Théorie constructive élémentaire des modules projectifs de type fini

Th´eorie constructive ´el´ementaire des modules projectifs de type fini
Henri Lombardi (1), Claude Quitt´e (2)
(Brouillon. 2002)
R´esum´e
Nous ´etudions par des m´ethodes ´el´ementaires et constructives la structure des modules projectifs
de type fini. ... D´eterminants ... Th´eor`eme de caract´erisation locale ... id´eaux de Fitting ... Groupe
de Picard ... Quillen Suslin ...
MSC 2000 : 13C10, 13B10
Mots cl´es : Modules projectifs de type fini, Matrices de projection, Id´eaux de Fitting, Math´ematiques
constructives.
Table des mati`eres
Introduction 3
1 Motivation 4
1.1 Les pgcds id´eaux en th´eorie des nombres .......................... 4
1.2 Le module des champs de vecteurs sur une vari´et´e compacte ............... 4
1.3 Le module des formes diff´erentielles `a coefficients polynomiaux sur une vari´et´e affine lisse 7
2 Pr´eliminaires 11
2.1 Modules de pr´esentation finie ................................ 11
2.2 Anneaux locaux ........................................ 15
2.3 Modules projectifs de type fini ............................... 17
2.4 Modules plats ......................................... 19
2.5 G´en´eralit´es sur la localisation ................................ 22
3 D´ecomposition canonique d’un module projectif de type fini 24
3.1 Syst`emes fondamentaux d’idempotents orthogonaux ................... 24
3.2 D´eterminant d’un endomorphisme d’un module projectif de type fini .......... 24
3.3 Le dual et l’annulateur d’un module projectif de type fini ................ 28
3.4 Modules de rang constant .................................. 29
3.5 D´ecomposition d’un module projectif de type fini ..................... 30
1´
Equipe de Math´ematiques, UMR CNRS 6623, UFR des Sciences et Techniques, Universit´e de Franche-Comt´e,
25030 BESANCON cedex, FRANCE, email: [email protected]
2Laboratoire de Math´ematiques, SP2MI, Boulevard 3, Teleport 2, BP 179, 86960 FUTUROSCOPE Cedex, FRANCE,
email: [email protected]
1

2TABLE DES MATI ` ERES
4 Les modules projectifs de type fini sont localement libres 32
4.1 Compl´ements sur les puissances ext´erieures d’un module projectif de type fini . . . . . 32
4.2 Cas des modules de rang constant ............................. 33
4.3 Cas g´en´eral .......................................... 34
4.4 Cas g´en´erique ......................................... 35
5 Le principe local global 37
5.1 Quelques principes local-global concrets .......................... 37
5.2 Quelques principes local-global abstraits .......................... 43
5.3 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton et endomorphisme cotranspos´e .............. 46
5.4 La trace d’un endomorphisme et une nouvelle ´ecriture du polynome fondamental . . . 47
5.5 Les anneaux g´en´eriques Bnet Bn,k ............................. 48
6 Id´eaux de Fitting 52
6.1 Les id´eaux d´eterminantiels ................................. 52
6.2 Les id´eaux de Fitting d’un module de pr´esentation finie ................. 53
6.3 Les id´eaux de Fitting d’un module projectif de type fini ................. 54
7 Quelques constructions de modules projectifs 57
7.1 Somme directe ........................................ 57
7.2 Produit tensoriel ....................................... 57
7.3 Le dual et le foncteur Hom ................................. 58
7.4 Puissances sym´etriques .................................... 58
8 Modules projectifs de rang 1 59
8.1 Homomorphismes surjectifs et isomorphismes ....................... 59
8.2 Modules projectifs de rang 1, groupe de Picard ...................... 59
8.3 Quelques pr´ecisions sur le d´eterminant ........................... 60
8.4 Le foncteur d´eterminant ................................... 62
8.5 G´en´eralisation des id´eaux d´eterminantiels ......................... 63
9 Nombre des g´en´erateurs d’un module projectif de type fini 65
9.1 Caract´erisations radicales .................................. 65
9.2 Bezout, Bezout strict et Smith ............................... 66
9.3 Quillen-Suslin ......................................... 67
9.4 Heitmann ........................................... 67

Introduction 3
Introduction (`a ´ecrire `a la fin)
Dans cet article, tous les anneaux consid´er´es sont commutatifs, sauf mention expresse du contraire.
