Nombres complexes - Université de Sherbrooke

IMN359
Chapitre 2
Nombres complexes
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
13 septembre 2016
Nombres complexes
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Plan du chapitre
1
Définition
2
Opérations sur les nombres complexes
3
Forme polaire d’un nombre complexe
4
La notation d’Euler
5
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
6
Cn et produit hermitien
7
Références
Nombres complexes
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Définition
Définition
1
Définition
2
Opérations sur les nombres complexes
3
Forme polaire d’un nombre complexe
4
La notation d’Euler
5
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
6
Cn et produit hermitien
7
Références
Nombres complexes
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Définition
Définition
En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l’ensemble des
nombres réels. Ils permettent entre autres de trouver des solutions à toutes les équations
polynomiales à coefficients réels. À titre d’exemple, aucun nombre réel ne vérifie
l’équation x 2 + 1 = 0, mais on pourra lui trouver une solution dans l’ensemble des
nombres complexes, noté C.
Un nombre complexe z se présente en général sous forme cartésienne,
c’est-à-dire
√
sous la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels et i = −1 est l’unité
imaginaire. Le nombre réel a est appelé partie réelle de z et est notée <(z), tandis que
le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z et est notée =(z).
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Définition
Définition
À chaque nombre complexe z = a + bi ∈ C, nous pouvons associer le point P situé à la
position (a, b) et le vecteur position OP que nous pouvons représenter dans le plan
complexe, aussi appelé plan d’Argand. La partie réelle a est portée sur l’axe horizontal
(axe réel) et la partie imaginaire b est portée sur l’axe vertical (axe imaginaire).
Nombres complexes
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Opérations sur les nombres complexes
Opérations sur les nombres complexes
1
Définition
2
Opérations sur les nombres complexes
3
Forme polaire d’un nombre complexe
4
La notation d’Euler
5
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
6
Cn et produit hermitien
7
Références
Nombres complexes
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Opérations sur les nombres complexes
Opérations sur les nombres complexes
On peut définir pour les nombres complexes plusieurs opérations qui sont similaires à
celles qui s’appliquent sur les nombres réels. Soient z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i, des
nombres complexes et k un nombre réel. On définit les opérations suivantes :
1
Égalité de deux nombres complexes : z1 = z2 si et seulement si a1 = a2 et b1 = b2 .
2
Addition de deux nombres complexes : z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i ∈ C.
3
Soustraction de deux nombres complexes : z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i ∈ C.
4
Multiplication d’un nombre complexe par un scalaire : kz1 = ka1 + kb1 i ∈ C.
5
Multiplication de deux nombres complexes :
z1 z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i)
= a1 a2 + a1 b2 i + a2 b1 i + b1 b2 i 2
= (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i
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Opérations sur les nombres complexes
Opérations sur les nombres complexes
Une opération qui n’existait pas pour les nombres réels, mais qui prend un sens pour les
nombres complexes est celle du conjugué d’un nombre complexe. Pour
z = a + bi ∈ C, on définit son conjugué comme étant z̄ = a − bi.
On définit aussi le module
d’un nombre complexe z = a + bi ∈ C comme étant le
√
2
nombre réel ||z|| = a + b2 .
Notons que ||z|| = ||z̄||.
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Opérations sur les nombres complexes
Opérations sur les nombres complexes
Si z 6= 0, on a que z z̄ = ||z||2 = a2 + b2 . De cela, on tire que
z
z̄
= 1,
||z||2
ce qui nous amène à définie l’inverse multiplicatif de z, noté z −1 (ou z1 ) et donné par
z −1 =
z̄
||z||2
.
Ainsi, la division de z1 par z2 est donnée par
z1
1
z¯2
(a1 a2 + b1 b2 ) + (a2 b1 − a1 b2 )i
= z1 ·
= z1 ·
=
.
