énoncez

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Etiquettes
Documents autoris´ es (en particulier le poly).
Dans tout le probl` eme, on appellera mono¨ ıde ` a soulignement tout triplet M= (|M|,1, ., ), o`
u
(|M|,1, .)est un mono¨ ıde, et est une fonction de |M|dans |M|, qui `
aαassocie un ´ el´ ement not´ e
α. Autrement dit, |M|est un ensemble, appel´ e le support de M, l’´ el´ ement neutre 1est un ´ el´ ement
de M; pour tous α, β ∈ |M|, on peut former le produit α.β ∈M(on notera aussi αβ au lieu de
α.β), de sorte que (αβ)γ=α(βγ)(donnant ainsi un sens ` a la notation αβγ), et 1α=α1 = α;
enfin pour tout α∈ |M|, le soulign´ eαest un ´
el´ ement de |M|. Le soulign´ e n’a aucune propri´ et´ e
sp´ eciale a priori.
Pour toute partie Pd’un mono¨ ıde de soulignement M, on d´ efinit le λP,M -calcul, comme suit.
Les λP,M -termes sont obtenus en d´ ecorant chaque λ-terme par un ´ el´ ement de M, son ´ etiquette.
Autrement dit, la syntaxe du λP,M -calcul est donn´ ee par :
s, t, u, v, . . . ::= Mαterme ´ etiquet´ e
M, N, P, . . . ::= xvariable
|uv application (de termes ´ etiquet´ es)
|λx ·uabstraction (le corps uest ´ etiquet´ e)
L’alpha-renommage est comme dans le λ-calcul, mais laisse les ´ etiquettes invariantes. Par exemple,
(λx ·xα)βest alpha-´ equivalente ` a(λy ·yα)β, mais pas ` a(λy ·yγ)βsi α6=γ.
On peut appliquer une ´ etiquette β` a un terme ´ etiquet´ eupour obtenir un terme ´ etiquet´ e not´ e(u)β
(attention : les parenth` eses font partie de la notation; uβn’a pas de sens), d´ efini par : tout terme
´
etiquet´ e s’´ ecrit de fac¸on unique u=Mαpour un certain terme non ´ etiquet´ eM, alors (u)β=Mαβ.
On d´ efinit la substitution u[x:= v](modulo alpha-renommage) comme suit. Notons que ceci
utilise l’application des ´ etiquettes, que nous venons de d´ efinir.
xα[x:= v] = (v)α
yα[x:= v] = yα(yvariable autre que x)
(u1u2)α[x:= v] = ((u1[x:= v])(u2[x:= v]))α
(λz ·u)α[x:= v] = (λz ·(u[x:= v]))α(znon libre dans vet diff´ erente de x)
Finalement, on d´ efinit la (βP)-r´ eduction par la r` egle :
(βP) ((λx ·u)αv)β→(u[x:= (v)α])αβ (si α∈P)
1

Donc on interdit la (βP)-r´ eduction si αn’est pas dans P; et on effectue deux applications
d’´ etiquettes, une ` avavec l’´ etiquette αsoulign´ ee, et une au contract´ e tout entier. Une fac¸on un peu
plus simple de d´ ecrire ceci, quoique pas enti` erement correcte, est (λx ·u)αv→(u[x:= (v)α])α.
Par exemple, si Pest suffisamment grand, on aura :
((λx ·(x1x2)3)4(λx ·(x5x6)7)8)9→((λx ·(x5x6)7)841(λx ·(x5x6)7)842)349
→((λx ·(x5x6)7)8428415(λx ·(x5x6)7)8428416)7841349
→...
Dans tout le probl` eme, je donne une indication de la longueur de ma solution, par exemple
“(16l.)” indique que j’ai une solution de 16 lignes. Notez que je suis assez verbeux. Ces indications
ont essentiellement pour but de vous remettre sur le droit chemin si jamais vous vous embarquez
dans une solution inutilement longue.
1´ Etiquettes de Hyland-Wadsworth
Dans cette section, nous consid´ erons le mono¨ ıde ` a soulignement d´ efini comme suit :
–|M|=N∪ {∞} ;
– l’´ el´ ement neutre est ∞;
– le produit αβ est d´ efini comme min(α, β); on conviendra que min(α, ∞) = min(∞, α) =
α;
– le soulignement est d´ efini par ∞=∞,α=α−1si α6= 0,∞,0 = 0.
On pose P=|M| \ {0,∞} =N\ {0}. La (βP)-r´ eduction devient donc :
(βP) ((λx ·u)αv)β→(u[x:= (v)α−1])min(α,β)(si α6= 0,∞)
Ceci s’appelle le calcul ` a´ etiquettes de Hyland-Wadsworth.
