chapitre 4 propriétés fondamentales des fonctions - IMJ-PRG

CHAPITRE4
PROPRI´ ET´ ESFONDAMENTALESDES
FONCTIONSHOLOMORPHES;FONCTIONS
M´ EROMORPHESETR´ ESIDUS
4.1.Propri´et´esfondamentalesdesfonctionsholomorphes
4.1.1.Lesin´egalit´esdeCauchy.—
Notation4.1.1.—SiXestun espace compactetu:X→Cunefonctioncontinue,on
note:
||u||X=sup
x∈X|u(x)|∈[0,+∞[.
Sif∈O(Ω)etD(a,r)⊂Ω,ona obtenu laformule(25).Comptetenu delarelationentre
lescoefficientsd’unes´erie enti`ere convergente etlesd´eriv´eesdesasomme,onadonc:
(27)f(n)(a)
n!=1 2iπZ∂D(a,r)
f(ζ)
(ζ−a)n+1dζ.
On d´eduitlesestimationsdeCauchy:
Th´eor`eme4.1.2(In´egalit´esdeCauchy).—SoitΩunouvertdeCetf∈O(Ω).Pour
toutD(a,r)⊂Ω,et toutn∈IN,ona
|f(n)(a)|≤n!r−n||f||C(a,r).
Voiciuneapplication:
Th´eor`eme4.1.3(Liouville).—Toutefonctionenti`ere born´ee estconstante.
D´emonstration.—SoitM=supz∈C|f(z)|.On´ecritlesin´egalit´esdeCauchyen0.Pour tout
n∈INet toutr>0:
|f(n)(0)|≤n!Mr−n.
Enfaisant tendrervers+∞,onobtientf(n)(0)=0,saufpourn=0.Commefestlasomme
desas´eriedeTayloren0,f≡f(0).
Uneautred´emonstration.—On´ecritseulementlesin´egalit´espourn=1,maisentoutpoint
a∈C.Onobtient|f′(a)|≤M/rpuisf′≡0...
Onretrouve en particulierleTh´eor`emeded’Alembert-Gauss :
Corollaire4.1.4.—Unpolynˆomenonconstantauneracine.
48 CHAPITRE4.PROPRI´ ET´ ESDESFONCTIONSHOLOMORPHES
D´emonstration.—Eneffet,siP∈C[z]nes’annulepas surC, lafonctionz7→ 1/P(z)est
unefonctionenti`erequitend vers0 `a l’infini, doncborn´ee.Elle estconstante(Th´eor`emede
Liouville)doncaussiP.
Onala g´en´eralisationsuivantedesin´egalit´esdeCauchy:
Th´eor`eme4.1.5.—SoitΩunouvertdeCetf∈O(Ω).SoitKuncompactcontenudans
Ωet0<r<d(K,∂Ω).NotonsK(r)={z∈C,d(z,K)≤r};c’estuncompactcontenudans
Ω.Pourtoutn∈IN,ona:
||f(n)||K≤n!r−n||f||K(r).
D´emonstration.—Eneffet,sia∈K,D(a,r)⊂K(r).Ilsuffitd’´ecrirelesin´egalit´esdeCauchy
ena.
4.1.2.Leprincipedu maximum.—
Th´eor`eme4.1.6(Principedu maximum).—SoitΩunouvertconnexedeC.Siune
fonctionf∈O(Ω)aunmaximumlocalena∈Ω,elle estconstante.
D´emonstration.—L’hypoth`esesignifiequ’il existeD(a,r)⊂Ω,telque
z∈D(a,r)⇒|f(z)|≤|f(a)|.
Ilsuffitdemontrerquef≡f(a)auvoisinagedea; leprincipedu prolongementanalytiqueper-
metalorsde conclure.C’est´evidentsif(a)=0.Onsupposedoncf(a)6=0.Lad´emonstration
estsimilaire`a cellequ’onadonn´eauChapitre1du Th´eor`emeded’Alembert-Gauss.
