Analyse hilbertienne

3. Espaces de Hilbert: Projection hilbertienne et conséquences 112
Supplémentaire orthogonal et somme directe
3.3.16 DÉFINITION
Soient Fet Gdeux sous-espace vectoriels d’un espace vectoriel Etels que F\G=
{0}et tout élément x2Epeut s’écrire de façons unique sous la forme x=y+z
pour un certain y2Fet z2G. Dans ce cas on dit que Eest la somme directe
algébrique de Fet G. On écrit E=FG.
Si Eest un espace préhilbertien, on dit que Eest la somme directe orthogonale
de Fet Gsi E=FGet G=F?.
Dans ce cas, Gest le supplémentaire orthogonal de F.
3.3.17 REMARQUE
Soit Fun sous-espace vectoriel complet de l’espace préhilbertien E. Alors pour tout
x2E, d’après le théorème de la projection hilbertienne, la projection orthogonale
PF(x)de xsur Fest l’unique élément de Ftel que (xPF(x)) 2F?(voir 3.3.8).
3.3.18 THÉORÈME
Soit Fun sous-espace vectoriel complet de l’espace préhilbertien E. Alors :
(i) La projection orthogonale PF:E!Fest une application linéaire continue.
Si F6={0}, alors kPFk=1.
(ii) Eest la somme directe orthogonale de Fet F?i.e. E=FF?.
(iii) F?=ker PFet F?? =F.
Démonstration: (i) D’après le théorème de la projection hilbertienne, PFest bien
définie et 8x,y2Eet l2Kon a : (xPF(x)) 2F?et (yPF(y)) 2F?d’où
(x+yPF(x)PF(x)) 2F?donc PF(x+y)=PF(x)+PF(x)
lxlPF(x)=l(xPF(x)) 2F?donc PF(lx)=lPF(x)
d’où la linéarité de PF.
Comme, PFest contractante, on a kPF(x)k=kPF(x)PF(0)kkxk, pour
tout x2E, d’où kPFk1 d’où, la continuité de PF. Si F6={0}, on a pour
x2F{0},PFx=xd’où kPFxk=kxk, ce qui entraîne kPFk1. Les deux
inégalités, donnent kPFk=1.
(ii) Tout x2Es’écrit x=PFx+(xPFx)2F+F?d’où E=F+F?.
La somme est directe car si x2F\F?alors kxk2=hx,xi=0, donc F\F?=
{0}.
(iii) a) Soit x2F?, comme (xPF(x)) 2F?, alors PF(x)2F\F?, d’où PF(x)=
0. Réciproquement, si x2ker PF, alors x02F?, d’où x2F?.

3. Espaces de Hilbert: Projection hilbertienne et conséquences 113
b) On a toujours F⇢F??, on va montrer l’inclusion inverse. Soit x2F?? =
(ker PF)?. Comme (xPF(x)) 2F?on a, hxPF(x),xi=0, d’autre part,
comme (xPF(x)) 2F?et PF(x)2Fon aura hxPF(x),PF(x)i=0.
Ainsi, kxPF(x)k2=hxPF(x),xihxPF(x),PF(x)i=0 i.e. x=
PF(x)2F.⌅
3.3.20 REMARQUE
Dans les conditions du théorème, IPFest la projection orthogonale sur F?, où I
est l’application identité de E. Les propriétés de PFsont valables pour (IPF)=
PF?.
3.3.21 COROLLAIRE
Soit Fun sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H. Alors H=FF?
et F?? =F.
Démonstration: En effet, Ffermé et Hcomplet, entrîne Fcomplet. ⌅
Si Fn’est pas fermé, le résultat précédent n’est plus vrai car F?? est toujours
fermé. Neanmoins on a :
3.3.23 COROLLAIRE
Soit Fun sous-espace vectoriel d’un espace de Hilbert H. Alors
1. F?? =F
2. Fest dense dans Hsi et seulement si F?={0}.
Démonstration: Comme F⇢F, il s’en suit de (g)du Lemme 3.2.4 que F?⇢F?et
donc F?? ⇢F??. D’après le corollaire précédent, F?? =F, et donc F?? ⇢F.
D’autre part, d’après (i) du Lemme 3.2.4,F⇢F??, mais F?? est un fermé F⇢
F??. D’où F?? =F.⌅
3.3.25 Exercice Soit Hun espace de Hilbert, Mun sous-espace fermé, et Nun sous-
espace de dimension finie de H. Montrer que M+Nest un sous-espace fermé
de H.
3.3.26 REMARQUE
Si Eest un Banach non isomorphe à un Hilbert, il existe toujours un sous-espace
fermé sans supplémentaire fermé (voir le livre de Lindestrauss-Tzafriri, Classical
Banach spaces).