On va d´ emontrer que (βP)termine, par une adaptation de la m´ ethode de r´ eductibilit´ e, usuel-
lement appel´ ee de calculabilit´ e (“computability” ; aucun rapport avec la calculabilit´ e au sens des
machines de Turing). Cette adaptation est due ` a Roel de Vrijer.
Soit SN l’ensemble des termes ´ etiquet´ es fortement normalisants. Posons ℓ(u)l’´ etiquette de u,
c’est-` a-dire ℓ(Mα) = α.
1. (2l.) Montrer que si u→v, alors ℓ(u)≥ℓ(v).
2. (7l.) On d´ efinit simultan´ ement une relation binaire ⊲et la notion de terme ´ etiquet´ ecalculable
comme suit. (Ceci n’a rien ` a voir avec une notion de calculabilit´ e` a la Turing.)
–s ⊲ t si et seulement si s→t, ou bien sest de la forme (λx ·u)α, et t= (u[x:= (v)α′])α′′
pour certains α′< α,α′′ ≤α, et pour un certain terme ´ etiquet´ evtel que (v)α′est
calculable;
–sest calculable si et seulement si sest dans la partie bien fond´ ee de ⊲, c’est-` a-dire qu’il
n’existe pas de chaˆ ıne infinie s=s0⊲ s1⊲ . . . ⊲ sk⊲ . . .
Montrer que ceci est une d´ efinition correcte, effectu´ ee par r´ ecurrence sur ℓ(s).
3. (3l.) Montrer (CR1): tout terme calculable est fortement normalisant.
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4. (2l.) Montrer (CR2): si s→tet sest calculable, alors test calculable.
5. (3l.) Disons qu’un terme ´ etiquet´ e est neutre si et seulement s’il n’est pas de la forme (λx·u)α
pour aucune ´ etiquette α. Montrer (CR3): si sest un terme ´ etiquet´ e neutre dont tous les
r´ eduits en une ´ etape (pour →) sont calculables, alors slui-mˆ eme est calculable.
6. (1l.) En d´ eduire que toute variable ´ etiquet´ ee xαest calculable.
7. (10l.) Montrer que, si (s)γ⊲ t, alors il existe un terme ´ etiquet´ et′tel que s ⊲ t′, et (t′)γ=t.
8. (3l.) En d´ eduire que si sest calculable, alors (s)γest calculable pour tout γ∈N.
9. (16l.) Montrer que si set tsont calculables, alors (st)γest calculable pour tout γ∈N∪{∞}.
10. (10l.) Montrer que si u[x:= v]est calculable pour tout terme ´ etiquet´ e calculable v, alors
(λx ·u)αest calculable pour tout α∈N∪ {∞}.
11. (16l.) En d´ eduire que tout terme ` a´ etiquettes de Hyland-Wadsworth est calculable, donc
fortement normalisant.
2´ Etiquettes de L´ evy
On notera L(A)le mono¨ ıde ` a soulignement libre sur un alphabet Anon vide. On le d´ efinit
comme suit :
– Soit L0(A) = A∗, l’ensemble des mots form´ es sur l’alphabet A.
– Si Ln(A)est d´ efini, on d´ efinit Ln+1(A)comme ´ etant l’ensemble des mots de la forme
α0β1α1β2α2. . . αk−1βkαk, o`
uk∈N, les αiet les βjsont des ´ el´ ements de Ln−1(A).
On notera que Ln−1(A)⊆Ln(A)(prendre k= 0). On d´ efinit L(A) = Sn∈NLn(A). Les ´
el´ ements
de L(A)sont appel´ ees les ´ etiquettes de L´ evy sur l’alphabet A.
On notera que tout ´ el´ ement de L(A)s’´ ecrit de fac¸on unique sous la forme
α0β1α1β2α2. . . αk−1βkαk, o`
u les αiet les βjsont encore des ´ el´ ements de L(A). L’´ el´ ement neutre
1est le mot vide ǫ. Le produit est obtenu par concat´ enation, et le soulignement est d´ ej` a d´ efini.
La hauteur h(α)d’une ´ etiquette de L´ evy est d´ efinie comme le plus petit entier ntel que α∈
Ln(A). De fac¸on ´ equivalente :
h(α) = 0 si α∈A∗(aucun soulignement)
h(α0β1α1β2α2. . . αk−1βkαk) = max( k
max
i=0 h(αi),1 + k
max
j=1 h(βj)) si k≥1
Autrement dit, la hauteur est le plus grand nombre de soulignements imbriqu´ es.
Rappelons que la r´ eduction du calcul ` a´ etiquettes de L´ evy est :
(βP) ((λx ·u)αv)β→(u[x:= (v)α])αβ (si α∈P)
1. (20l.) Montrer que si les hauteurs des ´ etiquettes de Psont major´ ees, autrement dit s’il existe
un entier ntel que h(α)< n pour tout α∈P, alors tout λP,L(A)-terme est fortement norma-
lisant (pour la (βP)-r´ eduction).