Soit
z∈D(a,r),f(z)
f(a)=1+
+∞
X
n=1
an(z−a)n,
etsupposonsfnonconstante.Ilexistedoncp∈IN∗telque:
f(z)
f(a)=1+ap(z−a)p+|z−a|pε(z−a)
etap6=0.Soitap=ρeiφ(formetrigonom´etrique);onobtient
f(a+te−iφ/p)
f(a)=1+ρtp+tpε(t)
pour toutt≥0petit,donc|f(a+te−iφ/p)/f(a)|>1si0≤testassez petit:|f|n’apasde
maximumlocalena.
Pourvarier,onadonn´eune«d´emonstrationanalytique»maison d´emontrefacilementle
principedu maximumen utilisantlaformuledeCauchy:
Exercice 4.1.7.—D´emontrerleth´eor`emepr´ec´edenten utilisantlaformuledelamoyenne,
voir§4ci-dessous.
On utilisesouventlaformesuivantedu principedu maximum:

4.1.PROPRI´ ET´ ESFONDAMENTALESDESFONCTIONSHOLOMORPHES49
Corollaire4.1.8.—SoitΩunouvertborn´edeCetfunefonctioncontinueΩ→C,
holomorphesurΩ.Ona:
||f||Ω=||f||∂Ω.
L’hypoth`esequeΩestborn´e estcruciale,etleserreursdes´etudiantsquiappliquentleprincipe
du maximumfoisonnantes.
D´emonstration.—Onseram`eneaucasd’un ouvert connexe.CommeΩestborn´e,Ωest
compact,donc|f|estborn´ee surΩetil existea∈Ωtelque||f||Ω=|f(a)|.Sia∈∂Ω,c’est
termin´e.Sia∈Ω,festconstantesurΩd’apr`esleth´eor`emepr´ec´edent,doncsurΩ;c’estencore
termin´e.
L’applicationsuivantedu principedu maximumestsouventutile:
Th´eor`eme4.1.9(LemmedeSchwarz).—Soitfunefonctionholomorphesurledisque
unit´eD=D(0,1),telle que:
|f(z)|≤1pourtoutz∈Detf(0)=0.
Alors:
|f(z)|≤|z|pourtoutz∈D.
Deplus,si|f(z)|=|z|pourun z6=0, ilexisteu∈Cdemodule1telquef(z)≡uz.
D´emonstration.—Lafonctiongd´efiniepar:
g(z)=f(z)
zsi0<|z|<1etg(0)=f′(0)
estholomorphesurD.Eneffet,si
f(z)=
+∞
X
n=1
anzn
surD,onobtientun d´eveloppementdegens´erie enti`eredezsurDen divisantparz.
Parhypoth`ese,si0<r<1,ona|g(z)|≤1/rpour toutz∈C(0,r)doncpour tout
z∈D(0,r)d’apr`esleprincipedu maximum.
Enfaisant tendrervers1−,onobtient|g(z)|≤1,donc|f(z)|≤|z|pour toutz∈D.C’est
lapremi`erepartiedel’´enonc´e.
Si|f(z)|=|z|pourun z6=0,|g|prend lavaleur1dansD,doncaun maximumlocaldans
D,doncgestconstantedemodule1,encored’apr`esleprincipedu maximum.
4.1.3.Propri´et´edelamoyenne.—
Th´eor`eme4.1.10.—SoitΩunouvertdeC,f∈O(Ω)etD(a,r)⊂Ω.Lavaleurdefau
centreadudisqueD(a,r)est´egale`a savaleurmoyennesurle cercleC(a,r),etaussisurle
disqueD(a,r).
Lesensdel’´enonc´e estpr´ecis´eparlesformules(28)et (29)ci-dessous.
50 CHAPITRE4.PROPRI´ ET´ ESDESFONCTIONSHOLOMORPHES
D´emonstration.—Onobtientlapremi`erepropri´et´e en´ecrivantlaformuledeCauchy(24)pour
z=a:
f(a)=1
2iπZ∂D(a,r)
f(z)
z−adz.
Enrevenant`a lad´efinition,onobtient:
(28)f(a)=1
2πZ2π
0
f(a+reit)dt.
C’estlapremi`erepropri´et´e.LavaleurmoyenneM(f,r)defsurledisqueD(a,r)estd´efinie
par:
(29)M(f,r)=1
πr2ZZD(a,r)
f(x+iy)dxdy.