Des ´el´ements s1, . . . , s`d’un anneau Asont dit comaximaux si s1A+··· +s`A=A. Par ailleurs
Asd´esigne le localis´e de Ao`u on autorise le d´enominateur s
Notre premier but est de comprendre en termes concrets les th´eor`emes suivants.
Th´eor`eme 1 (caract´erisation locale des modules projectifs de type fini) Un module Msur un anneau
Aest projectif de type fini si et seulement si il est localement libre au sens suivant. Il existe des ´el´e-
ments comaximaux s1, . . . , s`dans Atels que les Msiobtenus `a partir de Men ´etendant les scalaires
aux Asisont libres.
Th´eor`eme 2 (d´ecomposition d’un module projectif de type fini en somme directe de modules de rang
constant) Si Mest un module projectif de type fini sur un anneau Aengendr´e par n´el´ements, il existe
un syst`eme fondamental d’idempotents orthogonaux r0, r1, . . . , rn(certains ´eventuellement nuls) tel
que chaque composante rkMdu module soit un module projectif de rang ksur l’anneau correspondant
gA /h1−rki. Le module Mest la somme directe des rkMet r0Aest l’annulateur de M.
Th´eor`eme 3 (caract´erisation des modules projectifs de type fini par leurs id´eaux de Fitting) Soit
Mun module de pr´esentation finie sur un anneau A, il est projectif si et seulement si ses id´eaux de
Fitting sont (des id´eaux principaux engendr´es par des) idempotents.
La partie la plus myst´erieuse du th´eor`eme ?? est l’affirmation directe, c.-`a-d. que la condition est
n´ecessaire. En pratique, le module Mpeut ˆetre vu comme l’image dans And’une matrice de projection
F(i.e., F2=F) `a coefficients dans A. On veut r´ecup´erer les sk`a partir des coefficients fi,j de F.
De mˆeme dans le th´eor`eme 2on veut r´ecup´erer les rk`a partir des coefficients fi,j de F. Enfin dans
le th´eor`eme 3on veut r´ecup´erer la structure de module projectif de mani`ere explicite `a partir de la
pr´esentation du module. Ceci est r´ealis´e dans les th´eor`emes 8et 9section 4.3,6section 3.5 et 11
section 6.3.
Nous donnons un traitement d´etaill´e de ces questions en nous appuyant sur une th´eorie des
d´eterminants d´evelopp´ee directement (( `a la main )), dans les sections 3`a 6.
Dans la section 1nous d´eveloppons une motivation pour l’´etude des modules projectifs, notamment
en expliquant la relation avec les fibr´es vectoriels sur les vari´et´es compactes lisses.
Dans la section 5nous faisons une pr´esentation sous forme concr`ete de quelques unes des variantes
les plus importantes de ce qu’il est convenu d’appeler le principe local-global en alg`ebre commutative.
Dans les sections suivantes . . .. . .. . .
Les r´ef´erences g´en´erales pour ce travail sont les suivantes. Dans [10] on trouve une approche cons-
tructive des bases de l’alg`ebre. Les th´eor`emes cit´es ci- dessus, pour lesquels nous demandons une
explicitation pr´ecise, ainsi que tous ceux que nous ´etablissons sont plus ou moins dans les trait´es
classiques d’alg`ebre commutative (cf. par exemple [5], [1], [6], [11].) Plus pr´ecis´ement on peut trouver
le th´eor`eme 1comme (partie du) th´eor`eme 1 dans [1] chap. II §5, ou comme (partie du) th´eor`eme
3.3.7 de [5], on peut trouver le th´eor`eme ?? comme exercice 3 dans [1] chap. II §5, et on peut trouver
le th´eor`eme 3comme corollaire du th´eor`eme 18 p. 122 dans [11] (apparemment les id´eaux de Fitting
sont totalement absents de [1], y compris les exercices) . . .. . .. . .. . .
Cependant, nous n’avons pas trouv´e dans la litt´erature concernant la structure des modules pro-
jectifs de type fini des th´eor`emes aussi explicites que les th´eor`emes 6,7,8,9et 11. Il nous semble
´egalement que pour certains autres r´esultats de nature concr`ete contenus dans cet article, il n’existait
pas pour le moment de preuve enti`erement constructive (par exemple pour la partie r´eciproque du
th´eor`eme 1c.-`a-d. le principe de recollement des modules projectifs de type fini que nous donnons
dans le principe local-global concret 2section 5.1.) . . .. . .. . .
