(Chapitre 1 Cours Divisibilité et congruences dans Z)

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Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS
.
A la fin de ce chapitre vous devez être capable de :
• connaître différents procédés pour établir une
divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d’identités
remarquables, disjonction des cas, raisonnement par
récurrence.
• connaître l’unicité de l’écriture de la division
euclidienne ;
• connaître l’écriture d’un entier relatif en fonction de
ses restes possibles dans sa division par l’entier naturel b ;
• déterminer, en fonction de l’entier naturel n, le reste
dans une division euclidienne où le dividende et le diviseur sont
des entiers fonctions de n ;
I. Divisibilité dans
• connaître la technique de l’algorithme d’Euclide ;
• utiliser les propriétés du PGCD pour déterminer le PGCD
de deux entiers dépendants de n.
• déterminer l’ensemble des diviseurs communs à deux
entiers ;
• utiliser les propriétés de congruences ;
• utiliser les nombres négatifs pour faciliter le calcul des
congruences.
.
a) Multiples et diviseurs d’un entier relatif.
Définition 1: Soit a et b deux entiers relatifs.
b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a = kb
On note b|a.
Dans ces conditions, on dit que a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
Exemples :
• -3 divise 6, car. -3×(-2) = 6
• pour tout entier n, n + 1 divise n² - 1 car (n + 1)×(n – 1) = n² - 1.
Remarques :
• 0 est multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : 0 = 0×n et 0×0 = 0
• Tout entier non nul n a pour diviseurs 1 ; -1 ; n et –n.
Il y a un nombre fini de diviseurs tous compris entre –n et n.
• En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples.
Diviseurs de 1 ou -1
Propriété 1 :
Les seuls diviseurs de 1 ou de -1 dans sont 1 et -1.
Démonstration :
1 et -1 sont bien des diviseurs de 1 et de -1, car 1 = (-1)×(-1) = 1×1 et -1 = (-1)×1.
Si pour deux entiers a et b non nuls, on a×b = 1 ou a×b = -1, alors par passage aux valeurs absolues, on
a:
|a|×|b| = 1 avec |a| ≥ 1 et |b| ≥ 1.
Avec |b| ≥ 1, on peut déduire, grâce aux propriétés de l’ordre dans , que |a|×|b| ≥ |a|×1.
On a donc 1 ≥ |a| ; donc a = 1 ou a = -1 (car a est un entier naturel non nul)
Le même raisonnement permet également d’obtenir b = 1 ou b = -1.
b) Propriétés de la divisibilité dans
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Propriété 2 : Soit a, b et c des entiers relatifs tels que a ≠ 0 et b ≠ 0.
Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
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Démonstration :
Si a|b et b|c alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka et c =k’b
Donc c = (kk’)a et par suite a|c.
Propriété 3 : Soit a et b des entiers relatifs non nuls.
a|b et b|a équivaut à a = b ou a = -b
Démonstration :
Si a|b et b|a alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka et a =k’b.
D’où : ab = kk’ab
Donc kk’ = 1 car ab ≠ 0.
k et k’ sont ainsi des diviseurs de 1 ; ils sont donc égaux à 1 ou -1 (d’après la propriété 1).
On a donc a = b ou a = -b.
Réciproquement, si a = b ou a = -b, alors, par définition a|b et b|a.
Propriété 4 : Soit a, b et c des entiers relatifs non nuls et α et β deux entiers relatifs.
Si c|a et c|b, alors c|(αa + βb)
Démonstration :
Si c|a et c|b alors il existe deux entiers k et k’ tels que a = kc et b =k’c.
αa + βb = αkc + βk’c = (αk + βk’)c où (αk + βk’) est un entier.
Donc c|(αa + βb)
Attention : La réciproque est fausse : 2| 3×2 + 4×3 mais 2 ne divise pas 3.
II. Division euclidienne
a) Division euclidienne dans
Propriété 5 : Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers naturels tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
(a est appelé le dividende).
Démonstration :
Soit a et b dans
avec b ≠ 0.
• Existence de q et r
Propriété d’ Archimède dans
:
Soit b un entier naturel non nul.
Alors, quel que soit l’entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb.
D’après la propriété d’Archimède dans , l’ensemble des entiers naturels n , tels que a < nb
n’est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k ≠ 0.
k – 1 est aussi un entier naturel et (k – 1)b ≤ a < kb
On pose alors q = k – 1 et on obtient : qb ≤ a < (q+1)b.
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En retranchant qb, on obtient 0 ≤ a – qb < b
En posant r = a – bq, on conclut que a = bq + r et 0 ≤ r < b.
• Unicité de q et r
On suppose a = bq1 + r1 = bq2 + r2 avec 0 ≤ r1 < b et 0 ≤ r2 < b.
