour que la largeur de la route soit de 12 m. Calculer la hauteur maximum de
la voûte au-dessus du sol.
15. Deux observateurs situés à la même altitude distants de 1350 m mesurent au même moment
les hauteurs d’un point remarquable d’un nuage situé entre les deux. Ce point est dans le plan
vertical contenant les deux observateurs et les angles d’élévation sont de 65,4° et 76,5°.
Quelle est la hauteur du nuage ?
16. Deux poulies de diamètres 122 cm, respectivement 88 cm, sont reliées par une courroie de
transmission. La distance entre les deux axes des poulies est de 400 cm. Quelle est la
longueur de la courroie ? (2 possibilités)
4
2. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
Théorème du sinus
Considérons le triangle BOC. D'après une propriété sur les angles inscrits et les angles au
centre, l'angle au sommet O vaut 2α .
Le triangle BOC étant isocèle, la médiatrice du côté BC est également bissectrice de l'angle en
O. Par conséquent, le triangle BOA' est rectangle et l'angle BOA' vaut donc α .
On peut appliquer les définitions précédentes.
d'où sin α =
BA'
=
r
1
2
BC
r
=
a
2r
a
ou 2r =
.
sin α
Les angles α , β , γ étant quelconques, on a
par analogie, 2r =
b
c
et 2r =
.
sin β
sin γ
D'où
a
b
c
=
=
= 2r
sin α sin β sin γ
appelé théorème du sinus
Remarque :
a
= 2r
sin α
a
= 2r
Dans le triangle BCD, on a
sin δ
Donc sin δ = sin α .
Dans le triangle ABC, on a
Mais comme le quadrilatère ABDC est inscrit
dans un cercle, les angles α et δ sont
supplémentaires, c'est-à-dire δ = 180° − α .
D'où la propriété :
sin(180° − α ) = sin α
Cette relation permet de déterminer le sinus d'un angle obtus par construction et par mesures.
5
Dans le cas particulier où α = 90° , le côté
opposé a vaut 2r . Il s'ensuit que sin 90° = 1
Il existe deux angles, l'un aigu, l'autre obtus ayant une valeur donnée pour le sinus.
La donnée du sinus d'un angle ne suffit pas à déterminer cet angle de manière univoque.
Théorème du cosinus
Considérons le triangle ABC et H le pied de la hauteur issue du sommet B.
Envisageons deux des trois cas possibles : α aigu ou α obtus.
α aigu
α obtus
BC 2 = BH 2 + CH 2 = BA 2 − HA 2 + (CA − HA)
BC 2 = BH 2 + CH 2 = BA 2 − HA 2 + (CA + HA)
2
= BA 2 − HA 2 + CA 2 − 2 ⋅ CA ⋅ HA + HA 2
= CA 2 + BA 2 − 2 ⋅ CA ⋅ HA
= BA 2 − HA 2 + CA 2 + 2 ⋅ CA ⋅ HA + HA 2
= CA 2 + BA 2 + 2 ⋅ CA ⋅ HA
a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos(180° − α )
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
D'où, si on pose cos(180° − α ) = − cos α , la relation
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
appelée théorème du cosinus.
Cette relation est encore vraie si l'on permute les lettres !
Dans le cas particulier où α = 90° (troisième cas), on a 180° − α = 90° = α
Comme cos(180° − α ) = − cos α , on obtient cos 90° = − cos 90° , c'est-à-dire
cos 90° = 0 .
Le théorème du cosinus s'écrit alors a = b + c connu sous le nom de théorème de Pythagore.
2
2
2
Quelques propriétés :
-
Puisque sin(180° − α ) = sin α , quel que soit α , 0° < α < 180° , on a 0 < sin α ≤ 1
6
2
-
Puisque cos(180° − α ) = − cos α , quel que soit α , 0° < α < 180° , on a − 1 < cos α < 1 et
cos α ≠ 0 .
-
La formule sin 2 α + cos 2 α = 1 est encore vraie pour des angles α obtus.
En effet si α est obtus, 180° − α est aigu et donc sin 2 ( 180° − α ) + cos 2 (180° − α ) = 1 .
Mais comme sin(180° − α ) = sin α et cos(180° − α ) = − cos α , on a sin 2 α + (− cos α ) = 1
2
ou encore sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Exercices :
17. Résoudre les triangles ABC donnés par :
a = 70 ,1
b) a = 85,8
a)
γ = 31°
β = 117 ,8°
b = 82 ,1
c = 57 ,3
18. Résoudre les triangles ABC donnés par :
a = 5,3
b) β = 58,2°
a)
α = 38°
γ = 39,4°
β = 73°
a = 30 ,69°
19. Résoudre les triangles ABC donnés par :
a = 41,9
b) a = 35,4
a)
b = 96 ,9
b = 77 ,7
c = 107 ,3
c = 109 ,6
20. Résoudre les triangles ABC donnés par :
a)
b)
c)
d)
β = 30,65°
β = 39,4°
β = 15,5°
γ = 11,15°
a = 98,1
a = 460 ,1
a = 345,5
b = 136 ,63
b = 364 ,1
b = 335,6
b = 229 ,1
c = 153,37
21. Soit le triangle ABC et le point D appartenant au côté BC tels que :
-
le côté AB vaut 22,8
l’angle CAB vaut 30°
l’angle DAB vaut 20°
l’angle ABC vaut 120°
Calculer les longueurs de tous les segments.
22. Calculer les longueurs des bissectrices d’un triangle dont on donne les trois cotés
a = 62 ,5 b = 48,2 c = 37 ,8
23. Un observateur voit un satellite sous un angle de 35° avec la verticale. Sachant que le satellite
gravite à 1000 km au-dessus de la surface de la terre et que le rayon terrestre vaut 6370 km,
calculer la distance qui sépare l’observateur du satellite.
24. Un point B est inaccessible et invisible à partir d’un point A. Pour trouver la distance AB, on
choisit deux points C et D, alignés avec A, d’où l’on voit les points A et B. On mesure les
distances AD=432,3m et AC=521,8 m, ainsi que les angles ADB=55,3° et ACB =41,6°.
Calculer la distance AB.
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