TD3

Analyse fonctionnelle A. Leclaire
ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017
TD3
Exercice 1 Applications du théorème de Stone-Weierstrass
1) Soit Kun compact de Rd.
Montrer que les fonctions polynômes à dvariables sont denses dans C(K).
2) Soit Kun espace métrique compact. Montrer que C(K)est séparable.
engendrée par la fonction 1et les fonctions θn(x)=d(x,xn).
Indication : on pourra introduire une suite dense (xn)et considérer la sous-algèbre
Exercice 2 Prolongement des applications uniformément continues
Soient E,Fdeux espaces métriques, Dune partie dense de E, et φ:D→F.
On suppose que Fest complet, et que φest uniformément continue. On va voir que φadmet
admet un unique prolongement continu à Eet que de plus celui-ci est uniformément continu.
1) Montrer qu’un éventuel prolongement continu est nécessairement unique.
2) Montrons maintenant l’existence.
a) Soit x∈E. Montrer que si (xn)est une suite d’éléments de Dqui converge vers x, alors
(φ(xn)) converge dans F. Montrer de plus que la limite ne dépend pas de la suite (xn)choisie.
On note cette limite ψ(x).
b) Montrer que ψ:E→Fest uniformément continue et qu’elle prolonge φ.
3) Application à l’intégrale des fonctions réglées. Soit Gun espace de Banach.
On dit que f: [a,b]→Gest une fonction en escalier s’il existe a=a0<a1< . . . < an=b
telle que fsoit constante sur chaque ]ai,ai+1[. Une fonction f: [a,b]→Gest dite réglée si elle
est limite uniforme de fonctions en escalier.
On note R([a,b],G)l’ensemble des fonctions réglées muni de la norme uniforme.
a) Soit fen escalier sur la subdivision a=a0<a1< . . . < an=b. On note yila valeur de f
sur ]ai−1,ai[. Montrer que le nombre
n
X
i=1
yi(ai−ai−1)
ne dépend pas de la subdivision choisie.
On le note I(f)ou Rb
af.
on pourra considérer une subdivision qui soit plus ne que S1et S2.
Indicaton : Étant données deux subdivisions S1et S2,
b) Montrer qu’on peut prolonger Ien une application linéaire continue I:R([a,b],G)→G.
c) Montrer que si f∈R([a,b],G), alors (t7→ kf(t)k)∈R([a,b],R)et que
kI(f)k6Zb
akf(t)kdt .
d) Montrer qu’une fonction f∈C([a,b],G)est réglée.
e) Montrer que si f∈C([a,b],G), alors F:t7→ Rt
af(s)ds est C1([a,b],G)de dérivée f.
f) Soit f∈C1([a,b],G). Montrer que f(b)−f(a)=Rb
af0(s)ds.
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Exercice 3 Opérateurs à noyau
Soient X,Ydes compacts de Rnet K∈C(X×Y). Pour f∈C(X), on dénit T f :Y→Rpar
T f (y)=ZX K(x,y)f(x)dx
1) Montrer que Test une application linéaire continue de C(X)dans C(Y).
2) Montrer que l’image par Tde la boule unité fermée Bde C(X)est relativement compacte.
Exercice 4 Espaces de Baire
Un espace de Baire est un espace topologique dans lequel toute intersection dénombrable
d’ouverts denses est dense.
1) Montrer qu’un ouvert Od’un espace de Baire Eest un espace de Baire.
2) Soit Eun espace topologique localement compact, c’est-à-dire tel que tout point admet un
système fondamental de voisinages compacts. Montrer que Eest un espace de Baire.
Exercice 5 Normes équivalentes
Soit Eun espace vectoriel.
1) Montrer que deux normes k · k1et k · k2sur Edénissent la même topologie si et seulement si
elles sont équivalentes (c’est-à-dire qu’il existe k>0 et K>0 telles que kk·k16k·k26Kk·k1).
2) Donner un exemple d’espace Emuni de deux normes k · k1,k · k2non équivalentes mais telles
que k·k16k·k2.
3) Soient k · k1,k · k2deux normes telles que k · k16k · k2. Supposons que Esoit complet pour
chacune de ces normes. Montrer qu’elles sont équivalentes.
Exercice 6 Densité des fonctions continues nulle part dérivables
On pose E=C([0,1],R). Pour ε>0 et n∈N, on considère l’ensemble
Uε,n=(f∈E| ∀x∈[0,1],∃y∈[0,1],0<|y−x|<ε,
f(y)−f(x)
y−x
>n).
1) Montrer que Uε,nest un ouvert dense dans E.
2) En déduire que l’ensemble des fonctions continues nulle part dérivables est dense dans E.
Exercice 7 Sous-espaces fermés de C([0,1])formé de fonctions régulières.
Soit Fun sous-espace vectoriel fermé de C([0,1])muni de la convergence uniforme. On suppose
que tous les éléments de Fsont dans C1([0,1]).