On en déduit que –b < r2 – r1 < b et que r2 – r1 = b(q1 – q2).
Ainsi, r2 – r1 est un multiple de b strictement compris entre –b et b.
On a donc r2 – r1 = 0, d’où r2 = r1.
On en déduit alors, du fait que b ≠ 0, que q1 = q2.
D’où l’unicité annoncée dans la propriété.
Remarque :
q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a :
bq ≤ a <b(q + 1)
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b.
Attention : Il y a de multiples écritures de a sous la forme bq + r mais une seule est la division
euclidienne de a par b.
Par exemple 103 = 13 × 7 + 12 mais aussi 103 = 13 × 6 +25.
Seule l’égalité 103 = 13×7 + 12 est la relation de la division euclidienne de 103 par 13 car 12 < 13.
Exemples :
• a = 356 ; b = 17 :
356 = 17×20 + 16 Donc q = 20 et r = 16
b) Divisibilité
Propriété
Soit a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0.
On a : b divise a, si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
c) Division euclidienne dans
Théorème 1: Soit a et b deux entiers relatifs avec b ≠ 0.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers relatifs tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < |b|.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Remarque :
Si a et b sont des entiers naturels, les couples obtenus dans la division euclidienne de a et b dans
ou dans sont bien sûr confondus !
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III. Plus grand diviseur commun de deux entiers
a) PGCD de deux entiers naturels
Définition 3 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b.
•
•
Un entier naturel qui divise à la fois a et b est appelé diviseur commun à a et b.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b possède un plus grand élément que l’on nomme le
plus grand diviseur commun de a et b.
On le note PGCD(a ;b).
b) Algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide : Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
• Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
• Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r
ont les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Propriété 6: Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b.
On définit la suite (rn) d’entiers naturels de la façon suivante :
• r0 = b ;
• r1 est le reste de la division euclidienne de a par b ;
• Pour n ≥ 1 : si rn = 0, alors rn+1 = 0 ;
Si rn ≠ 0, alors rn+1 est le reste de la division euclidienne de rn-1 par rn
Alors il existe un entier p tel que rp ≠ 0 et, pour tout n > p, rn = 0.
On a alors rp = PGCD(a ;b) ;
Démonstration
La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq1 + r1, avec 0 ≤ r1 < b.
• Si b|a, alors r1 = 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0.
• Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r1 s’écrit :
b = r1q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1
Si r2 = 0, le processus s’arrête avec p = 1.
Sinon : on suppose que pour tout entier n, rn ≠ 0, alors rn-1 = rnqn+1 + rn+1 avec 0 ≤ rn+1 < rn.
La suite (rn) est donc une suite d’entiers naturels strictement décroissante.
De plus, rn+1 < rn
rn+1 rn – 1 et rn ≤ rn-1 – 1
rn+1 ≤ rn-1 – 2
Par suite, rn+1 ≤ rn-2 – 3
Montrons, par récurrence, que rn+1 ≤ b – (n + 1).
Soit Pn la proposition : pour tout n entier naturel, rn+1 ≤ b – (n + 1)
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Initialisation : P0 est vraie car : r1 < r0 ; donc r1 r0 – 1 soit r1 b - 1
Hérédité : Supposons Pn vraie.
rn+2 < rn+1
Donc rn+2 ≤ rn+1 - 1 ≤ r0 – (n + 1) – 1 en utilisant l'hypothèse de récurrence
Donc rn+2 ≤ r0 – (n + 2)
Soit rn+2 ≤ b – (n + 2)
Donc d’après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n.
On a alors pour n = b, rb+1 ≤ b – (b + 1) ≤ -1, ce qui est absurde car rn ∈ , pour tout n ∈ .
Donc, la supposition rn ≠ 0 pour tout n était absurde.
Nécessairement, au bout d’un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul.
Soit rp le dernier reste non nul.
Le lemme d’Euclide permet d’écrire :
PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r1) = PGCD(r1;r2) = …. = PGCD(rp-2;rp-1) = PGCD(rp-1;rp) = rp
car rp+1 = 0 donc rp divise rp-1.
Finalement, on vient de prouver que l’algorithme d’Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et
b : c’est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet
algorithme.
Exemple : calculer le PGCD de 494 et 143.
Éta
pes
A
b
r
a = bq + r
1
494
143
65
494 = 143 × 3 + 65 (1ère étape)
2
143
65
13
143 = 65. × 2 + 13 (2ème étape)
3
65
13
0
65 = 13 × 5 + 0 (3ème étape)
Donc PGCD(494 ; 143) = 13
c) PGCD de deux entiers relatifs
Définition 4 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Le plus grand diviseur commun à a et b est l’unique entier naturel δ vérifiant :
δ = PGCD(|a| ;|b|)
Remarque : Le lemme d'Euclide reste vrai pour des entiers relatifs.
