Chap. B4 : Calcul de primitives et équations différentielles linéaires

MPSI 1 Semaine 9, du 30 novembre au 4 d´ecembre 2015
Chap. B4 : Calcul de primitives et ´equations diff´erentielles lin´eaires (fin)
III EDL du deuxi`eme ordre `a coefficients constants
5) La m´ethode d’abaissement de l’ordre dans le cas A.S.M.
a) Id´ee clef d´ej`a vue :
si rest sol. de l’E.C., poser y(x)=z(x)erx ram`ene `a une ED du premier ordre en z.
b) Mise en oeuvre pratique : exemple de l’E.D. y′′ +4y=1
cos(2x).
6) Alternative : la m´ethode de Variation des Constantes :
a) La m´ethode : On cherche yp(x)=λ1(x)y1(x)+λ2(x)y2(x)o`u y1et y2sont les deux
solutions de base de l’EDSSM, avec la cond. suppl´ementaire λ′
1(x)y1+λ′ 2(x)y2=0.
Mn´emotechnique : La cond. suppl´ementaire se retient bien si on se souvient qu’on veut que dans
y′′
p, on n’ait que du λ′ 1et λ′ 2.
b) Le miracle : le d´eterminant y′
1y2−y1y′ 2ne s’annule jamais (v´erif. dans les trois cas sur le
∆, raison plus profonde en 2`eme ann´ee).
On obtient un syst`eme d’inconnues (λ′
1, λ′ 2), de d´eterminant non nul, donc ils sont d´efinis de
fa¸con unique et en primitivant on obtient yp.
c) Mise en oeuvre pratique : retour `a l’exemple y′′ +4y=1
cos(2x).
d) Cons´equence th´eorique : on vient de d´emontrer que SE≠∅dans le th´eor`eme du 3) b).
(On pouvait l’obtenir avec la m´ethode de l’abaissement de l’ordre... en ´etant soigneux dans le
cas ∆ <0 car les solutions r´eelles de base s’annulent... donc mieux vaut aller dans C...)
e) Retour `a la preuve du th´eor`eme du 3) c) : le miracle du b) qui dit que det(S)≠0 est
aussi ce qui prouve l’existence et d’unicit´e des solutions au probl`eme de Cauchy du 3. c) dans les
trois cas sur le ∆.
7) Comparaison M.V.C. / abaissement de l’ordre :
a) Dans le cas ∆ ≠0 M.V.C. plus ´el´egante, cf. exple ci-dessus.
b) Dans le cas ∆ =0, abaissement de l’ordre ´el´egant :
Exple : 4y′′ −4y′+y=ex/2
√1−x2.
(Ici, 2 ph´enom`enes simultan´es : abaissement de l’ordre et simplification de l’exponentielle du S.M.)
IV Exemples d’EDL du deuxi`eme ordre `a coeff. NON CONSTANTS :
1) Cas o`u on connaˆıt une solution particuli`ere de l’EDSSM :
Si on connaˆıt une solution particuli`ere de l’EDSSM associ´ee `a a(x)y′′ +b(x)y′+c(x)y=d(x),
m´ethode d’abaissement de l’ordre : y(x)=z(x)ypdonne toujours une ED 1er ordre en z′. Ex. pl.
2) M´ethode de changement de variable (et de fonction) : exple ´eqn d’Euler.
a) D´ef. ´equation d’Euler : ax2y′′ +bxy′+cy =d(x).
b) M´ethode changement de variable (et de fonction) : t=ln(∣x∣) et y(x)=Y(t).
Exemple : 2x2y′′ +xy′+y=2x+1 (´etude diff´erente sur ]−∞,0[et ]0,+∞[).
3) Autre exemple de changement de variable :
R´esoudre (1+x2)2y′′ +2x(1+x2)y′+a2y=0, changement t=Arctan(x), y(x)=Y(t).
V Exemples d’´equations fonctionnelles li´ees `a des E.D.
Les deux m´ethodes qui suivent sont donn´ees pour faire les ex. correspondants sur la planche.
1) M´ethode en d´erivant, attention `a la r´eciproque :
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●En d´erivant l’´equation fonctionnelle, on obtient une E.D., qui est une C.N. sur l’ensemble des
solutions.