1) En utilisant le théorème du graphe fermé, montrer qu’il existe C>0 telle que
∀f∈F,kf0k∞6Ckfk∞.
2) En déduire que la boule unité fermée de F(pour k·k∞) est compacte.
3) Que peut-on en conclure ?
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Correction :
Exercice 1 Applications du théorème de Stone-Weierstrass
Pour cet exercice, on rappelle qu’une famille (ai)i∈I∈RIest dite presque nulle si elle est
nulle pour au plus un nombre ni d’indices. L’ensemble des famille presque nulles est noté R(I).
On rappelle aussi que si Iest dénombrable, alors Q(I)est dénombrable.
1) On rappelle que les fonctions polynômiales sur Rdsont les fonctions de la forme
x7−→ X
n∈Nd
anxn
où (an)n∈Nd∈R(Nd)et où l’on utilise la notation xn=xn1
1. . . xnd
d.
Pour montrer que cet ensemble Aest dense dans C(K), on va appliquer le théorème de
Stone-Weierstrass. D’abord il est clair que Aest une sous-algèbre unitaire (stable par addition,
multiplication, multiplication scalaire, et contient la fonction constante 1). De plus, Psépare les
points de K: en eet, si y,z∈Ksont distincts, alors il existe i=1, . . . ,dtel que yi,zice qui
signie que la fonction x7→ xisépare les points y,z.
Comme Kest compact, le théorème de Stone-Weierstrass assure que Aest dense dans C(K).
2) Comme Kest métrique compact, il est séparable (voir exercice d’un TD précédent) donc ad-
met une partie dénombrable dense (an). Suivant l’indication, on considère la sous-algèbre A
engendrée par la fonction 1et les fonctions
θn:x7−→ d(x,an).
Autrement dit, Aest l’ensemble des combinaisons linéaires de fonctions de la forme
x7−→ θn1(x)θn2(x). . . θnk(x),
ou encore
A=[
k>1x7−→ P(θ1(x), . . . ,θk(x)) ,P∈R[X1, . . . ,Xk].
Il est clair que Aest une sous-algèbre unitaire.
De plus, elle sépare les points de K: en eet, si x,y∈Ksont tels que pour toute f∈ A,
f(x)=f(y), alors en particulier, ∀n,d(x,an)=d(y,an).Mais alors si x,yétaient distincts,
on aurait d(x,y)>0 et comme (an)est dense, il existerait ntel que d(x,an)<1
2d(x,y)ce qui
impliquerait
d(x,y)6d(x,an)+d(y,an)=2d(x,an)<d(x,y),
d’où une contradiction. On a donc nécessairement x=y.
Comme Kest compact, le théorème de Stone-Weierstrass donne que Aest dense dans C(K).
Comme Qest dense dans R, ceci implique que
AQ=[
k>1x7−→ P(θ1(x), . . . ,θk(x)) ,P∈Q[X1, . . . ,Xk].
est encore dense dans C(K). Or ce dernier ensemble est dénombrable car Q[X1, . . . ,Xk] est dé-
nombrable pour tout k.
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Exercice 2 Prolongement des applications uniformément continues
1) Soient ψ1,ψ2deux prolongements continus de φàE. Soit x∈E. Comme Dest dense dans E(et
comme Eest métrique), il existe une suite (xn)d’éléments de Dqui converge vers x. Comme ψ1
et ψ2coïncident avec φsur D, on a
∀n∈N,ψ1(xn)=ψ2(xn).
Mais comme ψ1et ψ2sont continues en xet que limxn=x, on obtient en passant à la limite dans
cette égalité que ψ1(x)=ψ2(x). Ainsi, ψ1et ψ2coïncident sur tout E.
2) a) Soient xn∈Dqui convergent vers xdans E. On va voir que (φ(xn)) est de Cauchy dans F.
Soit ε>0. Comme φest uniformément continue sur D, il existe η>0 tel que
∀x,y∈D,d(x,y)<η=⇒d(φ(x),φ(y)) <ε.
Mais comme (xn)converge dans E, c’est une suite de Cauchy, donc il existe Ntel que
∀p,q>N,d(xp,xq)<η.
Par suite,
∀p,q>N,d(φ(xp),φ(xq)) <ε.
Ainsi, (φ(xn)) est bien une suite de Cauchy dans F. Comme Fest complet, elle converge.
Montrons de plus que la limite ne dépend pas de la suite (xn)choisie. Pour cela, donnons-
nous xn∈Det yn∈Dconvergeant vers xdans E. Ce qui précède montre que (φ(xn)) et (φ(yn))
convergent respectivement vers `et `0dans F. Mais alors, la suite (zn)dénie par
z2n=xnet z2n+1=yn,
converge elle aussi vers x, et ce qui précède montre donc que (φ(zn)) converge. Cette suite ad-
mettant deux sous-suites convergeant respectivement vers `et `0, on en déduit que `=`0.
b) D’abord, il est clair que ψprolonge φ. En eet, si x∈D, alors la suite constante xn=x
converge vers x, et on a donc ψ(x)=lim φ(xn)=φ(x).