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d) Propriétés du PGCD
Propriété 7 :
Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls a et b sont les diviseurs du PGCD de a et b.
•
•
Démonstration
Lorsque a ∈ *, b ∈ * et a > b, dans les divisions euclidiennes successives de l’algorithme d’Euclide,
les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r0, à r0 et r1, …, à rp-1 et rp.
Or rp divise rp-1, donc les diviseurs communs à rp-1 et rp sont ceux de rp ; c'est-à-dire de PGCD(a ;b).
Lorsque a ∈ * ou b ∈ *, le résultat est identique car PGCD(a ;b) = PGCD(|a| ;|b|).
Propriétés 8 et 9 : Soit a, b et k des entiers relatifs non nuls.
•
•
Si b divise a, alors PGCD(a ;b) = |b|
PGCD(ka ;kb) = |k|× PGCD(a ;b)
Démonstration de : PGCD(ka ;kb) = k × PGCD(a ;b) dans le cas où a, b et k sont des entiers naturels.
Si a = bq + r avec 0 ≤ r < b, alors ka = kbq + kr avec 0 ≤ kr < kb (car k ∈
).
Donc kr est le reste de la division euclidienne de ka par kb d’après l’unicité de l’écriture.
Avec les notations utilisées dans la démonstration sur l’algorithme d’Euclide et en multipliant chaque
membre des égalités par k, on obtient :
PGCD(ka ;kb) = PGCD(kb ;kr0) = … = krp = k×PGCD(a ;b)
Conséquence :
a b  1
Si k est un entier naturel non nul, diviseur commun à a et b, alors : PGCD ;  = ×PGCD(a ;b)
k k  k
a
b
Démonstration : Ceci découle de la propriété précédente en écrivant a = k× et b = k× .
k
k
e) Nombres premiers entre eux
Définition 5 :
Dire que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux signifie que PGCD(a ;b) = 1.
Exemple : 45 et 34 sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun positif est 1.
Propriété 10 : quotient de deux entiers par leur PGCD
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Soit d le PGCD de a et b.
Alors il existe deux entiers relatifs a’ et b’ premiers entre eux tels que a=da’ et b=db’.
Démonstration
d = PGCD(a ;b) : donc d divise a et d divise b.
Il existe donc deux entiers relatifs a’ et b’ tels que a = da’ et b = db’.
d = PGCD(a ;b) = PGCD(da’ ;db’) = d×PGCD(a’ ;b’)
D’où PGCD(a’ ;b’) = 1 car d ≠ 0.
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V. Congruences dans
Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS
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a) Définition et propriétés
Définition 6
Soit un entier naturel n ≥ 2, a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont congrus modulo n, et on note a b [n ] ou a
divisions euclidiennes de a et de b par n ont le même reste.
b (n) ou a
b (mod. n), si les
Exemples
• 11 = 4×2 + 3 et 7=4×1 + 3, donc 7 11 [4].
De même : 25 1 [12] ; 16 30 [7]
29 -121 [5]
-623 17 [10]
• Si l’on compte de 6 en 6 à partir de 5, on obtient des entiers congrus à 5 modulo 6 :
5 ;11 ;17 ;23 ;29 ;…. ;
puis -1 ;-7 ;-13 ;-19 ;-25.
Propriétés 11, 12 et 13
Soit un entier naturel n ≥ 2, a et b deux entiers relatifs. On a :
1. a b [n]
n | (a – b)
2. a 0 [n]
n|a
3. Si n’ ≥ 2 est un entier et si n’ | n, alors :
a b [n]
a b [n’]
Démonstrations
1) Si a b [n] alors il existe trois entiers q, q’ et r tels que :
a = nq + r et b = nq’ + r
On a donc a – b = n(q – q’) et donc n | (a – b)
Réciproquement, si n |(b – a), alors il existe un entier k tel que a – b = kn, soit a = b + kn.
Si b = nq + r est la division euclidienne de a par n, on a donc 0 ≤ r < n et, en substituant :
a = nq + r + kn = n(q + k) + r avec toujours 0 ≤ r < n.
On obtient ainsi la division euclidienne de a par n dont le reste est aussi r.
On a donc bien a b [n].
2) C’est un cas particulier de 1) avec b = 0
3) Si a b [n] alors n|(a – b) et n’|n, donc n’|(a – b), c'est-à-dire a b [n’]
b) Congruences et division euclidienne
Propriété 14 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Tout entier relatif a est congru modulo n à un unique entier r tel que 0 ≤ r ≤ n – 1
Démonstration
A l’aide de la division euclidienne de a par n, on sait qu’il existe un unique entier r ∈ {0 ;1 ;….. ;n-1} tel
que a = nq + r.
