(Chapitre 1 Cours Divisibilité et congruences dans Z)

Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS .
1
A la fin de ce chapitre vous devez être capable de :
•
connaître différents procédés pour établir une
divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d’identités
remarquables, disjonction des cas, raisonnement par
récurrence.
• connaître l’unicité de l’écriture de la division
euclidienne ;
• connaître l’écriture d’un entier relatif en fonction de
ses restes possibles dans sa division par l’entier naturel b ;
• déterminer, en fonction de l’entier naturel n, le reste
dans une division euclidienne où le dividende et le diviseur sont
des entiers fonctions de n ;
•
connaître la technique de l’algorithme d’Euclide
;
• utiliser les propriétés du PGCD pour déterminer le PGCD
de deux entiers dépendants de n.
• déterminer l’ensemble des diviseurs communs à deux
entiers ;
• utiliser les propriétés de congruences ;
• utiliser les nombres négatifs pour faciliter le calcul des
congruences.
I. Divisibilité dans .
a) Multiples et diviseurs d’un entier relatif.
Définition
1:
Soit a et b deux entiers re
latifs.
b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a = kb
On note b|a.
Dans ces conditions, on dit que a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
Exemples :
• -3 divise 6, car. -3×(-2) = 6
• pour tout entier n, n + 1 divise n² - 1 car (n + 1)×(n – 1) = n² - 1.
Remarques :
• 0 est multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : 0 = 0×n et 0×0 = 0
• Tout entier non nul n a pour diviseurs 1 ; -1 ; n et –n.
Il y a un nombre fini de diviseurs tous compris entre –n et n.
• En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples.
Diviseurs de 1 ou -1
Propriété 1
:
Les seuls diviseurs de 1 ou de -1 dans  sont 1 et -1.
Démonstration :
1 et -1 sont bien des diviseurs de 1 et de -1, car 1 = (-1)×(-1) = 1×1 et -1 = (-1)×1.
Si pour deux entiers a et b non nuls, on a×b = 1 ou a×b = -1, alors par passage aux valeurs absolues, on
a :
|a|×|b| = 1 avec |a| ≥ 1 et |b| ≥ 1.
Avec |b| ≥ 1, on peut déduire, grâce aux propriétés de l’ordre dans , que |a|×|b| ≥ |a|×1.
On a donc 1 ≥ |a| ; donc a = 1 ou a = -1 (car a est un entier naturel non nul)
Le même raisonnement permet également d’obtenir b = 1 ou b = -1.
b) Propriétés de la divisibilité dans .
Propriété 2
:
Soit a, b et c des entiers relatifs tels que a
≠
0 et b
≠
0.
Si a divise b et b divise c, alors a divise c.

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Démonstration :
Si a|b et b|c alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka et c =k’b
Donc c = (kk’)a et par suite a|c.
Propriété 3
:
Soit a et b des entiers relatifs non nuls.
a|b et b|a équivaut à a = b ou a = -b
Démonstration :
Si a|b et b|a alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka et a =k’b.
D’où : ab = kk’ab
Donc kk’ = 1 car ab ≠ 0.
k et k’ sont ainsi des diviseurs de 1 ; ils sont donc égaux à 1 ou -1 (d’après la propriété 1).
On a donc a = b ou a = -b.
Réciproquement, si a = b ou a = -b, alors, par définition a|b et b|a.
Propriété 4
:
Soit a, b et c des entie
rs relatifs non nuls et
α
et
β
deux entiers relatifs.
Si c|a et c|b, alors c|(αa + βb)
Démonstration :
Si c|a et c|b alors il existe deux entiers k et k’ tels que a = kc et b =k’c.
αa + βb = αkc + βk’c = (αk + βk’)c où (αk + βk’) est un entier.
Donc c|(αa + βb)
Attention : La réciproque est fausse : 2| 3×2 + 4×3 mais 2 ne divise pas 3.
II. Division euclidienne
a) Division euclidienne dans 
Propriété 5
:
Soit a un entier
na
turel
et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers naturels tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
(a est appelé le dividende).
Démonstration :
Soit a et b dans  avec b ≠ 0.
• Existence de q et r
Propriété d’ Archimède dans  :
Soit b un entier naturel non nul.
Alors, quel que soit l’entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb.
D’après la propriété d’Archimède dans , l’ensemble des entiers naturels n , tels que a < nb
n’est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k ≠ 0.
k – 1 est aussi un entier naturel et (k – 1)b ≤ a < kb
On pose alors q = k – 1 et on obtient : qb ≤ a < (q+1)b.

