Correction

´
Etiquettes
Correction.
Documents autoris´ es (en particulier le poly).
Dans tout le probl` eme, on appellera mono¨ ıde ` a soulignement tout quadruplet 𝑀= (∣𝑀∣,1, ., ),
o` u(∣𝑀∣,1, .)est un mono¨ ıde, et est une fonction de ∣𝑀∣dans ∣𝑀∣, qui `
a𝛼associe un ´ el´ ement not´ e
𝛼. Autrement dit, ∣𝑀∣est un ensemble, appel´ e le support de 𝑀, l’´ el´ ement neutre 1est un ´ el´ ement
de 𝑀; pour tous 𝛼, 𝛽 ∈ ∣𝑀∣, on peut former le produit 𝛼.𝛽 ∈𝑀(on notera aussi 𝛼𝛽 au lieu de
𝛼.𝛽), de sorte que (𝛼𝛽)𝛾=𝛼(𝛽𝛾)(donnant ainsi un sens ` a la notation 𝛼𝛽𝛾), et 1𝛼=𝛼1 = 𝛼;
enfin pour tout 𝛼∈ ∣𝑀∣, le soulign´ e𝛼est un ´
el´ ement de ∣𝑀∣. Le soulign´ e n’a aucune propri´ et´ e
sp´ eciale a priori.
Pour toute partie 𝑃d’un mono¨ ıde de soulignement 𝑀, on d´ efinit le 𝜆𝑃,𝑀 -calcul, comme suit.
Les 𝜆𝑃,𝑀 -termes sont obtenus en d´ ecorant chaque 𝜆-terme par un ´ el´ ement de 𝑀, son ´ etiquette.
Autrement dit, la syntaxe du 𝜆𝑃,𝑀 -calcul est donn´ ee par :
𝑠, 𝑡, 𝑢, 𝑣, . . . ::= 𝑀𝛼terme ´ etiquet´ e
𝑀, 𝑁, 𝑃, . . . ::= 𝑥variable
∣𝑢𝑣 application (de termes ´ etiquet´ es)
∣𝜆𝑥 ⋅𝑢abstraction (le corps 𝑢est ´ etiquet´ e)
L’alpha-renommage est comme dans le 𝜆-calcul, mais laisse les ´ etiquettes invariantes. Par exemple,
(𝜆𝑥 ⋅𝑥𝛼)𝛽est alpha-´ equivalente ` a(𝜆𝑦 ⋅𝑦𝛼)𝛽, mais pas ` a(𝜆𝑦 ⋅𝑦𝛾)𝛽si 𝛼∕=𝛾.
On peut appliquer une ´ etiquette 𝛽` a un terme ´ etiquet´ e𝑢pour obtenir un terme ´ etiquet´ e not´ e(𝑢)𝛽
(attention : les parenth` eses font partie de la notation; 𝑢𝛽n’a pas de sens), d´ efini par : tout terme
´
etiquet´ e s’´ ecrit de fac¸on unique 𝑢=𝑀𝛼pour un certain terme non ´ etiquet´ e𝑀, alors (𝑢)𝛽=𝑀𝛼𝛽.
On d´ efinit la substitution 𝑢[𝑥:= 𝑣](modulo alpha-renommage) comme suit. Notons que ceci
utilise l’application des ´ etiquettes, que nous venons de d´ efinir.