●Ensuite ne pas oublier la r´eciproque (qui fait souvent apparaˆıtre des conditions suppl´ementaires).
●Attention : pour avoir le droit de d´eriver au d´epart : un argument ping-pong montre souvent que
les solutions de telles ´equations sont ind´efiniment d´erivables.
2) Cas o`u on utilise plutˆot les d´ecompositions en partie paire et impaire :
On peut utiliser le th´eor`eme d´ej`a vu au (B3) :
Th´eor`eme (d´ecomposition partie paire et impaire) Notons P(resp. I) l’ensemble des
fonctions paires (resp. impaires) de Rdans R. Alors :
∀f∈F(R,R),∃!(p, i)∈P×I,f=p+i.
Lemme utile : La d´eriv´ee d’une fonction paire est impaire. La d´eriv´ee d’une fonction impaire
est paire.
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Chap. C1 : Structures des ensembles de nombres et arithm´etique dans Z
Si on prend clairement conscience des causes et des origines [des r`egles de l’arithm´etique],
alors on sera plus ou moins en mesure d’inventer soi-mˆeme de nouvelles r`egles et l’on sera
capable, au moyen de celles-ci, de r´esoudre des probl`emes pour lesquelles les r`egles habituelles
n’auraient pas ´et´e suffisantes. L’on ne doit pas craindre que l’apprentissage de l’arithm´etique
s’av`ere ainsi plus difficile et demande plus de temps que lorsque l’on pr´esente les r`egles sans
explications. Car chaque homme comprend et garde en m´emoire beaucoup plus facilement ce
dont il appr´ehende clairement les causes et les origines.
L. Euler, Pr´eface de sa “vollst¨andige Anleitung zur Algebra”.
I Structures alg´ebriques :
1) Loi de composition interne (l.c.i.) propri´et´es et exemples :
a) D´ef. Soit Eun ensemble, on appelle l.c.i. sur Eou dans Etoute application de E×E
dans E.
Exemple (fondamental) de +,×dans N,Z,Q,R...
Contre-exemple de la “loi” −dans N(pas interne), mais bien une l.c.i. dans Z.
Exemple de (a, b)↦ab.
Ailleurs que dans les ensembles de nombres : loi ○dans F(A, A), lois ∩et ∪dans P(A), o`u A
est un ensemble qcq.
Lois +,×dans F(R,R).
Sur un ensemble fini, on peut d´ecrire une l.c.i. en se donnant son “tableau”.
Exple du tableau de ({−1,1},×).
Ci-dessous, on donne des prop. possibles des l.c.i. Ce sont les propri´et´es qui permettent de calculer :
b) associativit´e
(i) D´ef. Une l.c.i. ∗sur un ensemble Eest dite associative si, et seulement si :
∀(a, b, c)∈E3,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
(ii) Exemples de +,×dans N(et les ens. de nbres), ○dans F(A, A)(savoir d´em.)
(iii) Contre exemples de −ou de (x, y)↦xy.
c) commutativit´e
(i) D´ef. Une l.c.i. ∗sur un ensemble Eest dite commutative si, et seulement si :
∀(a, b)∈E2, a ∗b=b∗a
(ii) Exemple +,×dans les ensemble de nombres, ∩,∪dans E=P(A).
(iii) Une loi importante non-commutative : loi ○.
Pr´ecis´ement : d`es que Aest un ensemble avec au moins deux ´el´ements, il existe deux ´el´ements
(f, g)∈F(A, A)2tels que f○g≠g○fd´em.
d) Existence d’un ´el´ement neutre
(i) D´ef. (attention aux deux cˆot´es si loi non commutative).
(ii) Exemples dans la liste du a).
(iii) Le neutre est unique s’il existe (d´em.), peut ne pas exister (exemples : −dans Z,+dans
N∗).
e) Existence d’un sym´etrique pour un ´el´ement
Terminologies : oppos´e si loi +,inverse si loi ×,appl. inverse ou r´ecip. pour ○.
Attention si non commutatif : rappel sur les inverses `a gauche et `a droite dans (A(E),○).
Prop. (d´em.) Si Eavec l.c.i. assoc. avec un ´el´ement neutre, unicit´e du sym´etrique d’un ´el´ement.
Exercice abstrait ( !) : Ctre-exple si loi non-associative (sur un ensemble fini).
