1 Applications en trigonométrie 2 Applications aux

Applications du produit scalaire
1
Applications en trigonométrie
Théorème (Formules d’addition)
Pour tous réels a et b :
• cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
• sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
• cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
• sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a)
Proposition (Formules de duplication - corollaires des formules d’addition)
Pour tout réel a :
• cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a)
• sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
2
Applications aux triangles
Les propriétés énoncées dans ce paragraphe permettent de calculer des longueurs et des mesures d’angles dans des
situations très variées.
Dans tout ce paragraphe, a, b et c désignent les longueurs respectives des côtés [BC], [AC] et [AB] et A, B et C
÷ ABC
÷ et BCA
÷ d’un triangle non aplati ABC.
les mesures respectives des angles géométriques CAB,
2.1
Théorème d’Al-Kashi
Théorème
(d’Al-Kashi ou de Pythagore généralisé)
2
2
2
a = b + c − 2 × b × c × cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2 × a × c × cos(B)
Proposition
(Corollaire du théorème d’Al-Kashi)
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
cos(B) =
cos(A) =
2×b×c
2×a×c
2.2
c2 = a2 + b2 − 2 × a × b × cos(C)
cos(C) =
a2 + b2 − c2
2×a×b
Formule de la médiane
Théorème (Formule de la médiane)
1
Si I désigne le milieu de [BC] alors 2AI 2 = b2 + c2 − a2 .
2
2.3
Loi des sinus
La loi des sinus (également appelée formule des trois sinus) n’est pas une application du produit scalaire au sens où
celui-ci n’intervient pas dans la preuve mais c’est un résultat qui trouve naturellement sa place dans ce paragraphe
car, comme nous pourrons le voir dans les exercices, c’est un outil complémentaire au théorème d’Al-Kashi.
Commençons par énoncer un résultat qui interviendra dans la preuve de la loi des sinus.
Proposition (Aire d’un triangle)
1
1
1
Si A désigne l’aire du triangle ABC alors A = ab sin(C) = ac sin(B) = bc sin(A).
2
2
2
Proposition (Loi des sinus ou formule des trois sinus)
Å
a
b
c
a×b×c
=
=
=
sin(A)
sin(B)
sin(C)
2A
2.4
ã
Triangles semblables (HP)
Définition
Deux triangles sont dits semblables lorsque les mesures des angles de l’un sont respectivement égales aux mesures
des angles de l’autre.
Proposition
Deux triangles sont semblables dès que les mesures de deux angles de l’un sont respectivement égales à celles de
deux angles de l’autre.
Applications du produit scalaire
Proposition
Deux triangles sont semblables si, et seulement si, les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs
des côtés de l’autre, c’est à dire si, et seulement si, l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre.
Terminologie
Soient deux triangles non aplatis ABC et M N P .
÷ =M
◊
÷ =N
◊
Si ABC
N P et si BCA
P M alors, la somme des mesures des angles d’un triangle étant égale à 180◦ ,
÷=P
◊
CAB
M N et les deux triangles sont semblables.
Les côtés opposés aux angles égaux sont dits homologues ; ainsi, [AB] et [M N ] sont homologues, [AC] et [M P ]
sont homologues et [BC] et [N P ] sont homologues.
Comme les triangles ABC et M N P sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles
et il existe un réel strictement positif k tel que :
AB
AC
BC
AABC
=
=
= k et
= k2
MN
MP
NP
AM N P
Ce réel k est appelé rapport de similitude (ou coefficient d’agrandissement-réduction) de M N P vers ABC
et on distingue les cas suivants :
• si 0 < k < 1 alors ABC est une réduction de M N P ;
• si k = 1 alors ABC et M N P sont isométriques (ou superposables) ;
• si k > 1 alors ABC est un agrandissement de M N P .
Le rapport de similitude de ABC vers M N P est 1/k
3
Applications aux droites et aux cercles
Dans tout ce paragraphe, on munit le plan d’un repère orthonormal (O; #»
ı , #»
 ).
Définition
Un vecteur non nul #»
n est dit normal à une droite donnée lorsque #»
n est orthogonal à un vecteur directeur de cette
droite.
Remarque Dire qu’un vecteur #»
n est normal à une droite d donnée signifie que #»
n est un vecteur non nul orthogonal
à tout vecteur directeur de d.
Propositions
Soient a, b et c trois réels tels que (a;Çb)å6= (0; 0).
a
• Toute droite de vecteur normal #»
n
admet une équation (cartésienne) de la
ax + by + c = 0.
Ç forme
å
b
a
• Réciproquement, toute droite d’équation ax + by + c = 0 admet le vecteur #»
n
pour vecteur normal.
b
Propositions
• Soient a, b, c, a′ , b′ et c′ six réels tels que (a; b) 6= (0; 0) et (a′ ; b′ ) 6= (0; 0) et D et D ′ deux droites d’équations
respectives ax + by + c = 0 et a′ x + b′ y + c′ = 0.
D et D ′ sont perpendiculaires si, et seulement si, aa′ + bb′ = 0.
• Deux droites sécantes aux axes de coordonnées sont perpendiculaires si, et seulement si, le produit de leurs
coeffcients directeurs est égal à (−1).
Propositions
Soient a, b et c trois réels tels que (a; b) 6= (0; 0).
• Le cercle de centre A (xA ; yA ) et de rayon r (r > 0) a pour équation (x − xA )2 + (y − yA )2 = r2 .
• Réciproquement, l’ensemble des points M de coordonnées (x; y) vérifiant (x − a)2 + (y − b)2 = c2 est un cercle
de centre I (a; b) et de rayon |c|.
Remarque En développant le membre de gauche de l’équation (x − a)2 + (y − b)2 = c2 puis en retranchant c à
chacun des deux membres, on obtient x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − c2 = 0.
Une équation de cercle est donc de la forme x2 + y 2 + αx + βy + γ = 0 mais toute équation de ce type ne conduit
pas nécessairement à un cercle.