𝑥𝛼[𝑥:= 𝑣] = (𝑣)𝛼
𝑦𝛼[𝑥:= 𝑣] = 𝑦𝛼(𝑦variable autre que 𝑥)
(𝑢1𝑢2)𝛼[𝑥:= 𝑣] = ((𝑢1[𝑥:= 𝑣])(𝑢2[𝑥:= 𝑣]))𝛼
(𝜆𝑧 ⋅𝑢)𝛼[𝑥:= 𝑣] = (𝜆𝑧 ⋅(𝑢[𝑥:= 𝑣]))𝛼(𝑧non libre dans 𝑣et diff´ erente de 𝑥)
Finalement, on d´ efinit la (𝛽𝑃)-r´ eduction par la r` egle :
(𝛽𝑃) ((𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼𝑣)𝛽→(𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼])𝛼𝛽 (si 𝛼∈𝑃)
1

Donc on interdit la (𝛽𝑃)-r´ eduction si 𝛼n’est pas dans 𝑃; et on effectue deux applications
d’´ etiquettes, une ` a𝑣avec l’´ etiquette 𝛼soulign´ ee, et une au contract´ e tout entier. Une fac¸on un peu
plus simple de d´ ecrire ceci, quoique pas enti` erement correcte, est (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼𝑣→(𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼])𝛼.
Par exemple, si 𝑃est suffisamment grand, on aura :
((𝜆𝑥 ⋅(𝑥1𝑥2)3)4(𝜆𝑥 ⋅(𝑥5𝑥6)7)8)9→((𝜆𝑥 ⋅(𝑥5𝑥6)7)841(𝜆𝑥 ⋅(𝑥5𝑥6)7)842)349
→((𝜆𝑥 ⋅(𝑥5𝑥6)7)8428415(𝜆𝑥 ⋅(𝑥5𝑥6)7)8428416)7841349
→...
Dans tout le probl` eme, je donne une indication de la longueur de ma solution, par exemple
“(16l.)” indique que j’ai une solution de 16 lignes. Notez que je suis assez verbeux. Ces indications
ont essentiellement pour but de vous remettre sur le droit chemin si jamais vous vous embarquez
dans une solution inutilement longue.
1´ Etiquettes de Hyland-Wadsworth
Dans cette section, nous consid´ erons le mono¨ ıde ` a soulignement d´ efini comme suit :
–∣𝑀∣=ℕ∪ {∞} ;
– l’´ el´ ement neutre est ∞;
– le produit 𝛼𝛽 est d´ efini comme min(𝛼, 𝛽); on conviendra que min(𝛼, ∞) = min(∞, 𝛼) =
𝛼;
– le soulignement est d´ efini par ∞=∞,𝛼=𝛼−1si 𝛼∕= 0,∞,0 = 0.
On pose 𝑃=∣𝑀∣ ∖ {0,∞} =ℕ∖ {0}. La (𝛽𝑃)-r´ eduction devient donc :
(𝛽𝑃) ((𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼𝑣)𝛽→(𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼−1])min(𝛼,𝛽)(si 𝛼∕= 0,∞)
Ceci s’appelle le calcul ` a´ etiquettes de Hyland-Wadsworth.
On va d´ emontrer que (𝛽𝑃)termine, par une adaptation de la m´ ethode de r´ eductibilit´ e, usuel-
lement appel´ ee de calculabilit´ e (“computability” ; aucun rapport avec la calculabilit´ e au sens des
machines de Turing). Cette adaptation est due ` a Roel de Vrijer.
Soit 𝑆𝑁 l’ensemble des termes ´ etiquet´ es fortement normalisants. Posons ℓ(𝑢)l’´ etiquette de 𝑢,
c’est-` a-dire ℓ(𝑀𝛼) = 𝛼.
1. (2l.) Montrer que si 𝑢→𝑣, alors ℓ(𝑢)≥ℓ(𝑣).
Si le r´ edex contract´ e est ` a profondeur au moins 1, alors ℓ(𝑢) = ℓ(𝑣). Sinon, 𝑢=
((𝜆𝑥 ⋅𝑠)𝛼𝑡)𝛽,ℓ(𝑢) = 𝛽,𝑣= (𝑠[𝑥:= (𝑡)𝛼−1])min(𝛼,𝛽), et ℓ(𝑣) = min(𝛼, 𝛽)≤ℓ(𝑢).
