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Feuille 1
Analyse - L2 - semestre 1
Ann´ee 2006-2007
Continuit´e
Exercice 1 : En revenant `a la d´efinition de la continuit´e, montrer que les fonctions
suivantes sont continues :
– La fonction f:]0,1] →Rd´efinie par f(x) = x−1;
– La fonction g:]0,+∞[ d´efinie par g(x) = x2+ 1 ;
– La fonction h: [0,1] →Rd´efinie par h(x) = √x.
Exercice 2 : Les applications suivantes sont-elles continues ?
– La fonction f: [−1,1[→Rd´efinie par f(x) = (1 + x)(1 −x)−1;
– La fonction g:]2,+∞[→Rd´efinie par g(x) = (ln √x2−1)−1.
Exercice 3 : Soit aun r´eel strictement positif. Soit fla fonction de R∗
+dans Rd´efinie
par :
f(x) = (x2si x ≤a
1
2xsi x > a
La fonction est-elle continue ? Repr´esenter graphiquement f.
Exercice 4 : Soit aet bdeux r´eels. Soit fla fonction de Rdans Rd´efinie par :
f(x) = (√x2+a2si|x|>1
ax +bsi|x| ≤ 1
La fonction est-elle continue ? Repr´esenter graphiquement f.
Exercice 5 : On consid`ere les fonctions de R∗dans Rd´efinies par :
–g(x) = sin(x)x−1;
–h(x) = exp(−x−2).
Ces fonctions sont-elles continues ? Peuvent-elles ˆetre prolong´ees par continuit´e sur R? Si
oui explicitez ce prolongement.
Exercice 6 : Montrer que la fonction partie enti`ere est continue en tout point de R\Z
et discontinue en tout point de Z.
Exercice 7 : On d´efinie une fonction fde Rdans lui-mˆeme de la mani`ere suivante.
Si xest irrationnel, on pose f(x) = 0. Si xest rationnel, on consid`ere l’unique couple
d’entiers (p, q) avec qstrictement positif, pet qpremiers entre eux et x=p/q. On pose
alors f(x) = 1/q. Etudier la continuit´e de f
Exercice 8 : Donner un exemple de fonction continue de Qdans Rne pouvant ˆetre
prolong´ee en une fonction continue de Rdans R.
Exercice 9 : Chercher toutes les fonctions continues f:R→Rv´erifiant, pour tout x, y
dans R, la relation f(x+y) = f(x) + f(y).
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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires et applications
Exercice 10 : Soit P(x) = Pn
k=0 akxkun polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e nimpair.
V´erifier que il admet au moins une racine r´eelle, c’est `a dire un r´eel xtel que P(x) = 0.
Exercice 11 :
1. D´eterminer le nombre et le signe des racines r´eelles de l’´equation de Fibonacci :
x3+ 2x2+ 10x−20 = 0.
2. Montrer que l’´equation :
1−x2
2+x4 24 = 0,
admet quatre racines r´eelles.
Exercice 12 : Soit aet bdeux r´eels v´erifiant a<b. Soit f: [a, b]→[a, b] une fonction
continue. Montrer que fadmet un point fixe, c’est `a dire un point x∈[a, b] v´erifiant
f(x) = x. Est-il vrai que toute fonction continue de Rdans Radmet un point fixe ?
Exercice 13 :
1. Montrer qu’une fonction continue de Rdans Rqui ne s’annule pas est de signe
constant ;
2. Le th´eor`eme de valeurs interm´ediaires s’applique-t-il si on ne suppose pas fconti-
nue ?
Exercice 14 : Soit f: [0,1] →Rune fonction continue v´erifiant f(0) = f(1). Soit p≥1
un entier. Montrer qu’il existe xappartenant `a [0,1−p−1] tel que f(x) = f(x+p−1).
Fonctions injectives, surjectives, bijectives - r´eciproque
d’une bijection
Exercice 15 : Soit fune application continue d’un intervalle Ide Rdans R. Montrer que
si fest strictement monotone, alors fd´efinie une bijection de Isur f(I). La r´eciproque
est-elle vraie ? Si oui, donner une d´emonstration, si non, donner un contre exemple.
Exercice 16 : Soit f: [−1,1] →Rla fonction d´efinie par
f(x) = (e1−1
xsix>0
0 si x ≤0
On d´efinie une fonction F: [−1,1] →Cpar F(x) = f(−x) + if(x). La fonction Fest-elle
continue ? injective ? surjective ?