Onobtientladeuxi`emepropri´et´e en´ecrivantl’int´egralepr´ec´edente encoordonn´eespolaires(de
centrea)etenappliquantlapremi`erepropri´et´eauxcerclesC(a,s),0<s≤r:
M(f,r)=1
πr2Zr
0Z2π
0
f(a+seit)dtsds=1
πr2Zr
0
2πf(a)sds=f(a).
4.2.Fonctionsm´eromorphes
4.2.1.Singularit´esisol´ees.—
D´efinition4.2.1.—SoitΩun ouvert deCetf∈O(Ω).Un pointisol´edu compl´ementaire
deΩ,i.e.telqu’il existeun disque´epoint´eD(a,r)r{a}contenu dansΩ,estappel´ee une
singularit´eisol´ee def.
Onremarquequedanscettesituation,Ω∪{a}estaussiun ouvert deC.Parexemple,si
Aestl’ensembledespˆolesd’unefractionrationnelleR,chacun de cespˆolesestunesingularit´e
isol´ee deR∈O(CrA).
Soita∈Cunesingularit´eisol´ee def∈O(Ω).On ditqu’elle est:
1.´eliminables’il existeunefonctionˆ f∈O(Ω∪{a}) tellequef(z)=ˆ f(z)pour toutz∈Ω,
2.polairesiellen’estpas´eliminable ets’il existeunefonctionˆg∈O(Ω∪{a})etun entier
p≥1,telsquef(z)=ˆg(z)/(z−a)ppour toutz∈Ω,
3.essentiellesiellen’estni´eliminable,nipolaire.
Onvamontrerquelanatured’unesingularit´eisol´ee selitsimplementsurle comportement
def.Onad’abord:
Th´eor`eme4.2.2(Riemann).—Soitaunesingularit´eisol´ee def∈O(Ω).Sifestborn´ee
surunvoisinage ´epoint´edea,lasingularit´eaest´eliminable.
D´emonstration.—Onsupposed’abordquefaunelimiteℓ∈Cquand z→aeton prolongef
en unefonctionˆ f:Ω∪{a}→Cen posantˆ
f(a)=ℓ.Ils’agitdemontrerqueˆ festholomorphe;
leprobl`emeseposeseulementauvoisinagedea.

4.2.FONCTIONSM´ EROMORPHES51
Lafonction d´efinieparz7→ g(z):=(z−a)ˆ f(z)estholomorphesurΩ,maiselle estaussi
C-d´erivable ena:g(z)−g(a)
z−a=f(z)−−→
z→a
ˆ
f(a).
Elle estdoncholomorphesurΩ∪{a}.Auvoisinagedea,elleaun d´eveloppementdelaforme:
g(z)=(z−a)
+∞
X
n=0
an(z−a)n,
carg(a)=0.En divisantlesdeuxmembresparz−a,onobtientqueˆ festanalytiquesur
D(a,r),doncsurΩ∪{a}.
Dansle casg´en´eral, o`ufestsuppos´ee born´ee auvoisinage´epoint´edea,onappliquele
r´esultatpr´eliminaire`a lafonctiong:Ω→Cd´efinieparg(z)=(z−a)f(z),quitend vers0
quand z→a.Ontermine commedanslapremi`erepartiedelad´emonstration.
Ona:
Th´eor`eme4.2.3.—Unesingularit´eisol´ee adef∈O(Ω)estpolairesietseulementsi :
(30)f(z)−−→
z→a∞.
Bienentendu,(30)signifiequepour toutR>0, il existeε>0telque|f(z)|>Rsi
0<|z−a|<ε.
D´emonstration.—Onlaisseaulecteurlesoin dev´erifierquesiaestunesingularit´epolairede
f,ona(30);c’estune cons´equence directedelad´efinition.