2. (7l.) On d´ efinit simultan´ ement une relation binaire ⊳et la notion de terme ´ etiquet´ ecalculable
comme suit. (Ceci n’a rien ` a voir avec une notion de calculabilit´ e` a la Turing.)
–𝑠 ⊳ 𝑡 si et seulement si 𝑠→𝑡, ou bien 𝑠est de la forme (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼, et 𝑡= (𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼′])𝛼′′
pour certains 𝛼′< 𝛼,𝛼′′ ≤𝛼, et pour un certain terme ´ etiquet´ e𝑣tel que (𝑣)𝛼′est
calculable;
–𝑠est calculable si et seulement si 𝑠est dans la partie bien fond´ ee de ⊳, c’est-` a-dire qu’il
n’existe pas de chaˆ ıne infinie 𝑠=𝑠0⊳ 𝑠1⊳ . . . ⊳ 𝑠𝑘⊳ . . .
2

Montrer que ceci est une d´ efinition correcte, effectu´ ee par r´ ecurrence sur ℓ(𝑠).
Dans la d´ efinition de 𝑠 ⊳ 𝑡, on utilise la notion de calculabilit´ e sur des termes (𝑣)𝛼′avec
𝛼′< 𝛼 ; or ℓ((𝑣)𝛼′) = min(ℓ(𝑣), 𝛼′)≤𝛼′< 𝛼 =ℓ(𝑠), donc la notion de calculabilit´ e
est utilis´ ee uniquement sur des termes d’´ etiquettes strictement plus petites.
Dans la d´ efinition de la calculabilit´ e, on utilise la d´ efinition de ⊳sur une infinit´ e de
couples 𝑠𝑘⊳ 𝑠𝑘+1. Par la question 1, ℓ(𝑠𝑘)≤ℓ(𝑠). Or, par ce que nous venons d’obser-
ver, ceci n’utilise la notion de calculabilit´ e que sur des termes d’´ etiquettes strictement
inf´ erieures ` aℓ(𝑠).
3. (3l.) Montrer (𝐶𝑅1): tout terme calculable est fortement normalisant.
Soit 𝑠un terme calculable. Si l’on a une chaˆ ıne infinie 𝑠=𝑠0→𝑠1→... →𝑠𝑘→...,
alors par d´ efinition de ⊳, on a la chaˆ ıne infinie 𝑠=𝑠0⊳ 𝑠1⊳ . . . ⊳ 𝑠𝑘⊳ . . ., ce qui
contredit le fait que 𝑠soit calculable.
4. (2l.) Montrer (𝐶𝑅2): si 𝑠→𝑡et 𝑠est calculable, alors 𝑡est calculable.
Si 𝑠→𝑡, alors 𝑠 ⊳ 𝑡. Si 𝑡n’´ etait pas calculable, il y aurait une ⊳-r´ eduction infinie
partant de 𝑡, donc aussi une partant de 𝑠: contradiction.
5. (3l.) Disons qu’un terme ´ etiquet´ e est neutre si et seulement s’il n’est pas de la forme (𝜆𝑥⋅𝑢)𝛼
pour aucune ´ etiquette 𝛼. Montrer (𝐶𝑅3): si 𝑠est un terme ´ etiquet´ e neutre dont tous les
r´ eduits en une ´ etape (pour →) sont calculables, alors 𝑠lui-mˆ eme est calculable.
Consid´ erons une r´ eduction infinie partant de 𝑠:𝑠=𝑠0⊳ 𝑠1⊳ . . . ⊳ 𝑠𝑘⊳ . . .. Comme
𝑠=𝑠0est neutre, on a en fait 𝑠0→𝑠1. Par hypoth` ese, 𝑠1est calculable, ce qui contredit
le fait que la r´ eduction est infinie. Donc 𝑠est calculable.
6. (1l.) En d´ eduire que toute variable ´ etiquet´ ee 𝑥𝛼est calculable.
