Cryptographie `a clef publique

Cryptographie `a clef publique
C´ecile Schryve - Laurent Gajny
24 mai 2010
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Table des mati`eres
1 Clef secr`ete, clef publique 3
1.1 Cryptographie `a clef secr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Principe .......................... 3
1.1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cryptographie `a clef publique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Clef publique contre Clef priv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 El´ements d’Alg`ebre 9
2.1 Le petit th´eor`eme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Le groupe multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 La fonction ϕd’Euler....................... 10
3 Diffie-Hellman et RSA 11
3.1 Echange de clef Diffie-Hellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Principe .......................... 11
3.1.2 Outils math´ematiques et algorithmes . . . . . . . . . . 12
3.2 RSA ................................ 16
3.2.1 Avantages et inconv´enients du cryptosyst`eme . . . . . 16
3.2.2 Le protocole RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Le th´eor`eme du RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 La signature dans RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Tests de primalit´e 18
4.1 Un premier test bas´e sur le petit th´eor`eme de Fermat . . . . . 19
4.2 Test de Solovay-Strassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Test de Miller-Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Programmation 26
5.1 Tests de primalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 LeprotocoleRSA......................... 29
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Depuis longtemps, les hommes ont eu le souci de pouvoir se commu-
niquer des donn´ees de mani`ere confidentielle, que ce soit pour s’´echanger
des messages personnels aussi bien que des messages militaires. Pour cela,
les hommes ont invent´e la cryptologie. Elle existe depuis l’Antiquit´e mais
pendant longtemps, elle fut consid´er´ee comme de l’art et c’est `a partir du
XVIII`eme si`ecle qu’elle devint r´eellement une science. Dans notre expos´e,
nous allons nous pencher plus particuli`erement sur une partie de la cryp-
tologie : la cryptographie. Elle fait donc partie, avec la cryptanalyse, de la
cryptologie, qui est la science englobant le chiffrement et le d´echiffrement de
messages cod´es, messages cod´es que l’on appelle ´egalement cryptogrammes.
Plus pr´ecis´ement, la cryptographie est la discipline de la cryptologie qui a
pour objectif d’assurer la s´ecurit´e lors de la transmission de messages. Par
s´ecurit´e, nous entendons la confidentialit´e mais ´egalement l’authenticit´e de
l’exp´editeur et du destinataire. Pour se faire, les cryptogrammes utilisent
des clefs pour chiffrer les messages. La cryptographie traditionnelle est donc
une science traitant de la transmission confidentielle de donn´ees et ´etudiant
les diff´erentes m´ethodes permettant la transmission de messages sous forme
d´eguis´ee tel que seul le destinataire soit capable de les lire. Mˆeme si nous
avons des applications concr`etes de la cryptographie, il ne faut pas oublier
qu’il y a un aspect math´ematique qui se cache derri`ere tout ¸ca. De plus, nous
pouvons dire que l’´evolution de la cryptographie est li´ee `a l’´evolution des
math´ematiques mais aussi de l’informatique car c’est grˆace `a l’informatique
qu’elle connu un essor important. De nos jours, la cryptographie peut ˆetre
utilis´ee dans les domaines militaire, commercial mais aussi pour la protection
de la vie priv´ee.
1 Clef secr`ete, clef publique
1.1 Cryptographie `a clef secr`ete
1.1.1 Principe
La cryptographie `a clef secr`ete est utilis´ee depuis bien longtemps. Elle per-
met `a deux personnes poss´edant un secret commun de communiquer confi-
dentiellement. En effet, on a le probl`eme suivant : Alice veut envoyer un
message `a Bob (par la suite, Alice et Bob pourront ˆetre repr´esent´es par A
et B) mais ne veut pas que les autres soient au courant. Pour cela, elle va
d’abord se mettre d’accord avec Bob sur un secret commun qui va leur per-
mettre de chiffrer et de d´echiffrer les messages. Maintenant, nous allons vous
pr´esenter la proc´edure :
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Figure 1 – Mod´elisation d’une communication confidentielle entre A et B
en pr´esence de O.
– Alice va donc ´ecrire son message en clair puis le chiffrer grˆace au secret
commun.
– Ensuite, Alice va envoyer son message `a Bob et il pourra le d´echiffrer
facilement car il est le seul `a connaˆıtre le secret, hormis Alice.