Exercice 17 : Discuter de la surjectivit´e et de l’injectivit´e des applications suivantes :
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1. L’application fde R+dans Rd´efinie par f(x) = x2;
2. L’application gde Rdans R+d´efinie par g(x) = x2;
3. L’application hde R+dans R+d´efinie par h(x) = x2;
4. L’application kde R+dans R2
+d´efinie par k(x) = (x, x2).
Exercice 18 : On consid`ere la fonction ϕde R\ {−2}dans Rd´efinie par
ϕ(x) = x+ 1
x+ 2.
Cette application est-elle injective ? Montrer l’´egalit´e ϕ(R\ {−2}) = R\ {1}.
Exercice 19 : Soit fla fonction de Rdans ] −1,1[ d´efinie par
f(x) = x
|x|+ 1.
Montrer qu’elle est bijective. Quelle est sa r´eciproque ?
Exercice 20 : Soit fune fonction de Edans F. Pour tout sous-ensemble Ade Eon
note f(A) l’image directe de Apar f:
f(A) = {f(x), x ∈A}.
Pour tout sous-ensemble Bde Fon note f−1(B) l’image r´eciproque de Bpar f:
f−1(B) = {x, f(x)∈B}.
Etablir les propri´et´es suivantes :
1. La fonction fest injective si et seulement si, pour toute partie A⊂E, on a
f−1(f(A)) = A;
2. La fonction fest surjective si et seulement si, pour toute partie B⊂F, on a
f(f−1(B)) = B.
Pour chacun des deux ´enonc´es ci-dessous, le prouver s’il est vrai, prouver qu’il est faux
s’il est faux.
1. Pour tout A,B, sous-ensembles de F, on a f−1(A∩B) = f−1(A)∩f−1(B) ;
2. Pour tout A,B, sous-ensembles de E, on a f(A∩B) = f(A)∩f(B).
Exercice 21 :
1. Etudier la d´eribabilit´e de la fonction arccos ;
2. D´ecrire le plus simplement possible la fonction arccos(cos) ;
3. On consid`ere l’application de [0, π/2] dans Rqui `a xassocie arccos(sin(x)). On
note Fson image. On consid`ere alors la fonction de [0, π/2] dans Fqui `a xassocie
arccos(sin(x)). V´erifier que cette fonction est bijective et expliciter sa r´eciproque.
Exercice 22 : Soient E, F et Gtrois ensembles. Soient f:E→Fet g:F→Gdeux
fonctions. Montrer les deux propri´et´es suivantes :
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1. Si g◦fest surjective, alors gest surjective ;
2. Si g◦fest injective, alors fest injective.
Exercice 23 : Soit fune bijection de Nsur lui-mˆeme. Montrer qu’il existe trois entiers
naturels a, b et ctels que
a<b<cet f(b) = f(a) + f(c)
2.
Etude de fonctions
Exercice 24 : Que dire d’une fonction p´eriodique de Rdans Rqui converge vers 0 en
+∞? Que dire d’une fonction monotone et p´eriodique de Rdans R?
Exercice 25 : On consid`ere la fonction fde Rdans lui-mˆeme d´efinie par
f(x) = exp 1
1 + exp(−x3)2!.
Cette fonction est-elle croissance, d´ecroissante, ni l’un ni l’autre ?
Exercice 26 : A chacune des expressions suivantes, on associera de la mani`ere ”la plus
naturelle possible” une fonction :
√x+ 1,1
4−x2,√x2−2,√−x+1
√2 + x,
√x−x3,ln 2 + x
2−x,ln(2 + x)−ln(2 −x) et √sin 2x.
Exercice 27 : On fera de mˆeme que dans l’exercice pr´ec´edant puis on ´etudiera la parit´e
des fonctions ainsi d´efinies :
x2+x, √1 + x+x2−√1−x+x2,
3
p(x+ 1)2+3 p(x−1)2et ln 1 + x
1−x.
Exercice 28 : ´
Etudier la p´eriodicit´e des fonctions de Rdans Rd´efinies de la mani`ere sui-
vante (pour celles qui sont p´eriodiques, on pr´ecisera la plus petite des p´eriodes strictement
positives) :
f(x) = 10 sin(3x), g(x) = sin(x) + cos(x), h(x) = sin2(x),
j(x) = sin(x) + sin(x√2) et k(x) = x3.
Exercice 24
On consid`ere les deux fonctions de Rdans Rϕet ψd´efinies par ϕ(x) = x2et ψ(x) = 2x.
Soit xun r´eel. Que valent ϕ◦ψ(x) et ψ◦ϕ(x) ?
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