TS1 année 2012/2013 mathématiques CHAPITRE 8 La fonction logarithme népérien (ln) I – Existence de la fonction logarithme népérien. 1- Définition du logarithme d'un nombre réel strictement positif. La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur IR et à valeurs dans IR+* Soit a un réel tel que a > 0. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction exp , il existe un et un seul réel b tel que exp(b) = a . DEF : pour tout nombre réel a > 0 , on appelle ln(a) l'unique nombre réel tel que exp(ln(a)) = a. b e =a si et seulement si b = ln(a). Ainsi : 2- La fonction ln. En vertu de ce qui précède on peut attribuer à tout réel x > 0 un nombre tel que exp(ln(x)) = x La fonction qui à x associe ln(x) s'appelle la fonction logarithme népérien. Elle est définie sur IR+* et à valeurs dans IR. Cette fonction est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle existe puisqu'on a supposé l'existence de la fonction exponentielle. Nous verrons plus tard grâce aux primitives comment prouver correctement l'existence des deux fonctions. 3-Propriétés algébriques REGLES DE CALCUL (à bien connaître). b e =a <=> b = ln(a) • Soit a >0 : • ln(1) = 0 • si si • Si a >0 et b > 0 : ln(e) = 1 0<a<1 1<a alors alors ln(2) ≈ 0,693 (valeur d'usage assez fréquent) ln(a) < 0 ln(a) > 0 ln (a b)=ln (a)+ln(b) a ln ( )=ln(a)−ln (b) b 1 ln ( )=−ln (a) a (1) (2) (3) Le logarithme transforme un produit en somme, un quotient en différence et l'inverse en l'opposé. • dem (1) : Soient a et b deux réels strictement positifs. Il existe deux nombres réels c et d tels que d e =b . Par propriété de la fonction exponentielle on a : e c d c +d ln (a b)=ln (e . e )=ln(e )=c+ d . Or c = ln(a) et d = ln(b) donc : ln (a b)=ln (a)+ln(b) ROC c+d c =e .e • dem (3) : On applique la règle (1) avec b = 1/a 1 1 ln (a b)=ln (a)+ln(b) donne ln (a . )=ln (a)+ln ( ) donc a a 1 ln (1)=0=ln(a)+ln ( ) , ce qui donne la propriété (3) a • dem (2) On applique la propriété (1) en changeant b en 1/b. On obtient : 1 1 ln (a . )=ln(a)+ln ( )=ln(a)−ln(b) d'après (3) b b d donc : c e =a et TS1 année 2012/2013 • mathématiques n Soit n est un entier naturel : ln (a )=n ln (a) (Cette propriété est encore vraie si n est un entier relatif). ( la démonstration se fait facilement par récurrence en utilisant la règle (1) – exercice : faites la) • Soit n un entier naturel non nul : • soit a > 0 1 n 1 1 ln (a )= ln (a) (en particulier ln ( √ a)= ln (a) ) n 2 ln(a) e =a b ln (e )=b soit b un réel quelconque : II- Etude de la fonction ln. • Courbe (obtenue par symétrie de la courbe de la fonction exponentielle par rapport à la première diagonale) • Continuité. Comme la fonction ln est définie comme la réciproque de la fonction exp qui est continue, ln est continue sur son ensemble de définition ]0 ; + ∞[. • Limites aux bornes de l'ensemble de définition Par utilisation des limites connues de la fonction exp, on en déduit : lim ln( x)=−∞ et x →0, x>0 • lim ln ( x)=+∞ x →+∞ Dérivabilité. La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et ROC ln( x) dem : La relation e calculer la dérivée de ln. On pose u(x) = ln(x). La dérivée de la fonction ln ' ( x)= 1 x pour x > 0. u =x et la formule de dérivation : (e )'=u ' e e ln( x) pour x > 0 est : u ' ( x)e u (x ) u =u ' ( x)e nous permettent de ln(x ) =u' ( x)×x . TS1 année 2012/2013 Or mathématiques e ln( x) =x donc la dérivée de e ln( x) est aussi la dérivée de la fonction x → x . ln x u ' ( x)× x=(e )' =1 et par conséquent : u ' ( x)= On obtient donc : 1 x • Sens de variations La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ puisque sa fonction dérivée est strictement positive sur cet intervalle. On en déduit que 0 < a < b => ln(a) < ln(b) III – Quelques compléments... 1- formule de dérivation avec ln. Soit u une fonction dérivable sur son ensemble de définition et telle que u(x) est toujours strictement positif. Alors la fonction ln o u est dérivable et pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de u : (ln(u( x)))' = u ' ( x) u( x) 2- Une limite utile. lim • x →0, x>0 ln( x+1) =1 x dem (ROC ?) : La fonction ln est dérivable en 1. Son nombre dérivé au point 1 est égal à ln'(1) = 1/1 =1. Par définition du nombre dérivée de ln en 1 on peut dire que lim x →0, x> 0 ln ( x+1) ln ( x+1)−ln (1) = lim =ln ' (1)=1 x ( x+1)−1 x →0, x >0 3- Croissance comparée avec les fonctions puissances. lim • • x →+∞ ln ( x) =0 x pour tout entier naturel n non nul : lim x →+∞ ln ( x) n =0 x ln( x) ROC Dem : Soit x un nombre réel positif alors : e =x ln( x) ln( x) On a donc : = ln(x ) . x e ln ( x) ln( x) X Posons X = ln(x) on obtient : = ln (x ) = X . x e e Or quand x → + ∞, ln(x) → + ∞ donc X → + ∞ . X X e Or on sait que lim =+∞ donc lim X =0 par quotient de limites. X →+∞ X X →+∞ e ln ( x) =0 par composition de limites. x x →+∞ L'extension à la deuxième limite s'obtient par produit de limites en décomposant la ln( x) ln( x) 1 fonction sous la forme : × n−1 pour n > 1. n = x x x Par conséquent : lim