Remerciements : . . .. . .. . .. . .

41 MOTIVATION
1 Motivation
Un A-module Mest projectif de type fini s’il existe un entier ket un A-module Ntels que
M⊕N'Ak, c’est-`a-dire encore si Mest isomorphe `a l’image d’une matrice de projection (une
matrice Ptelle que P2=P). Lorsque M⊕A`'Ak, le module projectif de type fini Mest dit
stablement libre. Dans cette section nous essayons d’expliquer pourquoi ces notions sont importantes,
en donnant des exemples caract´eristiques.
1.1 Les pgcds id´eaux en th´eorie des nombres
La notion d’id´eal a ´et´e invent´ee en th´eorie des nombres pour pallier au d´efaut d’existence de vrai
pgcd pour des nombres entiers alg´ebriques. Par exemple si on consid`ere α= 1+2√−5 et β= 1−2√−5
on a
α×β= 7 ×3 (1)
mais cette ´egalit´e est mal expliqu´ee dans l’anneau Z[α] engendr´e par α, β, 7 et 3. Par la relation de
Bezout, 7 est ´etranger `a 3 et on devrait donc avoir α=pgcd(α, 7) ×pgcd(α, 3) `a un inversible pr`es.
D’o`u l’id´ee d’introduire des pgcds id´eaux hα, 7i,hα, 3i,hβ, 7i,hβ, 3iet d’´ecrire
hαi=hα, 7i×hα, 3i,hβi=hβ, 7i×hβ, 3i(2)
et
h7i=hα, 7i×hβ, 7i,h3i=hα, 3i×hβ, 3i(3)
ce qui explique (1).
Evidemment, pour que ceci soit plus qu’un jeu formel, il faut montrer qu’on peut d´evelopper un
calcul coh´erent sur la base de ces id´ees.
Une mani`ere efficace de d´evelopper ce calcul, et de donner la preuve qu’il fonctionne bien, est la
suivante.
En pr´esence d’entiers alg´ebriques (αi)1≤i≤kle bon anneau `a consid´erer est l’anneau Z, cloture
int´egrale de Z[(αi)1≤i≤k] dans son corps de fractions.
Dans l’exemple ci-dessus, Z=Z[√−5] = Z[(1 −α)/2].
On peut alors interpr´eter le pgcd id´eal d’´el´ements de Zcomme l’id´eal de Z(au sens moderne)
engendr´e par ces ´el´ements. Le fait que tous les calculs (pgcd, ppcm, produits) fonctionnent bien (c’est-
`a-dire se comportent comme les calculs analogues dans Z) est directement reli´e au fait suivant : tout
id´eal de type fini de Zest localement libre (au sens fort donn´e dans le th´eor`eme 1), c’est-`a-dire en-
core est un module projectif de type fini. Pour un anneau int`egre, cela revient `a dire que les id´eaux
de type fini sont localement principaux. Puisque dans un anneau commutatif l’alg`ebre lin´eaire est
essentiellement une affaire locale, on est ramen´e `a la situation des entiers usuels : Zse comporte
localement comme Z.
1.2 Le module des champs de vecteurs sur une vari´et´e compacte
Ici, on donne quelques motivations pour les modules projectifs de type fini et la localisation en
expliquant l’exemple des champs de vecteurs C∞sur une vari´et´e lisse compacte.
Nous allons voir que le fait que le module (projectif de type fini) des champs de vecteurs de la
sph`ere n’est pas libre signifie que la sph`ere ne peut pas ˆetre peign´ee.
On consid`ere une vari´et´e diff´erentiable r´eelle lisse Xet on note AXl’alg`ebre r´eelle des fonctions
lisses globales sur la vari´et´e.
Un germe de fonction lisse en un point pde la vari´et´e Xest donn´e par un couple (U, f) o`u Uest
un ouvert contenant pet fest une fonction lisse U→R. Les couples (U1, f1) et (U2, f2) d´efinissent le

1.2 Le module des champs de vecteurs sur une vari´et´e compacte 5
mˆeme germe s’il existe1U⊂U1∩U2contenant ptel que f1|U=f2|U. Les germes de fonctions lisses
au point pforment une R-alg`ebre qu’on note AX,p.