R´eciproquement,onsupposequefv´erifie(30).En particulier,fnes’annulepasauvoisinage
´epoint´edea.Ilexistedoncr>0telquez7→ 1/f(z)estd´efinie etholomorphesurD(a,r)r{a}
et tend vers0quand z→a.D’apr`esleTh´eor`emedeRiemann,aestunesingularit´e´eliminable
de1/f.Ilexistedoncunefonctionu∈O(D(a,r)) tellequeu(z)=1/f(z)siz6=a.Ona
u(a)=0.Commeunes’annulepasen dehorsdea,on peut´ecrireu(z)=(z−a)pv(z)avec
p≥1etv∈O(D(a,r)) sansz´ero.LafonctiongsurΩd´efinieparg(z)=(z−a)pf(z)siz6=aet
g(a)=1/v(a)estholomorphesurΩetauvoisinagedeacarelle co¨ıncideavec 1/vauvoisinage
dea.Onen d´eduitqueaestunesingularit´epolairedef.
En poussantun peul’argumentpr´ec´edent,onobtientler´esultatplusfort suivant:
Th´eor`eme4.2.4(Casorati-Weierstrass).—Sia∈Cestunesingularit´eisol´ee essentielle
def∈O(Ω),alorspourtoutr>0telqueD(a,r)r{a}soitcontenudansΩ,f(D(a,r)r{a})
estdensedansC.
Unth´eor`emebeaucoup plusfort (etplusdifficile`a d´emontrer) dˆu`a Picard pr´eciseque,sous
lesmˆemeshypoth`eses,f(D(a,r)r{a})contient touslesnombrescomplexes,saufpeut-ˆetreun.
D´emonstration.—Sif(D(a,r)r{a})n’estpasdensedansC, il existeun disqueD(b,s) tel
que
f(D(a,r)r{a})∩D(b,s)=∅.
Lafonction
u(z)=1
f(z)−b
52 CHAPITRE4.PROPRI´ ET´ ESDESFONCTIONSHOLOMORPHES
estholomorpheetborn´ee surD(a,r)r{a}:
|u(z)|=1
|f(z)−b|≤1 s.
D’apr`esleTh´eor`emedeRiemann,u(z)aunelimitefinieℓquand z→aet:
f(z)=b+1
u(z)
aunelimite,finieouinfinie,quand z→a.D’apr`eslesr´esultatspr´ec´edents,aestunesingularit´e
´eliminableou polairedef.
4.2.2.Fonctionsm´eromorphes.—UnensembleP⊂Cestdiscretsitous sespoints sont
isol´esdansP,i.e.si, pour touta∈P, il exister>0telqueD(a,r)∩P={a}.
Lemme4.2.5.—SoitΩunouvertdeCetPunferm´edeΩ.Lespropri´et´es suivantes sont
´equivalentes:
1.Pestdiscret.
2.Pn’a pasdepointd’accumulationdansΩ.
3.PourtoutcompactKcontenudansΩ,P∩Kestfini.
D´emonstration.—Siaestun pointd’accumulation dePdansΩ,a∈PpuisquePestferm´e
dansΩ;c’estdoncun pointdePnonisol´edansP:(1)⇒(2).
SiPn’apasdepointd’accumulation dansΩ,etsiK⊂Ω,P∩Kn’apasdepointd’accu-
mulation dansK.Maistoutepartieinfinied’un compactaun pointd’accumulation dansce
compact:(2)⇒(3).
Supposons(3).Soita∈P.Pour toutD(a,r)⊂Ω,P∩D(a,r)estfini, doncP∩D(a,r)={a}
sirestassez petit:(3)⇒(1).
D´efinition4.2.6.—SoitΩun ouvert deC.Unefonctionm´eromorphefsurΩestune
fonction d´efinie etholomorphesurun ouvert ΩrP(f) telleque:
1.P(f)⊂Ωestun ensemblediscret,ferm´edansΩ;
2.touta∈P(f)estunesingularit´epolairedef.
Les´el´ementsdeP(f)sontlespˆolesdef.On noteM(Ω)l’ensembledesfonctionsm´eromorphes
surΩ.
Ilesttr`esimportantderemarquerqu’unefonctionm´eromorphesurΩn’estpasunefonction
surΩ!
Onappelles´eriedeLaurentena∈C,oudez−aune«s´erie»delaforme:
+∞
X
n=−∞
an(z−a)n,
o`uan∈C.Las´erie convergepourz∈Cfix´esichacunedesdeuxs´eriesP+∞
n=0an(z−a)net
P+∞
n=1a−n(z−a)−netconvergedanslesensusuel.
