Document

Feuille 1
Analyse - L2 - semestre 1
Année 2006-2007
Continuité
Exercice 1 : En revenant à la définition de la continuité, montrer que les fonctions
suivantes sont continues :
– La fonction f :]0, 1] → R définie par f (x) = x−1 ;
– La fonction g :]0, +∞[ définie par g(x) = x2 +
√1 ;
– La fonction h : [0, 1] → R définie par h(x) = x.
Exercice 2 : Les applications suivantes sont-elles continues ?
– La fonction f : [−1, 1[→ R définie par f (x) = (1 +√x)(1 − x)−1 ;
– La fonction g :]2, +∞[→ R définie par g(x) = (ln x2 − 1)−1 .
Exercice 3 : Soit a un réel strictement positif. Soit f la fonction de R∗+ dans R définie
par :
(
x2 si x ≤ a
f (x) = 1
si x > a
2x
La fonction est-elle continue ? Représenter graphiquement f .
Exercice 4 : Soit a et b deux réels. Soit f la fonction de R dans R définie par :
(√
x2 + a2 si |x| > 1
f (x) =
ax + b si |x| ≤ 1
La fonction est-elle continue ? Représenter graphiquement f .
Exercice 5 : On considère les fonctions de R∗ dans R définies par :
– g(x) = sin(x)x−1 ;
– h(x) = exp(−x−2 ).
Ces fonctions sont-elles continues ? Peuvent-elles être prolongées par continuité sur R ? Si
oui explicitez ce prolongement.
Exercice 6 : Montrer que la fonction partie entière est continue en tout point de R \ Z
et discontinue en tout point de Z.
Exercice 7 : On définie une fonction f de R dans lui-même de la manière suivante.
Si x est irrationnel, on pose f (x) = 0. Si x est rationnel, on considère l’unique couple
d’entiers (p, q) avec q strictement positif, p et q premiers entre eux et x = p/q. On pose
alors f (x) = 1/q. Etudier la continuité de f
Exercice 8 : Donner un exemple de fonction continue de Q dans R ne pouvant être
prolongée en une fonction continue de R dans R.
Exercice 9 : Chercher toutes les fonctions continues f : R → R vérifiant, pour tout x, y
dans R, la relation f (x + y) = f (x) + f (y).
1
Théorème des valeurs intermédiaires et applications
P
Exercice 10 : Soit P (x) = nk=0 ak xk un polynôme à coefficients réels de degré n impair.
Vérifier que il admet au moins une racine réelle, c’est à dire un réel x tel que P (x) = 0.
Exercice 11 :
1. Déterminer le nombre et le signe des racines réelles de l’équation de Fibonacci :
x3 + 2x2 + 10x − 20 = 0.
2. Montrer que l’équation :
1−
x2 x4
+
= 0,
2
24
admet quatre racines réelles.
Exercice 12 : Soit a et b deux réels vérifiant a < b. Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction
continue. Montrer que f admet un point fixe, c’est à dire un point x ∈ [a, b] vérifiant
f (x) = x. Est-il vrai que toute fonction continue de R dans R admet un point fixe ?
Exercice 13 :
1. Montrer qu’une fonction continue de R dans R qui ne s’annule pas est de signe
constant ;
2. Le théorème de valeurs intermédiaires s’applique-t-il si on ne suppose pas f continue ?
Exercice 14 : Soit f : [0, 1] → R une fonction continue vérifiant f (0) = f (1). Soit p ≥ 1
un entier. Montrer qu’il existe x appartenant à [0, 1 − p−1 ] tel que f (x) = f (x + p−1 ).
Fonctions injectives, surjectives, bijectives - réciproque
d’une bijection
Exercice 15 : Soit f une application continue d’un intervalle I de R dans R. Montrer que
si f est strictement monotone, alors f définie une bijection de I sur f (I). La réciproque
est-elle vraie ? Si oui, donner une démonstration, si non, donner un contre exemple.
Exercice 16 : Soit f : [−1, 1] → R la fonction définie par
( 1
e1− x si x > 0
f (x) =
0 si x ≤ 0
On définie une fonction F : [−1, 1] → C par F (x) = f (−x) + if (x). La fonction F est-elle
continue ? injective ? surjective ?