2
z2
z2
a22 + b22
||z2 ||
Nombres complexes
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Opérations sur les nombres complexes
Opérations sur les nombres complexes
Nombres complexes
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Forme polaire d’un nombre complexe
Forme polaire d’un nombre complexe
1
Définition
2
Opérations sur les nombres complexes
3
Forme polaire d’un nombre complexe
4
La notation d’Euler
5
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
6
Cn et produit hermitien
7
Références
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Forme polaire d’un nombre complexe
Forme polaire d’un nombre complexe
√
Soit z ∈ C et z 6= 0. Alors, on peut écrire z = a + bi avec ||z|| = a2 + b2 > 0. On a donc
a
b
z = ||z||
+
i
||z|| ||z||
a
b
de sorte que le couple ||z||
, ||z||
est sur le cercle trigonométrique.
Ainsi, il existe θ ∈ R (déterminé à 2k π près) tel que
cos θ =
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a
||z||
et
sin θ =
b
.
||z||
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Forme polaire d’un nombre complexe
Forme polaire d’un nombre complexe
On peut donc écrire tout nombre complexe sous forme polaire :
z = ||z|| (cos θ + i sin θ) = r (cos θ + i sin θ),
où r = ||z|| est le module de z et θ est l’argument de z
Comme θ n’est pas uniquement déterminé, on pose Arg(z) comme étant l’unique
argument de z dans l’intervalle ] − π, π]. On l’appelle l’argument principal de z. De
manière générale, l’argument de z est noté
arg(z) = Arg(z) + 2k π, avec k ∈ Z.
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Forme polaire d’un nombre complexe
Forme polaire d’un nombre complexe
Pour z = r (cos θ + i sin θ) 6= 0, on a que
z̄ = r (cos θ − i sin θ) = r (cos(−θ) + i sin(−θ)).
On trouve donc que arg(z̄) = −arg(z).
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Forme polaire d’un nombre complexe
Forme polaire d’un nombre complexe
Une des utilités de la forme polaire est de faciliter la multiplication et la division des
nombres complexes. Ainsi, si z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ), alors
on a
z1 z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ))
z1
r1
= (cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )) (si z2 6= 0)
z2
r2
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La notation d’Euler
La notation d’Euler
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Définition
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Opérations sur les nombres complexes
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Forme polaire d’un nombre complexe
4
La notation d’Euler
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Racines n-ièmes d’un nombre complexe
6
Cn et produit hermitien
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Références
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La notation d’Euler
La notation d’Euler
En utilisant les séries de Taylor pour les fonctions sin θ et cos θ, nous pouvons écrire
∞
∞
2`
X
X
θ2`+1
` θ
cos θ + i sin θ =
(−1)
(−1)`
+i
(2`)!
(2` + 1)!
`=0
=
=
∞
X
`=0
∞
X
`=0
i 2`
i 2`
`=0
=
=
X
(2`)!
θ2`
(2`)!
+i
+
θk
ik
+
k!
k ≥0 pair
∞
X
(iθ)k
k =0
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θ2`
k!
∞
X
i 2`
`=0
∞
X
θ2`+1
(2` + 1)!
i 2`+1
`=0
X
k ≥0 impair
θ2`+1
(2` + 1)!
ik
θk
k!
= eiθ
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La notation d’Euler
La notation d’Euler
Ainsi, pour un nombre complexe z = r (cos θ + i sin θ), nous pouvons écrire z = reiθ qui
est la notation d’Euler des nombres complexes. On a alors que z̄ = re−iθ
De même, pour z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1 eiθ1 et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) = r2 eiθ2 , on a
que
z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
z1
r1
= ei(θ1 −θ2 ) (si z2 6= 0).
z2
r2
De la notation d’Euler, nous obtenons aussi les résultats suivants :
cos θ =
1 iθ
e + e−iθ
2
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et
sin θ =
1 iθ
e − e−iθ .