C’estauchapitresuivantquenous´etudieronsles s´eriesdeLaurent,maisnousallonsdonner
toutdesuiteune caract´erisationtr`esimportantesdes singularit´esnon-essentielles:

4.2.FONCTIONSM´ EROMORPHES53
Lemme4.2.7.—
1)Unefonctionf∈O(D(a,r)r{a})estm´eromorphesurD(a,r)sietseulementsielleadmet
und´evelopementdeLaurentsurD(a,r)r{a}delaforme
f(z)=
+∞
X
n=p
an(z−a)navec p∈ZZ .
2)i)Sip≥0,lasingularit´e est´eliminable etled´eveloppementdeLaurentestled´eveloppement
deTaylorduprolongementholomorphedelafonctionf.
ii)Sip<0,lepointaestunpˆole.
3)Lafonctionfadmetunesingularit´epolaired’ordrem≥1sietseulements’ilexistedes
nombrescomplexesa−m,...,a−1(uniques,avec a−m6=0)telsquelafonction
D(a,r)r{a}∋z→f(z)−X
−m≤i≤−1
ai(z−a)i
admette enaunesingularit´e´eliminable.
D´efinition4.2.8.—Dansled´eveloppementdeLaurentdef,
i)lafonctionz→P−1
n=pan(z−a)ns’appellelapartieprincipale(sip<0); lapartieprincipale
estnullesip≥0.
ii)Lafonctionz→P+∞
n=0an(z−a)ns’appellelapartier´eguli`ere.
D´emonstration.—
1)Siaestunesingularit´e´eliminable, lafonctionˆ fquiestleprolongementparcontinuit´edefen
aestholomorphesurD(a,r).Elleadmetun d´eveloppementens´eriede enti`ereP+∞
n=0an(z−a)n
surD(a,r).Celamontrelelemmedansce cas.
2)Lasingularit´eisol´ee aestpolairepourunefonctionf∈O(D(a,r)r{a})siellen’estpas
´eliminable ets’il existeunefonctionˆg∈O(D(a,r)) etun entierp≥1,telsqueˆg(a)6=0et
f(z)=ˆg(z)/(z−a)ppour toutz∈D(a,r).CommeˆgestholomorphesurD(a,r)elle est´egale
`a lasommedesas´eriedeTaylorena:ˆg(z)=P+∞
n=0bn(z−a)n.
DoncsurD(a,r)r{a},
f(z)=
+∞
X
n=−p
bn+p(z−a)n=
+∞
X
n=−p
an(z−a)n=
−1
X
n=−p
an(z−a)n+
+∞
X
n=0
an(z−a)n.
Th´eor`eme4.2.9.—SoitΩunouvertdeC.L’ensembleM(Ω)estnaturellementunanneau
commutatif unitaire.SideplusΩestconnexe,c’estuncorps.
D´emonstration.—Soitfetgdeuxfonctionsm´eromorphes surΩ.Lesfonctionss:=f+g
etp:=fgsontd´efinies surΩrP,o`uP=P(f)∪P(g)estun ferm´edeΩdiscret.Soit
a∈P.Pard´efinition des singularit´esisol´eesau pluspolaires,i.e.polairesou´eliminables, il
existeq∈INtelqueasoitunesingularit´e´eliminablede(z−a)qfet (z−a)qg.Onen d´eduit
queaestunesingularit´e(isol´ee)au pluspolairedesetp.Siaestunesingularit´e´eliminablede
s(respectivementdep),on prolonges(respectivementp)enaparcontinuit´e.Ceci´etantfait
pour touta∈P,onobtientdesfonctionsm´eromorphes surΩ.Lapremi`erepartiedel’´enonc´e
enr´esulteassez imm´ediatement.
54 CHAPITRE4.PROPRI´ ET´ ESDESFONCTIONSHOLOMORPHES
SideplusΩestconnexe etf∈M(Ω),onremarqued’abordqueΩrP(f)estaussiun ouvert
connexe(d´emonstration?).Onen d´eduitque,sifn’estpaslafonction nulle,fn’aquedes
z´erosd’ordrefinietquel’ensembleZ(f)desesz´erosestdiscret.Lafonction1/f,d´efiniesur
Ωr(Z(f)∪P(f)) ades singularit´espolairesentoutpointdeZ(f)etdes singularit´es´eliminables
entoutpointdeP(f).Apr`es«´elimination des singularit´es´eliminables»,onobtientun inverse
defpourleproduit.