Maintenant, montrons queψest uniformément continue. Pour cela, prenons ε>0. Comme φ
est uniformément continue sur D, il existe η>0 tel que
∀x,y∈D,d(x,y)<η=⇒d(φ(x),φ(y)) <ε.
Mais alors, si x,y∈Esont tels que d(x,y)<η, il existe deux suites (xn)et (yn)dans Dconver-
geant respectivement vers xet y. Par dénition de ψ, on a
ψ(x)=limφ(xn)et ψ(y)=limφ(yn).
Par continuité de la distance, on a donc d(xn,yn)→d(x,y)et en particulier, à partir d’un certain
rang N,d(xn,yn)<η. Ainsi,
∀n>N,d(φ(xn),φ(yn)) <ε.
En utilisant de nouveau la continuité de la distance, on obtient en faisant n→ ∞ que
d(ψ(x),ψ(y)) 6ε.
Cela prouve que ψest uniformément continue sur E.
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3) a) Une subdivision a=a0<a1< . . . < an=best dite adaptée à fsi fest constante sur
chaque intervalle ]ai−1,ai[. Dans la suite, on adoptera une notation ensembliste S={a0, . . . ,an}
pour cette subdivision.
Considérons une subdivision S1={a0, . . . an}de [a,b] adaptée à fet notons yila valeur de f
sur ]ai−1,ai[. Une subdivision S2plus ne que S1est de la forme
S2={aj
i,16i6n,06j6Ji},
où pour tout i,{aj
i,06j6Ji}est une subdivision de [ai−1,ai]. Cette subdivision plus ne est
encore adaptée à f, et la valeur de la somme de Riemann correspondante est donc
n
X
i=1
Ji
X
j=1
yi(aj
i−aj−1 i)=
n
X
i=1
yi
Ji
X
j=1
(aj
i−aj−1 i)=
n
X
i=1
yi(ai−ai−1).
Ainsi, la valeur de la somme de Riemann ne change pas si l’on rane la subdivision.
Enn, si S1et S2sont deux subdivisions adaptées à f, alors leur réunion S=S1∪S2est aussi
adaptée à f, et est plus ne que S1et S2. Les sommes de Riemann associées à S1et S2sont donc
égales à la somme de Riemann associée à S.
Finalement, la somme de Riemann Pyi(ai−ai−1)est la même pour n’importe quelle subdi-
vision a=a0< . . . < an=badaptée à f.
b) Notons E([a,b],G)l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b]. Montrons que Iest uni-
formément continue sur E([a,b],G).
D’abord, Iest linéaire. En eet, soient f,д∈ E([a,b],G)et α,β∈R. Si S1et S2sont des
subdivisions respectivement adaptées à fet д, alors la subdivision S=S1∪S2est adaptée à la
fois à fet д. Si l’on note a=a0<a1< . . . < an=bcette subdivision Set yi(resp. zi) la valeur
de f(resp. д) sur ]ai−1,ai[, alors Sest adaptée à αf+βд et cette dernière vaut αyi+βzisur
]ai−1,ai[. Par suite,
I(αf+βд)=
n
X
i=1
(αyi+βzi)(ai−ai−1)=α
n
X
i=1
yi(ai−ai−1)+β
n
X
i=1
zi(ai−ai−1)=αI(f)+βI(д).
Cela prouve que Iest linéaire.
Prenons alors f∈ E([a,b],G),a=a0<a1< . . . < anune subdivision adaptée à f, et
désignons par yila valeur de fsur ]ai−1,ai[. L’inégalité triangulaire donne
kI(f)k6
n
X
i=1kyik|ai−ai−1|6kfk∞
n
X
i=1
(ai−ai−1)=kfk∞(b−a).
On en déduit que Iest une application linéaire continue de E([a,b],G)dans G.
Par linéarité, Iest même uniformément continue sur E([a,b],G). De plus, par dénition,
E([a,b],G)est dense dans R([a,b],G). Enn, Gest complet. En utilisant le théorème de pro-
longement des applications uniformément continues démontré dans les questions 1 et 2, on en
déduit que Ise prolonge de manière unique en une application linéaire continue
I:R([a,b],G)−→ G.
c) Soit f∈R([a,b],G). Si fn→funiformément, par l’inégalité triangulaire t7→ kfn(t)k
converge uniformément sur [a,b] vers t7→ kf(t)k. De plus, si fnest en escalier, alors t7→ kfn(t)k
l’est aussi. On en déduit que t7→ |f(t)|est réglée.
De plus, si fest en escalier, alors avec les notations du a), l’inégalité triangulaire donne
Zb
a
f(t)dt =
n
X
i=1
yi(ai−ai−1) 6
n
X
i=1kyik(ai−ai−1)=Zb
akf(t)kdt .
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