Scholie. L’int´erˆet de ces d´efinitions g´en´erales est de s’appliquer `a des objets vari´es, venant de l’alg`ebre,
l’analyse ou la g´eom´etrie. Dans ce chapitre cependant, on ne consid`ere que des “nombres”. En particulier
les lois seront commutatives.
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2) Structure de groupe :
a) D´ef. centrale en math´ematiques et en physique !
(i) SAVOIR POUR TOUJOURS : (Quatre propri´et´es )
(G, ∗)est un groupe ssi ∗est une lc.i., ∗est assoc., a un neutre, et tout ´el´ement de Gadmet
un sym´etrique dans G..
(ii) On ne demande pas la commutativit´e parce qu’on aime bien la loi ○!
Si en plus la loi est commutative : groupe commutatif ou ab´elien.
b) Exemples et Ctre Exples :
(i) (N,+)n’est pas un groupe. On invente Zpour palier `a ce d´efaut.
(ii) Mˆeme pb. avec (Z∗,×). On invente Q:(Q∗,×)est un groupe.
De mˆeme pour (R,+),(C,+),(R∗,×),(C∗,×)(ne pas oublier d’enlever 0 ).
(iii) Exemple de groupe fini dans les ensembles de nombres : (U2={−1,1},×)
c) Exemple de groupe non commutatif : (B(E),○). Non commutatif d`es que Card(E)≥3.
Exemple de B(E)quand E={a, b}et E={a, b, c}.
On retrouvera ces groupes de bijections en g´eom´etrie notamment.
d) Un int´erˆet de la structure de groupe : dans Zon peut toujours r´esoudre l’´equation a+x=b.
G´en´eralisation : Si (G, ∗)est un groupe, l’´equation a∗x=badmet un unique solution dans G.
Notation plus commode : noter (G, .), le neutre e, et a−1pour le sym´etrique de a. Mais attention
`a la traduction si la loi s’appelle +.
3) Sous-groupe :
a) D´ef. SAVOIR POUR TOUJOURS : (Trois propri´et´es ) Soit H⊂G, o`u (G, ∗)groupe.
Hsous-groupe de (G, ∗)ssi ∗est une l.c.i. de H, contient e, contient les sym. de tous ses ´elmts.
(ii) Remarque : une autre fa¸con de dire : “∗est une l.c.i. de H” est de dire que “Hest stable
par ∗”.
(iii) Remarque ( variante de la d´ef. du (i)) : Hcontient eet ∀(a, b)∈H2,ab−1∈H.
(iv) Prop. : Soit (G, ∗)un groupe et H⊂G:Hsous-groupe de (G, ∗)ssi (H, ∗)est un groupe.
(v) Ctre exple Nn’est pas un sous-groupe de (Z,+).
Exple : 2Zest un sous-groupe de (Z,+), plus g´en´eralement tous les nZ.
(vi) Exple : (D,+)est un sous-groupe de (Q,+), mais D∗n’est pas un sous-groupe de (Q∗,×).
b) Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement.
(i) Notation : si (G, .)est un groupe quelconque (avec la notation du 2) d)), et si a∈G, on
notera a0=e, pour tout k∈N,ak=a.....a (avec afigurant kfois), et a−k=a−1.....a−1(avec a−1
figurant kfois), (d´ef. correcte par rec.).
On a donc d´efini la notation akpour tout k∈Z.
Rem. 1 on v´erifie imm´ediatement, que pour tout k∈Z,a−kest alors le sym´etrique de ak.
Rem. 2. Plus g´en´eralement la notation akpour k∈N∗a un sens d`es que la loi est associative.
(ii) D´ef. : <a>= {ak, k ∈Z}. Prop. <a>est un sous-groupe de (G, .)
(iii) Attention `a la diff´erence d’´ecriture suivant les lois.
Exemple dans (Z,+):aZ, et dans (R∗,×):aZ.
(iv) Prop. <a>est le plus petit sous-groupe de (G, .)contenant <a>, ce qui signifie que tout
sous-groupe de (G, .)contenant acontient <a>.
c) Intersection de sous-groupes
(i) Prop. c’est un sous-groupe. (ii) Exemple de 2Z∩3Z.
(iii) Contre-exemple pour la r´eunion 2Z∪3Zn’est pas un groupe.
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