Remarque4.2.10.—Sif∈M(Ω),alorsauvoisinagedetoutpointa∈Ω,fs’´ecritcomme
quotientdedeuxfonctionsholomorphes.Enfaitce r´esultatestglobal : siΩestconnexe,alors
M(Ω)=FracO(Ω).Ceth´eor`emesera ´etabli dansle coursdeLM368.
Exercice 4.2.11.—Montrerquelad´eriv´ee d’unefonctionm´eromorphef(d´efinie en dehors
deP(f)) estnaturellementunefonctionm´eromorphe.
Sif∈M(Ω)eta∈Ω,onvoit,parexemple en´ecrivantled´eveloppementdeLaurentdef,
qu’il existep∈ZZ,uniquementd´efini, telque:
(31)f(z)=(z−a)ph(z)
auvoisinagedeaetqueanesoitniun pˆoleniun z´erodeh.Sip>0,faun z´erod’ordrepen
a,etsip<0,faun pˆoled’ordre−pena(c’estuned´efinition).On ditaussimultiplicit´eau
lieu d’ordre.Posons:
µa(f):=p.
Lemme4.2.12.—Avec cesnotations,ona:
µa(fg)=µa(f)+µa(g),µa(1/f)=−µa(f).
D´emonstration.—Elle estlaiss´ee aulecteur.
Plusg´en´eralement,onalad´efinitionsuivante:
D´efinition4.2.13.—Soitfunefonction holomorpheauvoisinagedea∈C.Onappelle
multiplicit´edefenal’ordredeacomme z´erodef−f(a).
4.2.3.Leth´eor`emedesr´esidus.—
D´efinition4.2.14.—Soitfunefonction holomorphesurledisque´epoint´eD(a,r)r{a}
tellequefaitun pˆoled’ordrep≥1enaetdepartieprincipaleQ(z)=Pp
k=1
a−k
(z−a)k.Le
coefficienta−1de1
z−aestappel´er´esidudefenaetnot´eR´es(f,a)=a−1.
On´etend cetted´efinitionauxsingularit´es´eliminablesenconvenantquelapartieprincipale
d’unesingularit´e´eliminable estnulle,etqueler´esidu defenaestnul. L’int´erˆetde cette
d´efinitionr´esidedanslelemmesuivant:
Lemme4.2.15.—Soitcuncheminferm´edeCtelquea6∈ hci.Ona:
Zc
Q(z)dz=2iπR´es(f,a).Ind(c,a).

4.2.FONCTIONSM´ EROMORPHES55
D´emonstration.—Eneffetchaquefonctionz→a−k(z−a)−kadmetuneprimitivesik6=1,
donc
Zc
Q(z)dz=0+Zc
a−1(z−a)−1dz=a−12iπInd(c,a).
Th´eor`eme4.2.16 (Th´eor`emedesr´esiduspourun ouvertconvexe)
SoitΩunouvertconvexe etP1,...,PkdespointsdistinctsdeΩ.Soitf∈O(Ωr{P1,...,Pk})
telle que chaquepointPi(1≤i≤k)soitauplusunesingularit´epolaire.
Soitcuncheminferm´edansΩnepassantpasparP1,...,Pk.Alors
Zc
f(z)dz=2iπ
k
X
i=1
R´es(f,Pi)Ind(c,Pi).
D´emonstration.—Pour1≤i≤k,soitQilapartieprincipaledefenPi.Lafonctionf−
(Q1+...+Qn)aunesingularit´e´eliminable enchaquepointPi.Elleseprolonge en unefonction
holomorpheAsurΩtoutentier.CommeΩestconvexe, leth´eor`emedeCauchymontreque
0=Zc
A(z)dz=Zc
(f−(Q1+...+Qn))(z)dz.
Onappliquealorslelemmepr´ec´edentpourconclure.
Concernantle calculdesr´esidus,eng´en´eral, il s’agirade calculerler´esidu en un pointa∈C
d’unefonction delaformef=g/h,o`ugethsontholomorphesauvoisinagedeaeth(a)=0.