L’id´ ee est de se ramener aux ´ etiquettes de Hyland-Wadsworth, bien sˆ ur. Mais vous aurez
besoin de quelques lemmes auxiliaires : ´ enoncez-les clairement, et d´ emontrez-les au fur et ` a
mesure.
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2. (8l.) L’effacement E(u)d’un terme ` a´ etiquettes de L´ evy est le λ-terme (ordinaire) obtenu
en enlevant toutes les ´ etiquettes. Un rel` evement d’un λ-terme test un terme ` a´ etiquettes de
L´ evy utel que E(u) = t.
Montrer que si s,t1,t2sont des λ-termes tels que s→∗t1et s→∗t2dans le λ-calcul
(ordinaire), alors s,t1,t2ont des rel` evements s′,t′
1,t′ 2tels que s′→∗t′ 1et s′→∗t′ 2en
λP,L(A)-calcul, pour un certain ensemble Pd’´ etiquettes de L´ evy dont les hauteurs sont ma-
jor´ ees.
3. (9l.) Montrer que le λP,L(A)-calcul est localement confluent, et ce pour n’importe quel en-
semble P⊆L(A). (On demande un argument rapide, pas forc´ ement complet, mais qui fait
bien apparaˆ ıtre le ou les cas essentiels.)
4. (7l.) D´ eduire des deux questions pr´ ec´ edentes une nouvelle d´ emonstration du fait que le λ-
calcul est confluent. (Les questions pr´ ec´ edentes ´ enoncent que, mˆ eme si le λ-calcul n’est pas
fortement normalisant, il se comporte localement comme s’il l’´ etait.)
3 R´ eductions quasi-internes
Une r´ eduction s→ten λP,L(A)-calcul est interne si et seulement si le r´ edex contract´ e dans s
n’a aucun sous-terme strict qui soit un r´ edex.
Par exemple, ((λy ·(λx ·xζ)αyη)βzθ)γ→((λy ·yηαζα)βzθ)γest une r´
eduction interne si α∈P
(et n’est pas une r´ eduction sinon). La r´ eduction ((λy ·(λx ·xζ)αyη)βzθ)γ→((λx ·xζ)αzθβη)βγ est
une r´ eduction interne si β∈Pet α6∈ P; si α, β ∈Pc’est une r´ eduction qui n’est pas interne.
On notera s→int tsi sse r´ eduit par une r´ eduction en une ´ etape qui est interne.
On d´ efinit une notion de r´ eduction quasi-interne en λ-calcul comme suit. (La notion, appel´ ee
“inside-out reduction”, a ´ et´ e introduite par Welch en 1975.) L’id´ ee est la suivante. Lorsque l’on
r´ eduit sen tpar β-r´ eduction, les r´ edex non contract´ es dans sse retrouvent copi´ es un certain nombre
de fois dans t(possiblement 0). Les r´ edex de tainsi obtenus sont appel´ es les r´ esidus de r´ edex de
s. En g´ en´ eral, tcontient d’autres r´ edex, les r´ edex cr´ e´ es par la contraction. Par exemple, dans
(λx ·xx)(λy ·yy), l’unique r´ edex dans le contract´ e(λy ·yy)(λy ·yy)est cr´ e´ e. Une r´ eduction
s=s0→s1→... →sn=test intuitivement quasi-interne si et seulement si aucun r´ edex
contract´ e dans cette r´ eduction n’est r´ esidu d’un r´ edex qui apparaˆ ıt comme sous-terme d’un r´ edex
contract´ e avant lui. Autrement dit, si on d´ ecide de contracter un r´ edex r, qui contient un r´ edex r′
comme sous-terme (strict), on ne pourra plus jamais contracter (aucun r´ esidu de) r′`
a l’avenir. On
notera alors s=⇒io t.
Plutˆ ot que de formaliser la notion, on admettra que l’effacement d’une r´ eduction interne en
λP,L(A)-calcul est une r´ eduction quasi-interne en λ-calcul. Autrement dit, on admettra que si s=
s0→int s1→int ...→int sn=ten λP,L(A)-calcul, alors E(s) =⇒io E(t).
1. (8l.) Montrer que les r´ eductions quasi-internes sont cofinales en λ-calcul. Par ceci, nous
entendons le r´ esultat suivant : si s→∗ten λ-calcul, alors il existe un λ-terme utel que
s=⇒io uet t→∗u.
2. (2l.) En d´ eduire que les strat´ egies quasi-internes du λ-calcul sont standardisantes : si sa une
forme normale t, alors s=⇒io t.
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