2i
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La notation d’Euler
La notation d’Euler
Finalement, on trouve que
d iθ
d
e =
(cos θ + i sin θ)
dθ
dθ
= − sin θ + i cos θ
= i (cos θ + i sin θ) = ieiθ
et
Z
iθ
Z
e dθ =
(cos θ + i sin θ) dθ
= sin θ − i cos θ + C
= −i (cos θ + i sin θ) + C
1
= −ieiθ + C = eiθ + C
i
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Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
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Racines n-ièmes d’un nombre complexe
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Cn et produit hermitien
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Références
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Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
La puissance n-ième d’un nombre complexe z écrit sous la forme z = reiθ est donnée par
n
z n = reiθ = r n einθ .
La racine n-ième d’un nombre complexe z est le nombre complexe w tel que w n = z. Si
on écrit
z = rei(θ+2k π) (avec k ∈ Z),
on en déduit que
w n = rei(θ+2k π) (avec k ∈ Z),
et donc que
1
w = r n ei
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θ+2k π
n
(avec k ∈ Z).
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Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Il existe seument n valeurs distinctes possibles pour w et celles-ci sont
1
wk = r n ei
θ+2k π
n
(avec k = 1, 2, 3, . . . , n − 1),
car wk +n = wk (avec k ∈ Z).
Les wk (avec k = 1, 2, 3, . . . , n − 1) sont les n racines de z. Ainsi, par exemple, les n
racines de l’unité z = 1 sont
wk = e i
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2π
k
n
(avec k = 1, 2, 3, . . . , n − 1).
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Cn et produit hermitien
Cn et produit hermitien
1
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2
Opérations sur les nombres complexes
3
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4
La notation d’Euler
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Racines n-ièmes d’un nombre complexe
6
Cn et produit hermitien
7
Références
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Cn et produit hermitien
Cn et produit hermitien
Comme pour Rn , on définit l’espace vectoriel Cn sur C par
Cn = {z = (z1 , . . . , zn )|zi ∈ C}
avec les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire dans C données par
z1 + z2 = (z11 , . . . , z1n ) + (z21 , . . . , z2n ) = (z11 + z21 , . . . , z1n + z2n )
λz = λ(z1 , . . . , zn ) = (λz1 , . . . , λzn )
Le produit hermitien (ou produit scalaire) sur Cn est défini par
hz1 , z2 i =
n
X
z1i z2i ∈ C.
i=1
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Cn et produit hermitien
Cn et produit hermitien
Ce produit hermitien possède les propriétés suivantes :
1
hz, zi ≥ 0 et hz, zi = 0 si et seulement si z = 0 ;
2
hλz1 , z2 i = λ hz1 , z2 i et hz1 , λz2 i = λ hz1 , z2 i ;
3
hz, z1 + z2 i = hz, z1 i + hz, z2 i ;
4
hz2 , z1 i = hz1 , z2 i
Nous disons que deux éléments de Cn , z1 et z2 , sont orthogonaux (ou perpendiculaires)
si hz1 , z2 i = 0. On écrira alors z1 ⊥ z2 .
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Cn et produit hermitien
Cn et produit hermitien
La norme (ou longueur) d’un élément de Cn est définie par ||z|| =
p
hz, zi.
De plus, notons que
1
||z|| ≥ 0 et ||z|| = 0 si et seulement si z = 0 ;
2
||λz|| = ||λ|| ||z||
3
||hz1 , z2 i|| ≤ ||z1 || ||z2 || (inégalité de Cauchy-Schwarz)
4
||z1 + z2 || ≤ ||z1 || + ||z2 ||
5
||z1 + z2 ||2 ≤ ||z1 ||2 + ||z2 ||2 si hz1 , z2 i = 0 (théorème de Pythagore)
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Références
Références
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Définition
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Opérations sur les nombres complexes
3
Forme polaire d’un nombre complexe
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La notation d’Euler
5
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
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Cn et produit hermitien
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Références
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Références
Références
M. Descoteaux.
Outils mathématiques du traitement d’images.
Université de Sherbrooke, 2010.
F. Dubeau.
Outils mathématiques du traitement d’images.
Université de Sherbrooke, 2006.
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