La classification des groupes abéliens de type fini

La classification des groupes ab´eliens
de type fini
Johannes Huisman
18 octobre 2004
1 Groupes ab´ elien de type fini
D´efinition 1.1. Un groupe Gest de type fini s’il admet une partie g´en´eratrice
finie.
Proposition 1.2. Soit Gun groupe ab´elien. Alors, Gest de type fini si et
seulement s’il existe un morphisme surjectif f:Zn→G, pour un certain
entier naturel n.
D´emonstration. Supposons qu’il existe un morphisme surjectif f:Zn→G.
Soit eile i-i`eme vecteur standard de Zn, pour i= 1,...,n. Comme {e1, . . . , en}
engendre Zn,{f(e1),...,f(en)}engendre f(Zn). Comme fest surjectif, on
af(Zn) = G, et Gest donc de type fini.
R´eciproquement, supposons que Gest de type fini, et soit {g1, . . . , gn}
une partie g´en´eratrice de G. Soit f:Zn→Gl’application d´efinie par
f(a1,...,an) = a1g1+···+angn.
Comme Gest ab´elien, fest un morphisme de groupes. Comme {g1, . . . , gn}
est g´en´eratrice, fest surjectif.
Corollaire 1.3. Tout sous-groupe du groupe Znest de type fini.
2 Sous-groupes de Zn
Proposition 2.1. Soit n∈Net soit Gun sous-groupe de Zn. Alors, il existe
un entier naturel met des ´el´ement g1,...,gm∈Gtels que
1. G=hg1,...,gmi, et
2. m≤n.
1

D´emonstration. Par r´ecurrence sur n.
D´efinition 2.2. Soit f:G→G0un morphisme de groupes ab´eliens. Le
conoyau de fest le groupe quotient G0/f(G).
Corollaire 2.3. Soit Gun groupe ab´elien de type fini. Alors, il existe des
entiers naturels m, n ∈Net un morphisme f:Zm→Zntels que Gest
isomorphe au conoyau coker(f)de f.
D´emonstration. Comme Gest ab´elien de type fini, il existe un morphisme
surjectif g:Zn→Gd’apr`es Proposition 1.2. Le noyau ker(g) est un sous-
groupe de Zn. D’apr`es Corollaire 1.3, ker(g) est de type fini. D’apr`es Pro-
position 1.2, il existe donc un morphisme surjectif f:Zm→ker(g). Par
cons´equent, f, vu comme morphisme de Zmdans Zn, a un conoyau isomorphe
`a G.
3 Morphismes de Zmdans Zn
Soit Hom(Zm,Zn) l’ensemble des morphismes de groupes de Zmdans Zn.
Cet ensemble devient un groupe ab´elien lorsque on d´efinit
(f+g)(x) = f(x) + g(x),
pour tout x∈Zm.
Soit Mn×m(Z) l’ensemble des matrices `a nlignes et mcolonnes `a coeffi-
cients eniers. Cet ensemble est un groupe ab´elien sous l’addition matricielle.
Pour a∈Mn×m(Z), on d´efinit une application
Φ(a): Zm−→ Zn
par Φ(a)(x) = ax, o`u ax est le produit matriciel de la matrice aet le vec-
teur x. Si x∈Zm,ax est bien un ´el´ement de Zn. Comme a(x+x0) = ax+ax0,
quels que soient x, x0∈Zm, l’application Φ(a) est un morphisme de groupes.
Proposition 3.1. L’application
Φ: Mn×m(Z)−→ Hom(Zm,Zn)
est un isomorphisme de groupes.
D´emonstration. Comme (a+a0)x=ax+a0xpour tout x∈Zmet quelles que
soient les matrices aet a0dans Mn×m(Z), l’application Φ est un morphisme
de groupes.
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Si Φ(a) = 0, on a Φ(a)(ei) = 0 pour tout i= 1,...,m, o`u eiest le vecteur
standard de Zmdont toutes les coordonn´ees sont nulles, sauf la i-i`eme qui est
´egale `a 1. Mais, Φ(a)(ei) = aeiest ´egale `a la i-i`eme colonne de a. Donc, toutes
les colonnes de asont nulles. Par cons´equent aest nulle, et Φ est injectif.
Pour montrer que Φ est surjectif, soit fun morphisme de Zmdans Zn.
Soit ala matrice dans Mn×m(Z) dont la i-i`eme colonne est ´egale `a f(ei), pour
i= 1,...,m. Comme Φ(a)(ei) = f(ei) et comme {e1,...,em}est g´en´erateur
de Zm, on a Φ(a) = f. Cela montre la surjectivit´e de Φ.
Proposition 3.2. Soient k, m, n ∈N,a∈Mn×m(Z)et b∈Mm×k(Z). Alors,
ab ∈Mn×k(Z)et
Φ(ab) = Φ(a)◦Φ(b).
D´emonstration. C’est facile : si x∈Zk, (Φ(a)◦Φ(b))(x) = a(bx) = (ab)x=
Φ(ab)(x).
Soit n∈N. Le groupe End(Zn) est un anneau sous la composition d’en-
domorphismes. Son groupe multiplicatif est, par d´efinition, Aut(Zn).
Le groupe Mn(Z) des matrices carr´ees est un anneau sous la multiplication
matricielle. Son groupe multiplicatif est, par d´efinition,GLn(Z).
Corollaire 3.3. Soit n∈N. Alors
Φ: Mn(Z)−→ End(Zn)
est un isomorphisme d’anneaux. En particulier, sa restriction Φ×`a GLn(Z)
est un isomorphisme de groupes
Φ×: GLn(Z)−→ Aut(Zn).
