1 - Les lacunes de la logique des propositions pour formaliser les

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 18 / 60
LOGIQUE DES PREDICATS
1 - Les lacunes de la logique des propositions pour formaliser les raisonnements
Dans (LP) les lettres propositionnelles représentent des énoncés qui seront interprétés comme VRAIS ou FAUX.
Par exemple : (E1) pour tout X , sin (90-X) = cos X
De même : (E2) sin (90-X) = cos X
(E3) il existe X tel que sin (90-X) = cos X
Mais on n'a aucun moyen dans (LP)
de voir que (E2) est un sous-énoncé de (E1) et de (E3)
ou d'exprimer que (E1) implique (E3)
ce qui est une lacune importante :
savoir que : "pour tout X, P(X)" implique "il existe X, P(X)" est un ressort important du raisonnement mathématique
par exemple.
On ne sait pas non plus formaliser dans (LP) un raisonnement qui conduirait à trouver les valeurs de X pour
lesquelles sin (90-X) = cos X est VRAI (ou FAUX).
Parce qu'on ne peut pas représenter sin (90-X) ou cos X ou 90 ou X ou l'égalité de manière spécifique.
Il est nécessaire d'avoir un système formel dans lequel on puisse représenter de manière différente des objets
de nature différente afin de pouvoir formaliser les raisonnements qui portent sur des objets (et pas seulement
ceux qui portent sur des énoncés).
De même, si on veut formaliser le syllogisme :
Tous les hommes sont mortels,
(et) Socrate est un homme
(donc) Socrate est mortel
on va obtenir (A ∧ B) ⊃ C
et le syllogisme :
Tous les canards sont jaunes,
(et) Donald est un canard
(donc) Donald est jaune
va être formalisé en (D ∧ E) ⊃ F sans moyen de reconnaître qu'il s'agit de la même forme de raisonnement.
Il apparaît donc que dans (LP) on peut modéliser des raisonnements, mais pas des MODES DE RAISONNEMENT.

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 19 / 60
2 - Un modèle plus précis que la logique des propositions.
On introduit les notions de
quantificateur, fonction, prédicat, variable, constante,
ce qui a pour effet de plonger la logique des propositions dans une logique plus riche :
la logique des prédicats,
où on distinguera plusieurs sortes de mots :
les TERMES : constantes, variables et mots de la forme :
f(x1, ..., xk) où f est une fonction et x1, ..., xk sont des termes.
les PROPOSITIONS sont de la forme :
p(x1, ..., xn) où p est un prédicat et x1, ..., xn sont des termes.
les FORMULES :termes, propositions sont des formules ;
si A et B sont des formules, c'est aussi le cas de (A) ,  A , A ∧ B , A v B , A ⊃ B , (∀ X) A, (∃ X) B , etc...
les SENTENCES ou formules CLOSES c'est-à-dire sans VARIABLE LIBRE.
Quelques définitions et propriétés :
variable libre : variable non quantifiée. Une variable quantifiée est dite liée
exemple : dans ( ∃x) ( A(x) ⊃ B(y) ) , y est libre, x est liée
quantificateur : existentiel
universel
variable : peut être quantifiée
constante : ne peut pas être quantifiée
fonction : a pour arguments des termes et pour image des VALEURS (constantes ou variables).
prédicat : a pour arguments des termes et pour image des VALEURS DE VERITE (vrai ou faux).
Exemple 1 :
(∀ x) ( sin (90-x) = cos x )
∀ : quantificateur
x : variable
90 : constante
sin , - , cos : fonctions
= : prédicat
Exemple 2 : Un syllogisme bien connu :

