Jérôme Tambour Complexes moment

THESE
Pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE
BOURGOGNE
U.F.R Sciences et Techniques Mirande
Institut de Mathématique de Bourgogne
DOMAINE DE RECHERCHE : Variétés complexes, complexes moment-angle,
sphères simpliciales
Présentée par
Jérôme Tambour
Complexes moment-angle et variétés
complexes
Directeur de thèse : M. Laurent MEERSSEMAN
Soutenue le 13 décembre 2010
Devant la Commission d’Examen
JURY
M. Frédéric Bosio Université de Poitiers Examinateur
M. Michel Brion Université de Grenoble Rapporteur
M. Adrien Dubouloz Université de Bourgogne Examinateur
M. Santiago Lopez de Medrano U.N.A.M, Mexico Rapporteur
M. Laurent Meersseman Université de Bourgogne Directeur de thèse
M. Robert Moussu Université de Bourgogne Examinateur
M. Taras Panov Moscow State University Examinateur

Remerciements
J’exprime en premier lieu mes profonds remerciements à mon directeur de
thèse, Laurent Meersseman, pour l’aide compétente qu’il m’a apportée, pour sa
patience et ses conseils toujours pertinents. Je le remercie également pour la grande
liberté et l’autonomie qu’il m’a laissé durant tout ce travail de thèse.
Je remercie Michel Brion et Santiago Lopez de Medrano, de me faire l’hon-
neur d’être les rapporteurs de cette thèse. Leurs commentaires sur celle-ci ont été
très instructifs, et je suis flatté du temps qu’ils ont consacré à la lecture de ce
mémoire. Merci en particulier à Michel Brion pour en avoir patiemment corri-
ger les nombreuses fautes d’orthographe et pour ses remarques qui ont largement
contribué à améliorer la clarté du manuscrit. Merci à Santiago pour nos rencontres
estivales à Chevaleret pendant lesquelles j’ai pu bénéficié de ses conseils de spécia-
liste. Je suis également très honoré de la présence de Frédéric Bosio et de Taras
Panov, deux spécialistes de mon sujet d’étude, dans mon jury. Ainsi que de la
présence d’Adrien Dubouloz et de Robert Moussu, qui m’ont toujours accueillis
avec sympathie dans leur bureau pour répondre à mes questions.
Je n’aurais jamais pu accomplir ce travail de thèse si je n’avais pas rencontré
autant d’enseignants passionnants et impliqués durant mon cursus. Qu’ils en soient
tous remerciés ici. Notamment, j’adresse toute ma gratitude à Françoise Delaffond
pour m’avoir appris la rigueur et pour ses cours de logique. Bien qu’ils remontent au
collège, je n’ai pas oublié ses enseignements et j’en tire profit chaque jour. Viennent
aussi à mon esprit Rosane Ushirobira, qui m’a toujours motivé à faire une thèse,
ainsi que Georges Pinczon, qui m’a suggéré de demander à Laurent d’être mon
directeur. Je n’ai jamais eu à regretter leurs conseils. Merci également à Alberto
Verjovsky pour son accueil chaleureux au Mexique et sa passion sans fin pour les
mathématiques. La porte de son bureau est toujours ouverte et j’en suis ressorti
chaque fois avec de nombreuses idées de lecture. Je remercie aussi chaleureusement
les enseignants qui m’ont encadré lors de mes premiers pas dans l’enseignement,
ainsi que le personnel administratif et technique du laboratoire (notamment Aziz

Remerciements
à la légendaire gentillesse et mes "fans" Caroline et Sylvie). Une pensée également
aux veilleurs de nuit du laboratoire pour ces sympathiques rencontres nocturnes à
l’IMB lors des derniers jours de la rédaction du manuscrit.
De nombreuses personnes ont rendu ce travail et les années d’étude qui l’ont
précédé très agréables et m’ont apporté la stabilité et la sérénité nécessaires pour
accomplir cette tâche. Merci donc à mes anciens camarades de promo : Léa, Aurélie,
Damien, Noémie, Gilles, Max,. . . . Merci évidemment à tous les amis doctorants de
Dijon : Thomas, PM, Christelle, Caroline, Carlo, Maciej, Great Ahmed, Gabriel,
Gautier, Jefe, Rafa, Réno, Etienne, Bilel, Moumou, Emmanuel, Vincent, Hugues,
Lionel et Moshere,. . . . Encore merci pour l’inoubliable "Opération Sucre" ! Un très
grand merci aux amis de Dijon et de Lato Sensu (Anne-Claire, Lucie, Ben, Sam,
Chris, Yo, Laurène, Esther, Pauline, Anastasia, Damien, Mamadou, Julie, Aurélie,
Nacer, Mélanie, Sylvain, Hugo et leur maman, . . . ), un "Dieuradieuf" sincère aux
amis sénégalais (Yankhoba, Moussa, Auguste, Assane, Ousmane, la famille Fall,
. . . ) et un énorme merci aux amis d’Auxerre et de toujours (Jessica, Fabien, Momo,
Gaël, Mathieu, Marlène, Marion, Martin, Stéphanie, Christophe, Chenda, Alexis,
Clément, Alexandre, . . . ). Il faudrait que je vous remerciasse un jour autant que
vous le méritez.
J’ai passé une grosse partie de la durée de ma thèse un casque sur les oreilles.
Par conséquent, je me dois de remercier Serj Tankian et System of a down, Blur
et Gorillaz, la rue Ketanou, les Wriggles, les Brindherbes, Pierre Pierre, Georges
Brassens, Yves Jamait, Christophe Rippert et Olivia Ruiz pour m’avoir accompa-
gné tout au long de ce travail.
Enfin, je n’ai pas de mot pour remercier à leur juste valeur mes parents, qui
m’ont tant donné et ont tant sacrifié pour moi ; ainsi que pour mon frère, qui m’a
ouvert la voie et a toujours été un modèle et un exemple pour moi. Et bienvenue
dans la famille à ma belle-soeur !

Table des matières
Notations 7
Introduction générale 9
1 Variétés différentiables et variétés complexes . . . . . . . . . . . . . 9
2 Construction de variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Variétés non kählériennes et variétés LVM . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Généralisations ............................. 16
5 Description des résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I Complexes simpliciaux et ensembles fondamentaux 19
1 Rappelsetnotations .......................... 19
2 Ensembles fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Propriétés du complexe associé et PEUR ............... 24
4 Sphères rationnellement étoilées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Une réalisation rationnellement étoilée de la sphère de Brückner 33
1 Réalisation rationnelle de P7
5...................... 34
2 Technique du "beneath-beyond" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Calcul d’un centre de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III Variétés LVMB 39
1 Construction des variétés LVMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Variétés LVMB et variétés LVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Condition (K).............................. 44
4 Relations avec les variétés toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Rappels ............................. 49
4.2 Variétés toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Le tore algébrique TN...................... 53
4.4 Etude de la projection π.................... 57