Exercice 17 : Discuter de la surjectivité et de l’injectivité des applications suivantes :
2
1. L’application f de R+ dans R définie par f (x) = x2 ;
2. L’application g de R dans R+ définie par g(x) = x2 ;
3. L’application h de R+ dans R+ définie par h(x) = x2 ;
4. L’application k de R+ dans R2+ définie par k(x) = (x, x2 ).
Exercice 18 : On considère la fonction ϕ de R \ {−2} dans R définie par
x+1
.
x+2
ϕ(x) =
Cette application est-elle injective ? Montrer l’égalité ϕ(R \ {−2}) = R \ {1}.
Exercice 19 : Soit f la fonction de R dans ] − 1, 1[ définie par
f (x) =
x
.
|x| + 1
Montrer qu’elle est bijective. Quelle est sa réciproque ?
Exercice 20 : Soit f une fonction de E dans F . Pour tout sous-ensemble A de E on
note f (A) l’image directe de A par f :
f (A) = {f (x), x ∈ A}.
Pour tout sous-ensemble B de F on note f −1 (B) l’image réciproque de B par f :
f −1 (B) = {x, f (x) ∈ B}.
Etablir les propriétés suivantes :
1. La fonction f est injective si et seulement si, pour toute partie A ⊂ E, on a
f −1 (f (A)) = A ;
2. La fonction f est surjective si et seulement si, pour toute partie B ⊂ F , on a
f (f −1 (B)) = B.
Pour chacun des deux énoncés ci-dessous, le prouver s’il est vrai, prouver qu’il est faux
s’il est faux.
1. Pour tout A, B, sous-ensembles de F , on a f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) ;
2. Pour tout A, B, sous-ensembles de E, on a f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Exercice 21 :
1. Etudier la déribabilité de la fonction arccos ;
2. Décrire le plus simplement possible la fonction arccos(cos) ;
3. On considère l’application de [0, π/2] dans R qui à x associe arccos(sin(x)). On
note F son image. On considère alors la fonction de [0, π/2] dans F qui à x associe
arccos(sin(x)). Vérifier que cette fonction est bijective et expliciter sa réciproque.
Exercice 22 : Soient E, F et G trois ensembles. Soient f : E → F et g : F → G deux
fonctions. Montrer les deux propriétés suivantes :
3
1. Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective ;
2. Si g ◦ f est injective, alors f est injective.
Exercice 23 : Soit f une bijection de N sur lui-même. Montrer qu’il existe trois entiers
naturels a, b et c tels que
a < b < c et f (b) =
f (a) + f (c)
.
2
Etude de fonctions
Exercice 24 : Que dire d’une fonction périodique de R dans R qui converge vers 0 en
+∞ ? Que dire d’une fonction monotone et périodique de R dans R ?
Exercice 25 : On considère la fonction f de R dans lui-même définie par
2 !
1
f (x) = exp
.
1 + exp(−x3 )
Cette fonction est-elle croissance, décroissante, ni l’un ni l’autre ?
Exercice 26 : A chacune des expressions suivantes, on associera de la manière ”la plus
naturelle possible” une fonction :
√
√
√
1
1
, x2 − 2, −x + √
,
x + 1,
2
4−x
2+x
√
√
2+x
3
x − x , ln
, ln(2 + x) − ln(2 − x) et sin 2x.
2−x
Exercice 27 : On fera de même que dans l’exercice précédant puis on étudiera la parité
des fonctions ainsi définies :
√
√
x2 + x, 1 + x + x2 − 1 − x + x2 ,
p
p
1+x
3
3
2
2
(x + 1) + (x − 1) et ln
.
1−x
Exercice 28 : Étudier la périodicité des fonctions de R dans R définies de la manière suivante (pour celles qui sont périodiques, on précisera la plus petite des périodes strictement
positives) :
f (x) = 10 sin(3x), g(x) = sin(x) + cos(x), h(x) = sin2 (x),
√
j(x) = sin(x) + sin(x 2) et k(x) = x3 .
Exercice 24
On considère les deux fonctions de R dans R ϕ et ψ définies par ϕ(x) = x2 et ψ(x) = 2x .
Soit x un réel. Que valent ϕ ◦ ψ(x) et ψ ◦ ϕ(x) ?
4