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 20 / 60
Les hommes sont mortels
Socrate est un homme
donc Socrate est mortel
De façon plus lourde, mais plus précise :
On sait que si x est un homme, alors x est mortel
(implicitement : pour tout x, si x est un homme, alors x est mortel)
et on sait que Socrate est un homme.
On peut donc conclure que Socrate est mortel.
x est ici une variable qui peut prendre une valeur particulière (ou constante) : Socrate.
On peut donc formaliser le syllogisme en :
(∀x) [ homme (x) ⊃ mortel (x) ]
et homme (Socrate)
donc mortel (Socrate)
où "homme", "mortel" apparaissent comme des prédicats,
x est une variable quantifiée ou liée,
"pour tout" est un quantificateur.
3 - Le système formel (LPP) de la logique des prédicats
3-1- Définition :
alphabet : constantes a b .... x y .... variables A B .... X Y ....
fonctions f , g , H , K .... prédicats p , q , R , S ....
connecteurs , ⊃ quantificateur ∀
séparateurs ( , )
mots: les formules bien formées : termes, propositions, formules, sentences
axiomes : a1 - ( w1 ⊃ (w2 ⊃ w1) )
a2 - (( w1 ⊃ (w2 ⊃ w3)) ⊃ ((w1 ⊃ w2) ⊃ (w1 ⊃ w3)))
a3 - ( ( w2 ⊃ w1) ⊃ (w1 ⊃ w2) )
a4 - ( (∀X) G(X) ) ⊃ G(U) "particularisation"
a5 - ( (∀X) (w1 ⊃ w2) ) ⊃ ( w1 ⊃ (∀X) w2 )
à condition que X ne figure pas comme variable libre dans w1
règles d'inférence : modus ponens ( m1 et ( m1 ⊃ m2 ) ) ----> m2
généralisation m1 ----> ( ∀X) m1 , à condition que X soit variable libre dans m1.

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 21 / 60
3-2- Enrichissements de (LPP) :
Connecteurs ∧ , V , ≡ , ...
définis comme dans (LP)
Quantificateur existentiel : ∃
défini par ( ∃ X) p (X) ≡  ( (∀X)  p (X) )
Règle "modus tollens"
 W1
---->  W2
W2 ⊃ W1
4 - Interprétations de (LPP)
Interpréter le système formel (LPP) c'est définir un domaine D dans lequel variables et constantes prendront leurs
valeurs et sur lequel seront définies des opérations : fonctions et prédicats, que l'on fera correspondre à ceux de
(LPP).
Remarque :
Les connecteurs sont toujours interprétés de la même manière ( ∧ : et , v : ou, ...) les quantificateurs ∃, ∀ aussi.
Premier théorème de Gödel "revisité":
Les théorèmes de (LPP) sont exactement les formules logiquement valides.
r démonstration identique à la démonstration dans (LP) s
Définition : Une formule est LOGIQUEMENT VALIDE si, et seulement si, elle est vraie dans toutes les interprétations
Remarque : Logiquement valide est synonyme de tautologie
Exemple : (∀X)(G(X,a)⊃G(X,a)) où G est un prédicat, X une variable, a une constante
Contre-exemple : (∀X) ( ∃ Y) ( ∃ Z) (=(X,*(Y,Z)) où = est un prédicat et * une fonction,
ce qui se lit : (∀X) (∃Y) (∃Z) (X = Y*Z)
et peut s'interpréter :
- en un résultat vrai si = est interprété "égale" et * est interprété "multiplié par " dans N :
tout x s'écrit x * 1;
- en un résultat faux si = est interprété "égale" et * est interprété "multiplié par " dans N privé de 1 :
un nombre premier x ne peut pas s'écrire y * z .

Juin 2006 - Mme Kempf LOGIQUE FORMELLE 22 / 60
5 - Décidabilité de (LPP)
Une formule qui n'est pas logiquement valide peut être :
non-valide s'il existe une interprétation dans laquelle elle est fausse.
satisfiable s'il existe une interprétation dans laquelle elle est vraie.
insatisfiable (ou contradictoire) si elle est fausse dans toute interprétation.
----> On sait donc DÉCRIRE l'ensemble des non-théorèmes : c'est l'ensemble des formules non valides.
Cependant :
Théorème de Church (1936)
(LPP) n'est pas décidable.
• parce que l'ensemble des théorèmes n'est pas récursivement énumérable s
• parce qu'il existe d'autres sortes de mots : par exemple les paradoxes :
(cf. J.L. Laurière) "Je ne suis pas un théorème"
Néanmoins on montre que (LPP) est semi-décidable :
pour toute formule qui est effectivement un théorème, on possède une procédure finie qui la démontre.
----> DÉDUCTION NATURELLE
Gentzen -1935-
( cette méthode est aujourd’hui très peu utilisée)
----> RÉSOLUTION
Robinson - 1960-
( chapitre 4 de ce cours)
?
théorème
formule non-valide
formule satisfiable
formule insatisfiable
Mot de
(LPP)