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En retranchant qb, on obtient 0 ≤ a – qb < b
En posant r = a – bq, on conclut que a = bq + r et 0 ≤ r < b.
• Unicité de q et r
On suppose a = bq
1
+ r
1
= bq
2
+ r
2
avec 0 ≤ r
1
< b et 0 ≤ r
2
< b.
On en déduit que –b < r
2
– r
1
< b et que r
2
– r
1
= b(q
1
– q
2
).
Ainsi, r
2
– r
1
est un multiple de b strictement compris entre –b et b.
On a donc r
2
– r
1
= 0, d’où r
2
= r
1.
On en déduit alors, du fait que b ≠ 0, que q
1
= q
2
.
D’où l’unicité annoncée dans la propriété.
Remarque :
q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a :
bq ≤ a <b(q + 1)
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b.
Attention : Il y a de multiples écritures de a sous la forme bq + r mais une seule est la division
euclidienne de a par b.
Par exemple 103 = 13 × 7 + 12 mais aussi 103 = 13 × 6 +25.
Seule l’égalité 103 = 13×7 + 12 est la relation de la division euclidienne de 103 par 13 car 12 < 13.
Exemples :
• a = 356 ; b = 17 : 356 = 17×20 + 16 Donc q = 20 et r = 16
b) Divisibilité
Propriété
Soit a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0.
On a : b divise a, si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
c) Division euclidienne dans 
Théorème
1
:
Soit a et b deux entiers relatifs avec b
≠ 0.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers relatifs tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < |b|.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Remarque :
Si a et b sont des entiers naturels, les couples obtenus dans la division euclidienne de a et b dans 
ou dans  sont bien sûr confondus !

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III. Plus grand diviseur commun de deux entiers
a) PGCD de deux entiers naturels
Définition
3
:
Soit a et b
deux entiers naturels non nuls, avec a
≥ b.
• Un entier naturel qui divise à la fois a et b est appelé diviseur commun à a et b.
• L’ensemble des diviseurs communs à a et b possède un plus grand élément que l’on nomme le
plus grand diviseur commun de a et b.
On le note PGCD(a ;b).
b) Algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide
:
Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
• Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
• Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r
ont les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Propriété
6
:
Soit a
et b
deux entiers naturels non nuls, avec a
≥ b.
On définit la suite (r
n
) d’entiers naturels de la façon suivante :
• r
0
= b ;
• r
1
est le reste de la division euclidienne de a par b ;
• Pour n ≥ 1 : si r
n
= 0, alors r
n+1
= 0 ;
Si r
n
≠ 0, alors r
n+1
est le reste de la division euclidienne de r
n-1
par r
n
Alors il existe un entier p tel que r
p
≠ 0 et, pour tout n > p, r
n
= 0.
On a alors r
p
= PGCD(a ;b) ;
Démonstration
La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq
1
+ r
1
, avec 0 ≤ r
1
< b.
• Si b|a, alors r
1
= 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0.
• Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r
1
s’écrit :
b = r
1
q
2
+ r
2
avec 0 ≤ r
2
< r
1
Si r
2
= 0, le processus s’arrête avec p = 1.
Sinon : on suppose que pour tout entier n, r
n
≠ 0, alors r
n-1
= r
n
q
n+1
+ r
n+1
avec 0 ≤ r
n+1
< r
n
.
La suite (r
n
) est donc une suite d’entiers naturels strictement décroissante.
De plus, r
n+1
< r
n
 r
n+1
 r
n
– 1 et r
n
≤ r
n-1
– 1  r
n+1
≤ r
n-1
– 2
Par suite, r
n+1
≤ r
n-2
– 3
Montrons, par récurrence, que r
n+1
≤ b – (n + 1).
Soit P
n
la proposition : pour tout n entier naturel, r
n+1
≤ b – (n + 1)

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Initialisation : P
0
est vraie car : r
1
< r
0
; donc r
1
 r
0
– 1 soit r
1
 b - 1
Hérédité : Supposons P
n
vraie.
r
n+2
< r
n+1
Donc r
n+2
≤ r
n+1
- 1 ≤ r
0
– (n + 1) – 1 en utilisant l'hypothèse de récurrence
Donc r
n+2
≤ r
0
– (n + 2)
Soit r
n+2
≤ b – (n + 2)
Donc d’après le principe de récurrence, P
n
est vraie pour tout n.
On a alors pour n = b, r
b+1
≤ b – (b + 1) ≤ -1, ce qui est absurde car r
n
∈ , pour tout n ∈ .
Donc, la supposition r
n
≠ 0 pour tout n était absurde.
Nécessairement, au bout d’un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul.
Soit r
p
le dernier reste non nul.
Le lemme d’Euclide permet d’écrire :
PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r
1
) = PGCD(r
1
;r
2
) = …. = PGCD(r
p-2
;r
p-1
) = PGCD(r
p-1
;r
p
) = r
p
car r
p+1
= 0 donc r
p
divise r
p-1
.
Finalement, on vient de prouver que l’algorithme d’Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et
b : c’est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet
algorithme.
Exemple : calculer le PGCD de 494 et 143.
Éta
pes A b r a = bq + r
1 494 143 65 494 = 143 × 3 + 65 (1
ère
étape)
2 143 65 13 143 = 65. × 2 + 13 (2
ème
étape)
3 65 13 0 65 = 13 × 5 + 0 (3
ème
étape)
Donc PGCD(494 ; 143) = 13
c) PGCD de deux entiers relatifs
Définition
4
:
Soit
a et b
deux entiers relatifs non nuls.
Le plus grand diviseur commun à a et b est l’unique entier naturel δ vérifiant :
δ = PGCD(|a| ;|b|)
Remarque : Le lemme d'Euclide reste vrai pour des entiers relatifs.