Proposition 3.4. Soit n∈N. On a
GLn(Z) = {a∈Mn(Z)|det(a) = ±1}.
D´emonstration. Si a∈GLn(Z), il existe b∈Mn(Z) telle que ab = 1n, o`u 1n
est la matrice identit´e dans Mn(Z). On a donc 1 = det(1n) = det(ab) =
det(a) det(b). Comme det(a),det(b)∈Z, det(a)∈Z×={±1}.
R´eciproquement, si a∈Mn(Z) est de d´eterminant 1, soit a0la matrice des
cofacteurs de a. Evidemment, a0∈Mn(Z). Comme aa0=a0a= det(a)1n=
±1n, on a bien a∈GLn(Z).
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4 Equivalence de matrices enti` eres
D´efinition 4.1. Soient n∈Net i, j ∈Ntels que i, j ≤n. La matrice n×n
standard eij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui dans
la i-i`eme ligne et j-i`eme colonne qui est ´egal `a 1. Un matrice n×n´el´ementaire
`a coefficients dans Zest une matrice de la forme 1n+qei,j, o`u i6=j,q∈Z
et 1nest la matrice n×nidentit´e. On pose eij (q) = 1n+qeij .
Proposition 4.2. Soit a∈Mn×m(Z)et soit q∈Z.
1. Soient i, j ∈Navec i, j ≤n. La matrice eij (q)aest la matrice obtenu
`a partir de aen effectuant l’op´eration ´el´ementaire qui consiste en rem-
placer la i-i`eme ligne de apar la somme de la i-i`eme ligne de aet q
fois la j-i`eme ligne de a.
2. Soient i, j ∈Navec i, j ≤m. La matrice aeij (q)est la matrice obtenu
`a partir de aen effectuant l’op´eration ´el´ementaire qui consiste en rem-
placer la j-i`eme colonne de apar la somme de la j-i`eme colonne de a
et qfois la i-i`eme colonne de a.
D´efinition 4.3. Soient m, n ∈N. Une matrice diagonale n×m`a coefficients
dans Zest une matrice a= (aij ), o`u aij ∈Zpour i= 1,...,net j= 1, . . . , m
tels que aij = 0 lorsque i6=j. Soit `un entier naturel avec `≤met
`≤n. Soient d1,...,d`des entiers relatifs, on note diagm×n(d1, . . . , d`) ou,
simplement, diag(d1,...,d`) la matrice diagonale a= (aij ) de format n×m
d´efinie par aij = 0 si i6=j,aii =di, pour i= 1,...,`, et aii = 0 pour i > `,
i.e.
diag(d1,...,d`) =
d10 0 ··· 0 0 ··· 0
0d20··· 0 0 ··· 0
0 0 d3··· 0 0 ··· 0
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
000··· d`0··· 0
000··· 0 0 ··· 0
.
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..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
000··· 0 0 ··· 0
Th´eor`eme 4.4. Soient m, n ∈N. Soit a∈Mn×m(Z).Il existe des matrices
u∈Mn(Z)et v∈Mm(Z),`∈Net d1,...,d`∈Z\ {0}tels que
1. uet vsont des produits de matrices ´el´ementaires,
2. uav = diag(d1,...,d`), et
3. didivise di+1 pour i= 1,...,`−1.
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D´emonstration. Par r´ecurrence sur n. Si n= 0, aest la matrice vide de
format 0 ×m, et l’´enonc´e est bien vrai. Supposons donc que l’´enonc´e est vrai
au rang n−1, pour un certain n∈N,n > 0. Soit aune matrice n×m
`a coefficients dans Z. On doit montrer que l’´enonc´e est vrai pour a. On
peut ´evidemment supposer que a6= 0. On montre qu’il existe des matrices
u0∈Mn(Z) et v0∈Mm(Z) telles que
u0av0=
d10··· 0
0?··· ?
.
.
..
.
..
.
.
0?··· ?
,
o`u d1∈Z\ {0}divise tous les ´el´ements de la matrice a0extraite de u0av0
en supprimant la premi`ere ligne et la premi`ere colonne, et o`u u0et v0sont
des produits de matrices ´el´ementaires. D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, il y
aura alors des matrices u00 ∈Mn−1(Z) et v00 ∈Mm−1(Z), produits de matrices
´el´ementaires, telles que u00a0v00 = diag(d2,...,d`), o`u d2, . . . , d`∈Z\ {0}, et
didivise di+1 pour i= 2,...,`−1. Soient
u=1 0
0u00·u0et v=v0·1 0
0v00.
Il est clair que uet vsont encore des produits de matrices ´el´ementaires. On
a
uav =1 0
0u00d10 0a01 0 0v00= diag(d1,...,d`).
Comme d1divise tous les coefficients de a0,d1divise aussi tous les coefficients
de u00a0v00 = diag(d2,...,d`). D’o`u didivise di+1 pour i= 1, . . . , ` −1. Par
cons´equent, il suffit de montrer l’existence des matrices u0et v0comme ci-
dessus.
Quitte `a multiplier a`a gauche par une matrice ´el´ementaire, on peut sup-
poser que la premi`ere ligne de aest non nulle. D’apr`es l’algorithme d’Euclide,
il existe un produit de matrices ´el´ementaires v1tel que tous les coefficients
de la premi`ere ligne de av1sont nuls, sauf un qui est ´egal au pgcd des co-
efficients de la premi`ere ligne de a. Quitte `a multiplier v1`a droite par un
produit de matrices ´el´ementaires, on peut supposer que le coefficient non nul
de la premi`ere ligne de av1est dans la premi`ere colonne, i.e., que
av1=
c10··· 0
? ? ··· ?
.
.
..
.
..
.
.
? ? ··· ?
,
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