On a alors le petit (( miracle alg´ebrique )) suivant : l’alg`ebre AX,p est naturellement isomorphe
au localis´e (AX)Spo`u Spest la partie multiplicative des fonctions non nulles au point p. En effet,
si (U, f) d´efinit le germe gconsid´erons une fonction h∈AXqui est ´egale `a 1 sur un ouvert Wtel
que p∈W⊂Uet qui est nulle en dehors de U. Alors chacun des trois couples (U, f), (W, f|W) et
(X, fh) d´efinit le germe g, et fh peut ˆetre vu comme un ´el´ement de (AX)Sp. Il reste `a voir que la
correspondance g↔fh ´etablit bien un isomorphisme de l’alg`ebre AX,p sur l’alg`ebre (AX)Sp, ce qui
n’offre pas de difficult´e.
Bref nous venons d’alg´ebriser la notion de germe de fonction lisse ! Sauf que le mono¨ıde Spest
d´efini `a partir de la vari´et´e X, pas seulement `a partir de l’alg`ebre AX.
Mais si Xest compacte, les mono¨ıdes Spsont exactement les compl´ementaires des id´eaux maximaux
de AX. En effet, d’une part, que Xsoit ou non compacte, l’ensemble des f∈AXnulles en pconstitue
toujours un id´eal maximal Mpde corps r´esiduel ´egal `a R. D’autre part, si Mest un id´eal maximal de
AXl’intersection des Z(f) = {x∈X|f(x)=0}pour les f∈Mest un compact non vide (notez que
Z(f)∩Z(g) = Z(f2+g2)). Comme l’id´eal est maximal, ce compact est n´ecessairement r´eduit `a un
point pet on a facilement M=Mp.
Rappelons maintenant la notion de fibr´e vectoriel au dessus de X. Un fibr´e vectoriel est donn´e par
une vari´et´e lisse Y, une application surjective lisse π:Y→X, et une structure d’espace vectoriel sur
chaque fibre π−1(p). En outre, localement, tout ceci doit ˆetre isomorphe `a la situation simple suivante,
dite triviale :
π1: (U×Rm)→U, (p, v)7→ p
Cela signifie que la structure d’espace vectoriel (de dimension finie) sur la fibre au dessus de pdoit
d´ependre convenablement de p.
Un exemple d´ecisif de fibr´e vectoriel est le fibr´e tangent, dont les ´el´ements sont les couples (p, v)
o`u p∈Xet vest un vecteur tangent au point p.
Lorsque la vari´et´e Xest une vari´et´e plong´ee dans un espace Rn, un vecteur tangent vau point p
peut ˆetre identifi´e `a la d´erivation au point pdans la direction de v.
Lorsque la vari´et´e Xn’est pas une vari´et´e plong´ee dans un espace Rn,un vecteur tangent vpeut
ˆetre d´efini comme une d´erivation au point p,c’est-`a-dire comme une forme R-lin´eaire v:AX→Rqui
v´erifie la r`egle de Leibniz
v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f).
On v´erifie par quelques calculs routiniers et fastidieux que les vecteurs tangents `a Xforment bien
un fibr´e vectoriel TXau dessus de X.
`
A un fibr´e vectoriel π:Y→X, on associe le AX-module ΓYform´e par les sections lisses du fibr´e :
une section est une fonction σ:X→Yqui associe, `a chaque point pde Xun vecteur dans la fibre
π−1(p). On dit encore que σest un champ de vecteurs (du fibr´e Y).
Dans le cas du fibr´e tangent, ΓTXn’est rien d’autre que le AX-module des champs de vecteurs
lisses.
On constate alors le nouveau petit miracle alg´ebrique suivant : se donner un fibr´e vectoriel Y
´equivaut `a se donner le AX-module ΓY, et la contrainte `a imposer sur un AX-module Mpour qu’il
soit (isomorphe `a) un ΓYest d’ˆetre localement libre au sens suivant : pour tout point pde X,MSp
doit ˆetre un (AX)Sp-module libre (de dimension finie).
Cela est dˆu au fait que dans la situation triviale o`u X=U⊂Rn,et Y=U×Rmse donner
une section du fibr´e, c’est se donner un champ de vecteurs de Rm, c’est-`a-dire encore se donner les m
coordonn´ees de ces vecteurs, qui sont m´el´ements de AU, bref c’est se donner un ´el´ement de AUm.
1Nous utilisons le symbole ⊂pour l’inclusion au sens large.