corrige : ajustement a une loi normale

M1 CORRIGE : AJUSTEMENT A UNE LOI NORMALE Mars 2009
Test du Khi deux
Les calculs sont dans le Fichier Exel : Ajustement
I PRINCIPE DU TEST DU KHI DEUX
Il s'agit ici de vérier, à partir d'un échantillon, si une variable obéit à une loi théorique proposée, ici la loi normale. On formule
donc deux hypothèses statistiques :
H0:les rentabilités obéissent à une loi normale
H1:les rentabilités n'obéissent pas à une loi normale
On utilise le test du Khi deux pour dénir une règle de décision : accepter H0ou rejeter H0et accepter l'hypothèse alternative H1:
On garde à l'esprit que notre jugement se fait à partir d'un échantillon et qu'il est impossible d'en déduire une certitude sur notre variable
R; la rentabilité.
Si la distribution est normale, c'est-à dire si H0est vraie, il se peut qu'on la rejette à tort, trompé par notre échantillon. On xe à la
probabilité que cette situation se produise une valeur maximale, en général 5%:On pose = 0:05;c'est le risque consenti d'erreur. Ce
seuil de 5%, appelé seuil de signication, permet de délimiter les zones de rejet et de non rejet de H0:
Le principe : il s'agit de comparer les effectifs observés, notés Oidans l'échantillon (les données) avec les effectifs théoriques
attendus sous l'hypothèse d'une loi normale ; nous devrons calculer ces effectifs théoriques que nous noterons Ci:
On dénit le "Khi deux calculé" par :
2
calc =X(OiCi)2
Ci
Cette variable aléatoire (ses valeurs dépendent de l'échantillon) suit approximativement (pour n30) une loi du Khi deux, dont nous
devrons préciser le degré de liberté, noté ; on va ainsi déterminer si l'écart entre les effectifs observés et les effectifs théoriques est
signicatif, c'est à dire sufsamment grand pour que l'on prenne le risque de rejeter l'hypothèse H0;d'une distribution normale.
On déterminera à l'aide d'une table ou de l'ordinateur la valeur du khi deux critique, noté 2
;, pour le seuil de conance et le
degré de liberté ; la règle de décision devra être énoncée clairement ;
Si 2
calc 2
;on ne rejettera pas H0
Si 2
calc > 2
;on rejette H0et on accepte l'hypothèse H1:
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2CORRIGE : AJUSTEMENT A UNE LOI NORMALE
II REALISATION DU TEST
1. Première étape : Formuler les hypothèses statistiques H0et H1:
H0: les rentabilités obéissent à une loi normale.
H1: les rentabilités n'obéissent pas à une loi normale.
2. Deuxième étape : Indiquer le seuil de signication
On xe en général ce seuil à 5%:On pose = 0:05:
3. Calcul des effectifs théoriques et de 2
calc :
a. Estimation des paramètres
L'hypothèse H0ne spécie pas les paramètres de la loi normale, il faut donc les estimer à partir de notre échantillon.
Rappel : la moyenne de l'échantillon constitue un estimateur sans biais de la moyenne de la population, nous prendrons
donc comme estimation de m; l'espérance de la loi normale, la moyenne de l'échantillon, 0;0315 ; par contre la variance
de l'échantillon est un estimateur biaisé de la variance de la population et un estimateur sans biais de la variance est S2=
PniXiX2
n1=n n1Vn, où Vn=PniXiX2 nest la variance de l'échantillon ; on estime alors l'écart-type de
la population par : n1=sPniXiX2
n1=rn n1noù nest l'écart-type de l'échantillon. Dans notre exemple,
n'1:346 et n1=r254
253 1:346 = 1:3487 '1:35;ce qui ne change rien car l'échantillon est assez grand.
b. Effectifs calculés
On va calculer la probabilité de chacun des intervalles sous l'hypothèse H0; on a par exemple : p1=P(R2;4) '0:0354
(ce calcul de probabilité a été effectué en posant Z=Rm
; Z suivant la loi normale centrée réduite).
Si Rsuit la loi normale N(0:0315; 1:35), on s'attend à avoir une rentabilité inférieure à 2:4%;dans 3:54% des cas soit avec
un effectif calculé C1=np1= 254 0:0354 = 8:99;alors que l'effectif observé correspondant est O1= 16 ; on calcule les Ci;
en identiant les fréquences relatives et les probabilités pi;donc en posant : Ci
n=pisoit Ci=npi:
c. Khi deux calculé : 2
calc
On calcule la somme : 2
calc =X(OiCi)2
Ci;ce qui donne ici : 2
calc '15:77
4. Degré de liberté
Le nombre de degrés de liberté de la loi du Khi deux intervenant ici est : =k1r; r étant le nombre de paramètres estimés, ce
qui donne ici : = 14 12 = 11:
5. Règle de décision
On détermine le Khi deux de la table : 2
;=2
0:05;11 '19:68 soit avec une table...soit dans Excel avec la fonction KHIDEUX.INVERSE
;la règle de décision est donnée par :
Si 2
calc 19:68 on ne rejettera pas H0
Si 2
calc >19:68 on rejette H0et on accepte l'hypothèse H1:
6. Conclusion
2
calc '15:77 et 2
0:05;11 '19:68;donc 2
calc 2
0:05;11, on ne rejette pas l'hypothèse nulle H0; au seuil de 5%, la différence
entre les effectifs observés et les effectifs calculés n'est pas signicative et est probablement due au hasard de l'échantillonnage. Il
est donc probable que la distribution des rentabilités obéisse à une loi normale.
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