Par (𝐶𝑅3):𝑥𝛼est neutre et n’a aucun r´ eduit en une ´ etape.
7. (10l.) Montrer que, si (𝑠)𝛾⊳ 𝑡, alors il existe un terme ´ etiquet´ e𝑡′tel que 𝑠 ⊳ 𝑡′, et (𝑡′)𝛾=𝑡.
On consid` ere trois cas.
– Si (𝑠)𝛾→𝑡et le r´ edex contract´ e dans (𝑠)𝛾n’est pas au sommet, alors on peut
contracter le mˆ eme r´ edex dans 𝑠, et le r´ esultat est clair.
– Si (𝑠)𝛾→𝑡au sommet, c’est-` a-dire 𝑠= ((𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼𝑣)𝛽, et 𝑡= (𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼−1])𝛼𝛽𝛾 ,
il suffit de poser 𝑡′= (𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼−1])𝛼𝛽 .
– Si (𝑠)𝛾est de la forme (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼avec 𝑡= (𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼′])𝛼′′ ,𝛼′< 𝛼,𝛼′′ ≤𝛼, o` u
(𝑣)𝛼′est calculable. Alors 𝑠est de la forme (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼1avec min(𝛼1, 𝛾) = 𝛼. Mais
alors on a encore 𝛼′< 𝛼1,𝛼′≤𝛼1. Donc 𝑠 ⊳ 𝑡 : prendre 𝑡′=𝑡, et noter que
(𝑡′)𝛾= (𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼′])min(𝛼′′ ,𝛾)=𝑡, car 𝛼′′ ≤𝛼= min(𝛼1, 𝛾), donc 𝛼′′ ≤𝛾, d’o` u
min(𝛼′′, 𝛾) = 𝛼′′.
8. (3l.) En d´ eduire que si 𝑠est calculable, alors (𝑠)𝛾est calculable pour tout 𝛾∈ℕ.
3

S’il existait une chaˆ ıne infinie (𝑠)𝛾=𝑠0⊳ 𝑠1⊳ . . . ⊳ 𝑠𝑘⊳ . . ., par la question
pr´ ec´ edente il existerait une chaˆ ıne infinie 𝑠=𝑠′
0⊳ 𝑠′
1⊳ . . . ⊳ 𝑠′
𝑘⊳ . . . avec (𝑠′ 𝑘)𝛾=𝑠𝑘
pour tout 𝑘: mais ceci contredirait le fait que 𝑠est calculable.
9. (16l.) Montrer que si 𝑠et 𝑡sont calculables, alors (𝑠𝑡)𝛾est calculable pour tout 𝛾∈ℕ∪{∞}.
On peut utiliser (𝐶𝑅3). On d´ emontre que (𝑠𝑡)𝛾est calculable pour tous 𝑠,𝑡calcu-
lables par r´ ecurrence sur le couple (𝑠, 𝑡)ordonn´ e par le produit lexicographique de →
avec →. Notons qu’on peut le faire par (𝐶𝑅1): tout terme calculable est fortement
normalisant.
Les r´ eduits en une ´ etape de (𝑠𝑡)𝛾sont d’une des trois formes :
–(𝑠′𝑡)𝛾avec 𝑠→𝑠′: par (𝐶𝑅2)𝑠′est encore calculable, et on applique l’hypoth` ese
de r´ ecurrence;
–(𝑠𝑡′)𝛾avec 𝑡→𝑡′: idem;
–(𝑢[𝑥:= (𝑡)𝛼−1])min(𝛼,𝛾), o` u𝑠= (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼,𝛼∈𝑃. Or comme 𝑡est calculable, (𝑡)𝛼−1
l’est aussi par la question 8.
De plus, 𝛼′=𝛼−1< 𝛼, et 𝛼′′ = min(𝛼, 𝛾)≤𝛼, donc 𝑠 ⊳ (𝑢[𝑥:= (𝑡)𝛼−1])min(𝛼,𝛾),
par d´ efinition de ⊳.
