Propietats b`asiques dels n´umeros. Francesc Bars Cortina Apunts de classe: Enginyeria Qu´ımica

Francesc Bars Cortina
Propietats b`asiques dels n´umeros.
Apunts de classe:
Enginyeria Qu´ımica
UAB, 15 de juliol de 2011

ii Francesc Bars

Contingut
Introducci´o v
1 Nombres i converg`encia 1
1.1 Propietats b`asiques dels nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Nombres naturals i principi d’inducci´o. . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Nombres enters, racionals, reals i complexos. . . . . . . . 5
1.2 Propietats dels nombres reals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Funci´o dist`ancia, completesa dels nombres reals. . . . . . 20
1.2.2 Successions de nombres reals. Primeres nocions de l´ımit
aunnombrereal........................ 22
1.2.3 Successions creixents i decreixents. Exponencial. . . . . . 29
1.2.4 L´ımits de successions a R∪ {±∞}. Indeterminacions i
criteris per al c`alcul de l´ımits. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.5 S`eries num`eriques: primeres propietats.Criteris. . . . . . . 44
1.3 Factoritzaci´o de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.1 L’exponencial complexa. Arrels d’un nombre complex . . 55
1.3.2 Factoritzaci´o de polinomis a R[x]iaC[x] ......... 60
Bibliografia 67

iv Francesc Bars CONTINGUT

Introducci´o
Aquestes notes volen ser ´unicament un complement pel nou estudiant univer-
sitari en facilitar el seu aprenentatge en el llenguatge matem`atic utilitzat a la
universitat.
Les notes s´on els apunts de classe de teoria del primer cap´ıtol del curs
d’` Algebra Lineal per a Enginyeria Qu´ımica en l’any acad`emic 2002/03. El con-
tingut d’aquests apunts, usualment s’inclou en llibres de c`alcul amb una estruc-
tura una mica diferent a la que es segueix en aquest curs, tan referent al nivell
i a l’ordre, per aix`o he trobat convenient deixar-vos per escrit aquestes notes.
La idea de passar-vos aquestes notes ´es sobre tot perqu`e no estigueu prenent
apunts a classe sin´o que intenteu entendre els conceptes que vagin sortint a la
pissarra (aquestes notes segueixen en bona part l’ordre i el contingut del primer
cap´ıtol del curs), i l’esfor¸c a classe ´es intentar entendre qu`e vol dir aquell con-
cepte (llegir en matem`atiques) i qu`e ens permet calcular, com s’opera, s’utilitza
per...
En llegir aquests apunts, us trobareu que apareix un asterix (*). Aquest s´ımbol
l’he utilitzat per donar-vos m´es informaci´o sobre el tema o l’estructura del
cap´ıtol que crec que us pot ser ´util per entendre-ho millor, tot i que es surt
del contingut del temari del curs. Igualment trobareu el signe ?, utilitzat per
a denotar m´es expl´ıcitament l’acabament d’alguns resultats, propietats, comen-
taris, ...
En quan als cap´ıtols seg¨uents de l’assignatura ` Algebra Lineal per a engi-
nyers qu´ımics a la UAB, un llibre qualsevol d’` Algebra Lineal segueix b`asicament
l’estructura que seguirem en el curs, per aix`o aquestes notes ´unicament es res-
tringeixen al primer cap´ıtol del curs. A m´es, deixeu-me recomanar els apunts
del Professor Enric Nart d’Algebra Lineal per als enginyers inform`atics [8] que
´es justament una ampliaci´o dels cap´ıtols 2 al 4 d’aquest curs d’` Algebra Lineal
(si llegiu aquest llibre del professor Enric Nart, penseu que K´es per a vosaltres:
R(´es a dir els nombres reals) o Q(els nombres racionals) o C(els nombres
complexos)).
´
Es per a mi un plaer poder agrair al professor Joan Josep Carmona per les
seves sugger`encies i indicacions en la redacci´o d’aquests apunts.
Igualment agrair les preguntes i dificultats portant a aclariments dels alumnes
en llegir aquest text, els quals ajuden a que aquest manuscrit es millori.