Le reste r est donc l’unique entier compris entre 0 et n – 1 vérifiant a
r [n].
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c) Congruences et opérations
Théorème 2 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et la multiplication dans
Autrement dit, a, a’, b et b’ étant des entiers relatifs quelconques, on a :
Si a a’ [n] et b b’ [n] alors a + b a’ + b’ [n] et ab a’b’ [n]
.
Démonstration
Si a
a’ [n] et b
b’ [n], alors n divise a – a’ et b – b’ ; donc n divise la somme (a – a’) + (b – b’).
On en déduit que n divise (a + b) – (a’ + b’). On en conclut que a + b
a’ + b’ [n].
De même, n divise a – a’ et b – b’ ; donc il existe deux entiers k et k’ tels que :
a = a’ + kn et b = b’ + k’n
Alors en effectuant le produit, on a :
ab = a’b’ + a’k’n + b’kn + kk’n² = a’b’ + n(a’k’ + b’k + kk’n)
Il existe ainsi un entier K (K = a’k’ + b’k + kk’n) tel que ab – a’b’ = nK.
Donc n divise ab – a’b’ et ab
a’b’ [n].
Conséquence : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a et a’ deux entiers quelconques. On a :
pour tout entier k, si a a’ [n] alors ka ka’ [n] ;
pour tout entier naturel p non nul, si a a’ [n] alors ap a’p [n]
Démonstration
• On a k
k’ [n] et a
• On suppose que a
a’ [n] ; d’où par multiplication, avec la propriété précédente : ka
ka’ [n].
a’ [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p.
Initialisation : pour p = 1, la propriété est vraie par hypothèse.
On suppose que la propriété est vraie pour un entier k ≥ 1 : ak
On a par hypothèse, a
bk [n].
a’ [n], et, donc, par multiplication, avec le théorème précédent :
ak × a
a’k × a’ [n], c'est-à-dire : ak+1
a’k+1 [n].
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.
On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturel p ≥ 1.
Attention : on ne peut pas simplifier une congruence comme une égalité :
2a ≡ 2b[n] n’implique pas a ≡ b[n].
Par exemple, 16 ≡ 20[4] mais 8 et 10 ne sont pas congrus modulo 4.
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d) Quelques critères de divisibilité des entiers
Le calcul des congruences permet d’obtenir de nombreux critères de divisibilité ; voici les principaux.
Propriétés 15 :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Un entier est divisible par 10 s’il se termine par 0
Un entier est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.
Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
Un entier n est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres de n est
divisible par 4.
Démonstration
Soit N = anan-1…a2a1a0 = an×10n + an-1×10n-1 + … + a2×102 + a1×101 + a0
Divisibilité par 10
10 0 [10], d’où 10p 0 [10] pour p entier compris entre 1 et n.
Donc N a0 [10]
N est divisible par 10 si et seulement si a0 est divisible par 10, c'est-à-dire si a0 est nul.
Divisibilité par 2
10 0 [2], d’où 10p 0 [2] pour p entier compris entre 1 et n.
Donc N a0 [2]
N est divisible par 2 si et seulement si a0 est divisible par 2, c'est-à-dire si a0 est égal à 0, 2,
4, 6 ou 8.
Divisibilité par 5
10 0 [5], d’où 10p 0 [5] pour p entier compris entre 1 et n.
Donc N a0 [5]
N est divisible par 5 si et seulement si a0 est divisible par 5, c'est-à-dire si a0 est égal à 0 ou
5.
Divisibilité par 3
10 1 [3], d’où 10p 1 [3] pour p entier compris entre 1 et n.
Donc N an + an-1 + … + a2 + a1 + a0 [3]
Cela montre le résultat annoncé car an + an-1 + … + a2 + a1 + a0 est bien la somme des chiffres de
N.
Divisibilité par 9
10 1 [9], d’où 10p 1 [9] pour p entier compris entre 1 et n.
Donc N an + an-1 + … + a2 + a1 + a0 [9]
Cela montre le résultat annoncé car an + an-1 + … + a2 + a1 + a0 est bien la somme des chiffres de
N.
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Divisibilité par 4
Pour p ≥ 2, 10p 0 [4] ; donc N
.
10a1 + a0 [4]
Or 10a1 + a0 = a1a0
Donc N est divisible par 4 si, et seulement si, a1a0 est divisible par 4.
Exemple :
27 083 127 est divisible par 3 car 2 + 7 + 0 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 = 30, entier divisible par 3.
En revanche, il n’est pas divisible par 9, car 30 ne l’est pas.
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