Comme 𝑠est calculable, il n’y aucune ⊳-r´ eduction infinie partant de 𝑠, donc pas non
plus de (𝑢[𝑥:= (𝑡)𝛼−1])min(𝛼,𝛾).
Dans tous les cas, les r´ eduits en une ´ etape de (𝑠𝑡)𝛾sont calculables. Comme (𝑠𝑡)𝛾est
neutre, par (𝐶𝑅3),(𝑠𝑡)𝛾est calculable.
10. (10l.) Montrer que si 𝑢[𝑥:= 𝑣]est calculable pour tout terme ´ etiquet´ e calculable 𝑣, alors
(𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼est calculable pour tout 𝛼∈ℕ∪ {∞}.
D’abord, toute variable est calculable, donc en posant 𝑣=𝑥∞,𝑢=𝑢[𝑥:= 𝑥∞]est
calculable. Donc 𝑢est fortement normalisant. Si l’on avait une chaˆ ıne infinie partant
de (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼, elle commencerait donc par un nombre fini d’applications de →, puis
continuerait par une application de ⊳qui n’est pas →.
Autrement dit, elle serait de la forme (𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼→(𝜆𝑥 ⋅𝑢1)𝛼→... →(𝜆𝑥 ⋅𝑢𝑘)𝛼⊳
(𝑢𝑘[𝑥:= (𝑣′)𝛼′])𝛼′′ ⊳ . . ., o` u𝑢=𝑢0→𝑢1→... →𝑢𝑘,𝛼′< 𝛼,𝛼′′ ≤𝛼, et o` u(𝑣′)𝛼′
est calculable. Par (𝐶𝑅2),𝑢𝑘[𝑥:= 𝑣]est calculable pour tout terme calculable 𝑣, donc
𝑢𝑘[𝑥:= (𝑣′)𝛼′]est calculable.
Par la question 8 (si 𝛼′′ ∕=∞, sinon c’est trivial), (𝑢𝑘[𝑥:= (𝑣′)𝛼′])𝛼′′ est calculable.
Mais ceci contredit le fait que la r´ eduction partant de ce dernier est infinie.
11. (16l.) En d´ eduire que tout terme ` a´ etiquettes de Hyland-Wadsworth est calculable, donc
fortement normalisant.
Disons qu’une substitution 𝜎est calculable si et seulement si elle envoie toute variable
vers un terme calculable. On d´ efinit 𝑢𝜎 par : 𝑥𝛼𝜎= (𝑣)𝛼o` u𝜎(𝑥) = 𝑣, si 𝑥est dans le
domaine de 𝜎, les autres cas ´ etant ´ evidents.
Par r´ ecurrence sur la structure de 𝑢, on d´ emontre que 𝑢𝜎 est calculable pour toute
substitution calculable 𝜎.
4

Lorsque 𝑢=𝑥𝛼, et 𝑥est dans le domaine de 𝜎,𝑣=𝜎(𝑥)est calculable, donc aussi
𝑢𝜎 = (𝑣)𝛼par la question 8.
Lorsque 𝑢= (𝑠𝑡)𝛾, alors 𝑢𝜎 = ((𝑠𝜎)(𝑡𝜎))𝛾est calculable par hypoth` ese de r´ ecurrence
et la question 9.
Lorsque 𝑢= (𝜆𝑥 ⋅𝑠)𝛼, supposons 𝑥fraˆ ıche, ce que l’on peut faire ` a alpha-renommage
pr` es. En particulier, on peut supposer que 𝑥n’est pas dans le domaine de 𝜎, ni libre
dans aucun terme dans l’image de 𝜎. Par hypoth` ese de r´ ecurrence, 𝑠(𝜎∪[𝑥:= 𝑣]) =
𝑠𝜎[𝑥:= 𝑣]est calculable pour tout 𝑣calculable. Par la question 10, (𝜆𝑥 ⋅𝑠𝜎)𝛼est
calculable. Mais ceci est 𝑢𝜎.
