I) PGCD de deux nombres entiers positifs

Chap 6 PGCD de deux nombres entiers positifs , fractions irréductibles.
I) PGCD de deux nombres entiers positifs
Dans ce paragraphe, tous les nombres utilisés sont des nombres entiers positifs .
1) Multiple et diviseur
Définition 1: Le nombre m est un multiple du nombre a s’il existe un nombre k tel m = k " a .
Exemple : 42 = 6 " 7
42 est donc un multiple de 6 et de 7.
!
Définition
2 : Le nombre d (non nul) est un diviseur de a si le quotient
!
autrement dit s’il existe un nombre q tel que a = q " d .
35
=5 .
7
!
7 est donc un diviseur de 35.
On dit aussi 7 divise 35 ou 35 est divisible par 7.
Exemple :
a
est un nombre entier ,
d
!
!
Remarques
:


0
= 0 , pour tout nombre n non nul).
n
n
1 est un diviseur de n’importe quel nombre. ( = n , pour tout nombre n ).
1
0 est divisible par n’importe quel nombre. (
Exercice résolu : Quels sont tous les!diviseurs de 72 ?
Pour cela, on écrit tous les produits de deux entiers égaux à 72 :
!
72 = 1 " 72
72 = 2 " 36
72 = 3 " 24
72 = 4 " 18
72 = 6 " 12
72 = 8 " 9
!
Notation
1
72
2
36
3
4
6
8
21
18
12
9
Les diviseurs de 72 sont 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;9 ;12 ;18 ;21 ; 36 ;72.
A retenir:
• Tout nombre (autre que 0 et 1) a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Le plus grand diviseur d’un nombre est lui-même.
Définition 3 :Un nombre strictement supérieur à 1 est dit premier lorsqu’il n’a que deux diviseurs 1 et
lui-même.
Exemple : Les seuls diviseurs de 67 sont 1 et 67. On dit 67 est premier.
2) Plus grand diviseur commun.
Définition 4 :
Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre qui divise à la fois a et b.
Exercice résolu : Cherchons tous les diviseurs communs à 24 et à 30 :
Pour 24 :
1
2
24
12
3
4
8
6
1
30
2
15
3
5
10
6
Pour 30 :
Les diviseurs communs à 24 et à 30 sont 1 ;2 ;3 ;4 ; 6 .
Le plus grand d’entre eux est 6. On l’appelle le plus grand commun diviseur de 24 et 30 et on le note :
PGCD (24 ;30).
On écrit : PGCD (24 ;30) = 6
Définition 5 : Soient a et b deux nombres entiers positifs :
Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres a et b est noté le PGCD de a et b ou encore
PGCD (a ;b).
Exemples :
a) PGCD( 4 ;6)=2
b) PGCD (6 ;4)=2
c) PGCD ( 7 ;14) =
d) PGCD ( 7 ;14) =
e) PGCD ( 18 ;18)=
f) PGCD ( 1 ; 20) =
g) PGCD ( 0 ; 4)= 4
Propriétés (admises) : Soient a et b deux nombres entiers positifs :
PGCD (a ;b) = PGCD (b ;a)
PGCD (a ; 1) = 1
PGCD (a ;a) = a
PGCD (a ; ka) = a
PGCD (0 ; a ) = a
3) Calcul du PGCD de deux nombres
a- Algorithme des soustractions successives
Cet algorithme utilise la propriété suivante :
Propriété :
Si a et b sont deux nombres non nuls tels que a>b alors les diviseurs communs de a et b sont les mêmes
que ceux de b et a-b. D’où le PGCD (a ;b) = PGCD (a ;b-a)
Méthode : Pour trouver le PGCD de deux nombres a et b (a > b) par la méthode des
soustractions successives, on remplace le plus grand des deux nombres par (a − b)
puis on réitère le procédé jusquʼà lʼobtention de deux nombres égaux
(soustraction dont le résultat est nul). Le PGCD de a et b est ainsi égal à ces
deux derniers nombres.
Exemple : Cherchons le PGCD de 192 et 120
PGCD ( 192 ; 120 )
= PGCD ( 120 ; 72 )
= PGCD ( 72 ; 48 )
= PGCD ( 48 ; 24 )
= PGCD ( 24 ; 24 )
= 24.
192-120=72
120-72=48
72-48=24
48-24=24
b -Algorithme d'Euclide :
Cet algorithme utilise la propriété suivante :
Propriété :
Soient a et b deux entiers différents de zéro et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Alors PGCD ( a , b ) = PGCD ( b ; r )
Méthode : La méthode sʼappuie sur le fait quʼun diviseur commun à 810 et 663 est aussi un diviseur
commun à 663 et au reste 156 de la division de 810 par 663. On remplace donc la recherche
du PGCD de 810 et 663 par la recherche du PGCD de deux nombres plus petits 663 et 156.
On recommence le processus de division avec ces deux nouveaux nombres.
On arrête quand on obtient un reste nul, cʼest-à-dire lorsque lʼun des nombres est multiple
de lʼautre.
Exemple : Calculer le PGCD de 810 et 663.
On présente les résultats sous la forme d'un tableau :
a
810
663
147
75
72
b
663
147
75
72
3
r
147
75
72
3
0
On arrête les calculs lorsqu'on obtient un reste nul .
!
a = b "q + r
r<b
810 = 633 x 1 + 147
663 = 147 x 4 + 75
147= 75 x 1 + 72
75 = 72 x 1 + 3
72 = 3 x 24 + 0
Le PGCD de a par b est alors égal au dernier reste non nul obtenu (c’est dire que l’un des nombres est
un multiple de l’autre).
PGCD ( 810 ; 663 ) = 3.
4) Nombres premiers entre eux.
Définition : Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont qu'un seul diviseur commun : 1,
autrement dit si leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Les diviseurs de 63 sont 1, 3, 7, 9, 21 et 63.
Les diviseurs de 26 sont 1, 2, 13 et 26.
1 est donc le PGCD de 63 et 26 : 63 et 26 sont dons des nombres premiers entre eux.