La trigonométrie- Die Trigonometrie

Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 1
La trigonométrie
Mot grec : trigonon = le triangle metria = mesure
Le but c’est le calcul de la longueur des côtés (Seiten, le côté) et la grandeur des angles
(Winkel) d’un triangle quelconque (beliebiges Dreieck)
Idées de base
 Si la construction d’un triangle est bien définie, on peut calculer tous les angles et tous les
côtés (le côté= Seite). Si la construction géométrique permet deux solutions il y en a aussi
deux solutions algébriques.
 Pour un triangle quelconque il faut avoir au moins 3 informations. Pour un triangle
rectangle 2 informations (+l’angle droit = rechter Winkel) sont suffisantes.
 Il y a plusieurs cas spécifiques (Spezialfälle) de triangles
triangle rectangle isocèle équilatéral
trigonométrie : quelle est l’utilité ? quelles sont les applications ?
 géométrie élémentaire : Presque toutes les figures de la géométrie (un carré
(Quadrat) ou un polygone régulier =regelmässiges Vieleck etc.) peuvent être divisées
en triangles
 La triangulation: fabrication d’une carte géographique
 en astronomie : calculer la distance entre la terre et les planètes
 mesurer des distances

Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 2
Notions dans le triangle (Bezeichnungen)
la bissectrice divise l’angle en deux parties égales. L’intersection des bissectrices
donne le centre du cercle inscrit. (inscrire)
la médiane divise le côté opposé en deux segments identiques. L’intersection donne
le centre de gravité.
la médiatrice est verticale sur le point milieu du côté
la hauteur segment vertical du sommet au côté opposé
le sommet A, B, C du triangle
le triangle rectangle (avec un angle droit)
La somme des trois angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°. On parle d’un angle
droit (rechter Winkel) , d’un angle optus (stumpf) et d’un angle aigu (spitz).
 Si l'angle aigu (spitz) d’un triangle rectangle est connu la forme du triangle est
déterminée, mais cependant pas sa taille.
 Pour les triangles semblables (ähnlich) le rapport de côtés (Seitenverhältnis) reste fixe.
On peut appliquer la proportionnalité (Strahlensatz)

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Notions (Bezeichnungen) dans un triangle rectangle: En vue de l’angle
30
˚
H : l’hypoténuse (opposé à l’angle droit, le côté plus long)
O : côté opposé (à l’angle ; Gegenkathete)
A : côté adjacent (Ankathete)
A cause de la proportionnalité le rapport
de 2 cotés est toujours identique.
Le rapport des côtés dépend du choix de
l’angle aigu α
l'angle rapport de côtés Verhältniszahl
Pour un angle
30
, le rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse est bien déterminé.
On appelle ce rapport le sinus.
côté opposé
sin( ) .
O
hypoténuse H
30 0 5
Définition des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle
Si on fixe dans un triangle rectangle un angle aigu, alors les rapports des côtés sont bien
déterminés. Ces rapports sont appelés les fonctions trigonométriques, désignés par sinus,
cosinus, tangente, abrégées sin, cos, tan.
Le sinus mesure le rapport entre le côté opposé (O) et l’hypoténuse (H).
Pour l’instant les angles sont mesurés en degrés, indiqué sur la calculatrice par DEG.
   cos(30) 0.86 tan(30) 0.57
AO
HA
sin
cos
tan
O
H
A
H
O
A

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 En connaissant l’angle on calcule le rapport des côtés. On utilise les fonctions
trigonométriques sin(..), cos(..), tan(..) .
 En connaissant le rapport des côtés on peut calculer l’angle (fonction réciproques,
Arcusfunktionen
sin (..),cos (..),tan (..)
111
Exercice: On aimerait bien déterminer l’angle ?
 Comment trouver l’angle en connaissant le côté opposé
BC
et l’hypoténuse?
sin( ) sin .
1
33
36 87
55
 Déterminer l’angle en connaissant le côté adjacent
AC
et l’hypoténuse?
cos( ) cos .
1
44
36 87
55
 Calculer l’angle en connaissant le côté adjacent
AC
et le côté opposé ?
tan( ) tan .
1
33
36 87
44

Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 5
Exemple 1 Détermine le côté x et le côté y. Regarde le chemin de solution, surtout
l’écriture de la solution.
tan( . )
tan( . ) .
cos( . )
cos( . )
.
cos( . )
x
x cm
y
y
y cm
25 4 10
10 25 4 4 75
10
25 4
25 4 10
10 11 07
25 4
Exemple 2 Détermine le côté z.
.
sin( . )
sin( . ) .
..
sin( . )
z
z
z cm
74
31 3
31 3 7 4
74 14 24
31 3
Exemple 3 Détermine le côté x. ( x 3.85cm)