En prenant pour 𝜎la substitution vide, on en d´ eduit que tout terme ´ etiquet´ e𝑢est
calculable, donc fortement normalisant par (𝐶𝑅1).
2´ Etiquettes de L´ evy
On notera 𝐿(𝐴)le mono¨ ıde ` a soulignement libre sur un alphabet 𝐴non vide. On le d´ efinit
comme suit :
– Soit 𝐿0(𝐴) = 𝐴∗, l’ensemble des mots form´ es sur l’alphabet 𝐴.
– Si 𝐿𝑛(𝐴)est d´ efini, on d´ efinit 𝐿𝑛+1(𝐴)comme ´ etant l’ensemble des mots de la forme
𝛼0𝛽1𝛼1𝛽2𝛼2. . . 𝛼𝑘−1𝛽𝑘𝛼𝑘, o`
u𝑘∈ℕ, les 𝛼𝑖et les 𝛽𝑗sont des ´ el´ ements de 𝐿𝑛(𝐴).
On notera que 𝐿𝑛(𝐴)⊆𝐿𝑛+1(𝐴)(prendre 𝑘= 0). On d´ efinit 𝐿(𝐴) = ∪𝑛∈ℕ𝐿𝑛(𝐴). Les ´
el´ ements
de 𝐿(𝐴)sont appel´ ees les ´ etiquettes de L´ evy sur l’alphabet 𝐴.
On notera que tout ´ el´ ement de 𝐿(𝐴)s’´ ecrit de fac¸on unique sous la forme
𝛼0𝛽1𝛼1𝛽2𝛼2. . . 𝛼𝑘−1𝛽𝑘𝛼𝑘, o`
u les 𝛼𝑖et les 𝛽𝑗sont encore des ´ el´ ements de 𝐿(𝐴). L’´ el´ ement neutre
1est le mot vide 𝜖. Le produit est obtenu par concat´ enation, et le soulignement est d´ ej` a d´ efini.
La hauteur ℎ(𝛼)d’une ´ etiquette de L´ evy est d´ efinie comme le plus petit entier 𝑛tel que 𝛼∈
𝐿𝑛(𝐴). De fac¸on ´ equivalente :
ℎ(𝛼) = 0 si 𝛼∈𝐴∗(aucun soulignement)
ℎ(𝛼0𝛽1𝛼1𝛽2𝛼2. . . 𝛼𝑘−1𝛽𝑘𝛼𝑘) = max( 𝑘
max
𝑖=0 ℎ(𝛼𝑖),1 + 𝑘
max
𝑗=1 ℎ(𝛽𝑗)) si 𝑘≥1
Autrement dit, la hauteur est le plus grand nombre de soulignements imbriqu´ es.
Rappelons que la r´ eduction du calcul ` a´ etiquettes de L´ evy est :
(𝛽𝑃) ((𝜆𝑥 ⋅𝑢)𝛼𝑣)𝛽→(𝑢[𝑥:= (𝑣)𝛼])𝛼𝛽 (si 𝛼∈𝑃)
1. (20l.) Montrer que si les hauteurs des ´ etiquettes de 𝑃sont major´ ees, autrement dit s’il existe
un entier 𝑛tel que ℎ(𝛼)< 𝑛 pour tout 𝛼∈𝑃, alors tout 𝜆𝑃,𝐿(𝐴)-terme est fortement norma-
lisant (pour la (𝛽𝑃)-r´ eduction).
L’id´ ee est de se ramener aux ´ etiquettes de Hyland-Wadsworth, bien sˆ ur. Mais vous aurez
besoin de quelques lemmes auxiliaires : ´ enoncez-les clairement, et d´ emontrez-les au fur et ` a
mesure.
5