3. Espaces de Hilbert: Projection hilbertienne et conséquences 114
3.3.27 DÉFINITION
Soit Hun espace de Hilbert. Un endomorphisme P:H!Hest un opérateur
auto-adjoint ( ou hermitien) si hPx,yi=hx,Pyipour tout x,y2H.
3.3.28 PROPOSITION
Soit Fun sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H. Alors
1. L’application PF:H! Fest linéaire continue.
2. PFPF=PF(i.e. PFest idempotent)
3. Pour tout x,y2Hon a hPFx,yi=hx,PFyi, donc PFest auto-adjoint.
Démonstration: 1. On déjà vu que l’application PFest linéaire et continue
2. Clairement, pour tout x2H, on a PF(PFx)=PFx.
3. Soient x,y2H, d’après la caractérisation 3.3.3 et PFy2Fon a
hxPFx,PFyi=0 i.e. hx,PFyi=hPFx,PFyi.
De même hPFx,PFyi=hPFy,PFxi=hy,PFxi=hPFx,yi.
Ainsi hx,PFyi=hPFx,yi.⌅
3.3.30 Exercice Soit Pun opérateur auto-adjoint d’un espace de Hilbert Htel que P2=P.
Montrer que Pest la projection orthogonale sur un sous-espace fermé de H.
3.3.1 Le théorème de représentation de Riesz
Les espaces de Hilbert possèdent des propriétés de dualités remarquables. Soit
Hun espace de Hilbert, pour y2Hon associe la forme linéaire sur H,fy:H!C
définie par fy(x)=hx,yi. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a |fy(x)|=
|hx,yi| kykkxkd’où la forme linéaire fyest continue et kfykkyk.
On définit alors une application F:H!H0, qui à y2Hassocie F(y)=fy.
3.3.31 THÉORÈME (LE THÉORÈME DE REPRÉSENTATION DE RIESZ)
Soit Hun espace de Hilbert. Alors
1) L’application Fest une isométrie i.e. pour tout y2H,kF(y)k=kyk.
2) Soit fest forme linéaire continue i.e. f2H0, alors il existe un unique y2Htel
que f=fyet kfk=kyk.
Démonstration: 1) Il suffit de supposer que y6=0, alors de l’inégalité de Cauchy-
Schwarz on a kfykkyk, d’autre part fy(y)=kyk2, entraîne kfykkyk,
d’où kfyk=kyk.

3. Espaces de Hilbert: Projection hilbertienne et conséquences 115
2) Soit f2H0, si f=0, alors f=f0. Si f6=0, on pose F=ker f, comme fest
continue ker fest un sous-espace vectoriel fermé (strict) de H.
Soit x02H\F. On pose u=x0PF(x0). Comme u2F?{0}, ker fuest un
hyperplan fermé strict et contient Fdonc ker fu=F. Par suite, il existe l2K
tel que f=lfu. Il s’ensuit que f(u)=lkuk2, doù l=f(u)
kuk2. On pose y=f(u) kuk2u.
Alors f=fy.⌅
3.3.33 COROLLAIRE
Soit Hun espace de Hilbert. L’application F:H!H0,y7! F(y)définie par :
pour tout x2H,F(y)(x)=hx,yiest une isométrie bijective et antilinéaire de H
sur H0.
Si Hest réel, c’est un isomorphisme isométrique de Hsur H0.
3.3.34 COROLLAIRE
Tout espace de Hilbert est réflexif.
Adjoint d’un opérateur
Soient Het Kdeux espaces de Hilbert et A2L(H,K)i.e une application
linéaire continue.
Il existe une unique application linéaire continue A⇤2L(K,H)telle que pour
tout x2Het y2Kon a :
hAx,yiK=hx,A⇤yiH
De plus kA⇤k=kAket A⇤⇤ =A.
L’application A⇤est appelée l’application adjointe de A(ou l’opérateur adjoint
de l’opérateur A).
Démonstration: Soit y2Kfixé, l’application de H!Cdéfinie par x7! hAx,yiK
est une forme linéaire continue, d’après le théorème de représentation de Riesz, il
existe un unique élément de H, noté A⇤ytel que hAx,yiK=hx,A⇤yiH. Grâce à
l’unicité, on définit ainsi une application A⇤:K!H. En utilisant encore l’unicité,
on montre que A⇤est linéaire.
On va maintenant établir sa continuité. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz
on a
|hx,A⇤yiH|=|hAx,yiK|kAxkkykkAkkxkkyk.
D’où la norme de la forme linéaire x7! hx,A⇤yiH, à savoir kA⇤ykkAkkyk.
On en déduit la continuité de A⇤et l’inégalité kA⇤kkAk.
Maintenant par unicité de l’opérateur adjoint, on aura A⇤⇤ =(A⇤)⇤=Aet
d’après ce qui précède kAk=kA⇤⇤kkA⇤k, d’où kA⇤k=kAk.⌅

3. Espaces de Hilbert: Projection hilbertienne et conséquences 116
Les théorème de Lax-Milgram et de Stampacchia
Soit Hun espace de Hilbert et f:H⇥H!Kune forme sesquilinéaire (ou
bilinéaire si K=R).
1) fest continue, s’il existe C>0, telle que |f(x,y)|Ckxk.kykpour tous xet y
in H.
2) On dit que fest Coercive s’il existe a>0 telle que
f(x,x)akxk2
pour tout x2H.
3.3.36 THÉORÈME (DE STAMPACCHIA)
Soit Hun espace de Hilbert et f:H⇥H!Kune forme sesquilinéaire continue
et coercive, et Cun convexe fermé non vide de H. Pour tout j2H0, il existe un
unique udans Ctel que : pour tout v2Con a
Re f(u,vu)Re j(vu).
De plus, si fest hermitienne (ou symétrique si K=R) alors uest l’unique élément
de Ctel que 1
2f(u,u)Re j(u)=min
v2C®1
2f(v,v)Re j(v)´
Démonstration: Puisque jet v7! f(u,v), pour tout udans, sont des formes li-
néaires continues sur H, par le théorème de représentation de Riesz 3.3.31, il existe
un unique adans Het, pour tout udans H, un unique élément noté Au dans H
tels que, pour tous u,vdans H, on ait
j(v)=hv,aiet f(u,v)=hAu,vi.
Alors, f(u,Au)=kAuk2CkukkAuk, d’où kAukCkuket par unicité
A:H!Hest linéaire, ainsi A2L(H).
On veut montrer que pour tout v2Con a
Re f(u,vu)Re j(vu)
,RehAu,vuiReha,vui
,RehaAu,vui0
,RehrarAu,vui0 pour tout r>0