Les fonctions trigonométriques

M"
Les fonctions trigonométriques
2
M
I. Le cercle trigonométrique
1
(
)
Définition: dans un repère orthonormal O; i; j le cercle de centre O et de rayon 1 est appelé cercle
0
trigonométrique. On repère les points de ce cercle par enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique en partant du point O'(1;0):
A tout nombre réel x correspond un unique point M du cercle trigonométrique.
Ä
x est alors une mesure de l'angle orienté de vecteurs (O
O′ ; Ä
OM)
Réciproquement à tout point M du cercle trigonométrique correspondent une infinité de nombres
réels obtenus en faisant plusieurs tours (dans un sens ou dans l'autre)
x et x' sont deux mesures du même angle orienté si et seulement si x' = x+k2π avec k☻Z
-1
-2
on note x' = x [2π]
Exemples :
cas particuliers:
1
II. Les fonctions trigonométriques
sin(x)
1. Définitions
A tout nombre réel x correspond un point M du cerce trigonométrique.
La fonction cosinus est la fonction qui à x associe l'abscisse du point M
La fonction sinus est la fonction qui à x associe l'ordonnée du point M
Exemples :
–1
x
0
cos(x) 1
–1
Courbe représentative de la fonction sinus :
x=0.8
-3 π
O
5π
2
-8
-
-2 π
-
3π
2
π
π
- ≈0.72
sin(0.8)
-π
2
2
o x=0.8
-4
3π
2
π
2π
4
5π
2
x
Courbe représentative de la fonction cosinus :
x=0.8
O
cos(0.8)≈0.7
-3 π
5π
2
-8
-
-2 π
-
3π
2
π
π
cos(0.8)
- ≈0.7
-π
2
2
o x=0.8
-4
3π
2
π
4
2π
5π
2
8
3π
x
2. Les racines et les extrema
Les racines:
cos(x)=0 ñ
1
sin(x)=0 ñ
Encadrement des images : pour tout nombre réel x :
–1 Â cos(x) Â 1
–1 Â sin(x) Â 1
Les extrema:
cos(x)= 1ñ
cos(x)= –1ñ
–1
0
1
sin(x)= 1ñ
sin(x)= –1ñ
–1
3. Les valeurs particulières
y
1
0.5
un carré de diagonale 1 a pour côté
2
2
un triangle équilatéral de côté 1 a pour hauteur
x
0
π
6
π
4
3
2
π
3
-1
o
-0.5
0.5
1
π
2
-0.5
cos(x)
sin(x)
-1
On obtient les valeurs dans les autres quadrants par symétrie d'axe des abscisses ou des ordonnées.
Exemples :
III. Propriétés des fonctions trigonométriques
1. Périodicité
Pour tout nombre réel x,
cos(x+2π) = cos(x)
1
sin(x+2π) = sin(x)
Conséquence: pour tout nombre entier relatif k,
cos(x+2kπ) = cos(x)
conséquence: sin(x+2kπ) = sin(x)
–1
0
1
1
–1
2. Symétries
Pour tout nombre réel x
cos(–x) = cos( )
La fonction cos est paire
sin(–x) = sin( )
La fonction sin est impaire
–1
0
1
–1
1
3. Lien entre sinus et cosinus
Pour tout réel x, on a :
cos²(x)+sin²(x)=1
–1
0
–1
1