Le secret commun d’Alice et Bob s’appelle la clef, que l’on note en g´en´eral
K, et on s’aper¸coit que si une troisi`eme personne Oscar (repr´esent´e par O
dans la suite) ne poss`ede pas Kalors elle ne peut pas d´echiffrer le message.
Grˆace au sch´ema ci-apr`es, nous pouvons voir qu’Oscar ne peut pas d´echiffrer
le message s’il ne poss`ede pas la clef mais il pourrait tr`es bien essayer un cer-
tain nombre de possibilit´es et par chance, tomber rapidement sur la solution.
Alice et Bob ne peuvent donc pas choisir n’importe comment leur cl´e. Ce-
pendant, s’ils font attention aux diff´erents principes suivants :
– La s´ecurit´e repose sur le secret de la clef et non sur le secret de l’algo-
rithme.
– Le d´echiffrement sans la clef doit ˆetre impossible (en temps raison-
nable).
– Trouver la clef `a partir du clair et du chiffr´e est impossible (en temps
raisonnable).
Alors th´eoriquement, Oscar ne pourra pas casser le syst`eme. Les principes
´enonc´es font partis des principes de Kerckhoffs.
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1.1.2 Quelques exemples
Le chiffrement de Jules C´esar
Le chiffrement par d´ecalage est aussi appel´e chiffrement de Jules C´esar
car il a ´et´e consid´er´e comme le cr´eateur de cette m´ethode. En effet, mˆeme si
on a retrouv´e des traces de messages chiffr´es grˆace `a une clef qui d´ecale les
lettres chez les Grecs, on sait que Jules C´esar n’a eu aucun contact avec ces
messages et on peut consid´erer qu’il a r´einvent´e le fait de chiffrer les messages.
Pour son ´epoque, ce fut r´evolutionnaire car jamais personne n’y avait pens´e,
et surtout, si le message ´etait intercept´e, il ´etait illisible pour les ennemis.
D’ailleurs, on retrouve dans des ´ecrits de personnes de l’´epoque que C´esar
´ecrivait des messages incompr´ehensibles en n’alternant pas n´ecessairement les
voyelles et les consonnes comme ils le connaissaient pour faire des phrases.
C´esar a donc surpris, innov´e et mis au point une strat´egie militaire que ses
ennemis ne pouvaient pas contrer car ils ne connaissaient pas le moyen de
d´echiffrer et ils ne connaissaient donc pas la clef. Mais en quoi consiste ce
chiffrement plus pr´ecis´ement ?
Ce chiffrement consiste donc `a d´ecaler les lettres d’un certain nombre de
rangs. Pour cela, il faut ´ecrire l’alphabet et chaque lettre sera remplac´e par
la lettre que l’on obtient lorsque l’on se d´ecale du nombre de lettres voulues
vers la droite. Mais regardons le sur des exemples :
–JULES CESAR deviendra OZQJX HJXFW si on d´ecale de 5 rangs
c’est-`a-dire si on remplace Apar F,Epar J,. . .
–ALEA JACTA EST sera remplac´e par DOHD MDFWD HVW si on
d´ecale de 3 rangs, si on remplace Apar D,Bpar E,. . . ,Zpar C.
La clef secr`ete, que connaˆıt donc C´esar et son interlocuteur, est donc Fou
alors 5, qui correspond au nombre de lettres `a passer avant d’arriver `a celle
souhait´ee pour le premier cas et pour le deuxi`eme, la cl´e sera Dou 3.
Pour chiffrer son message, C´esar va donc tout d’abord l’´ecrire en clair,
c’est-`a-dire en latin. Puis, pour le chiffrer, il va d´ecaler les lettres en utili-
sant la cl´e secr`ete (qui lui indique donc le nombre de rang ou la lettre qui
remplace A), C´esar, lui, d´ecale les lettres vers la droite mais lorsque le des-
tinataire re¸coit le message, pour le d´echiffrer, il doit d´ecaler les lettres, du
mˆeme nombre de rang, mais vers la gauche. Ainsi, il va d´ecouvrir le message
en clair ´emis par C´esar.
Cela peut se faire avec n’importe quelle lettre puisque lorsque l’on arrive `a
la lettre Z, on repart au d´ebut, c’est-`a-dire `a A. Selon l’histoire, Jules C´esar
utilisait principalement la clef de chiffrement 3, ou encore D.
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