Ler´esidu s’obtientalorsenfaisantun d´eveloppementlimit´edegethau pointa,`a l’ordre
convenable.Ilyaun cas simplequivautlapeined’ˆetreretenu :
Lemme4.2.17.—Sigethsontholomorphesauvoisinage dea,sig(a)6=0,etsihaun
z´erosimple ena,alors:
R´es(g
h,a)=g(a) h′(a).
D´emonstration.—Eneffet,onah(z)=(z−a)H(z),avec H(a)=h′(a)6=0.D’o`u:
g(z)
h(z)=g(a) h′(a)
1
z−a+O(1).
Pourun pˆoled’ordrem, ler´esidu se calcule enfaisantun d´eveloppementlimit´ede(z−a)mf(z)
`a l’ordrem−1,ouencoreparlaformluledeTaylor:
R´es(f,a)=lim
z→a
1
(m−1)!∂ ∂zm−1
[(z−a)mf(z)].
56 CHAPITRE4.PROPRI´ ET´ ESDESFONCTIONSHOLOMORPHES
4.2.4.Application`adescalculsd’int´egrales.—Laformuledesr´esiduspermetle calcul
dequelquesint´egralesclassiques.Nousillustronslam´ethodesurdesexemples simples,etnous
reviendronsun peu plus syst´ematiquementsurlescalculsd’int´egrales`a l’issuedu chapitre
prochain.
Exemple4.2.18 (Abel).—SoientPetQdeuxpolynˆomestelsquedegP≤degQ−2.
SupposonsquelesracinesdeQsoientsimples.Alors
X
atelqueQ(a)=0
P(a)
Q′(a)=0.
Eneffet, l’in´egalit´esurlesdegr´esimpliquequ’il existeC>0telque,pour toutRassez grand,
onait,pour toutu∈C(0,R):
P
Q(u)
≤C
R2.Ona alors
RC(0,R)
P
Q(u)du
≤2πRC
R2,donc
lim
R→+∞
ZC(0,R)
P
Q(u)du
=0.Leth´eor`emedesr´esiduspermetde conclure.
ParexemplepourQ(z)=zn−1,onobtient1
n
n−1
X
k=0
P(e2ikπ
n)e2ikπ n=0,disdegP≤n−2.Formule
quel’onsaitd´emontrerdirectementsurchaquemonˆome.
Exercice 4.2.19.—Calculerl’int´egrale:
I=Z+∞
−∞
P(t)/Q(t)dt,
o`uP,Qsontdeuxpolynˆomes,Qn’apasde z´eror´eeletdegQ≥degP+2.
Solution.—PuisqueQn’apasde z´eror´eel, lafonctiont7→ P(t)/Q(t)estcontinuesurIR,et
puisquedegQ≥degP+2,on peutchoisirR>0etC>0telsque:
|z|≥R⇒|P(z)/Q(z)|≤C|z|−2.
Leshypoth`eses sontdoncleshypoth`esesqu’il fautfairepourqueIsoit,auchoix,uneint´egrale
deLebesguebien d´efinieou uneint´egraledeRiemann g´en´eralis´ee absolumentconvergente.
´
Etantdonn´er>0,onintroduitle chemin:
0≤t≤π,cr(t)=reit,
lesegmentorient´e[−r,+r]etlelacetlrobtenu ensuivantlesegment[−r,+r]puisl’arccr.
Soit{a1,...,aN}l’ensembledesz´erosdeQetR0>maxk=1,...,N|ak|.On peutsupposerque
a1,...,aM,ontdespartiesimaginaires>0,etaM+1,...,aNdespartiesimaginaires<0.Si
r≥R0, l’int´egraledeCauchydeP/Qsurlrestbien d´efinie.L’indice deakpar rapport `a lrest
nulsiImak<0,etvaut+1siImak>0.Onen d´eduit:
Zlr
P(z)
Q(z)dz=2iπ
M
X
k=1
R´es(P
Q,ak),
quelquesoitr≥R0.D’autrepart,ona:
Zlr
P(z)
Q(z)dz=Z+r
−r
P(t)
Q(t)dt+Zcr
P(z)
Q(z)dz.