Syst`emes linéaires et matrices

ESCPI CNAM
Syst`emes lin´eaires et matrices
1 Des exemples de syst`eme d’´equations lin´eaires
Exemple 1 :
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
x3= 0
a pour solution unique (x1, x2, x3) = (−1,2,0) .
Exemple 2 : Soient les ´equations E1, E2, E3 :
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
2x2+ 4x3=−3
si on ´ecrit E1, E2, E3 – 2 E2 , le syst`eme devient :
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
0 = −7
La derni`ere ´equation ne peut jamais ˆetre v´erifi´ee. Il n’y a pas de solution.
(on pourrait dire aussi que l’ensemble des solutions est vide ou qu’il y a z´ero solution).
Exemple 3 : Soient les ´equations E1, E2, E3 :
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
2x2+ 4x3= 4
Si on ´ecrit E1 ,E2 ,E3 – 2 E2 alors :
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
0 = 0
on a une infinit´e de solutions (x1, x2, x3) telles que x3=x3, x2= 2 −2x3, x1=−1 + 5x3et
que l’on peut pr´esenter, en notant x3=to`u test un r´eel quelconque, sous la forme :
x1=−1+5t
x2= 2 −2t
x3=t
Ces 3 exemples donnent les seules r´eponses possibles concernant le nombre de solutions d’
un syst`eme d’´equations lin´eaires (0,1 ou ∞).
ATTENTION au vocabulaire employ´e: il vient de l’´ecriture matricielle AX =Bo`u l’inconnue
est une matrice colonne X.
Dans l’ex.1 il y a un triplet solution appel´e solution unique . . . ne jamais dire qu’il y a 3 solutions!
Genevive Averous 1 Version 2 (br`eve)

ESCPI CNAM
2 R´esolution d’un syst`eme lin´eaire `a p ´equations et n inconnues
a11x1+a12x2+. . . . . . +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+.......+a2nxn=b2
.....
.....
ap1x1+ap2x2+. . . . . . +apnxp=bp
(1)
Les 3 op´erations ´el´ementaires suivantes ne changent pas les solutions du syst`eme ´el´ementaire :
Ei Ej deviennent Ej Ei soit un ´echange de position de 2 ´equations
Ei devient s×Ei soit la multiplication d’une ´equation par un scalaire snon nul
Ei et Ej remplac´ees par Ei et Ej+s×Ei pour i diff´erent de j
Exemple 4:
x1+ 2x2−x3= 3 E1
x2+ 2x3= 2 E2
3x1+ 8x2+a x3=b E3
devient : 
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
0x1+ 2 x2+ (a+ 3) x3=b−9E3−3E1
d’o`u 
x1+ 2x2−x3= 3
x2+ 2x3= 2
0x2+ (a−1) x3=b−13 (E3−3E1) −3E2
pour adiff´erent de 1 on trouve une solution unique (voir l’ex. 1 o`u a= 2 et b= 13 ),
pour a= 1 et bdiff´erent de 13 il n’y a pas de solution (voir l’ex. 2 o`u a= 1 et b= 6),
pour a= 1 et b= 13 il y a une infinit´e de solutions ( voir l’ex. 3 o`u a= 1 et b= 13 ).
Le but des 3 op´erations ´el´ementaires est de faire apparaˆıtre un syst`eme d’ ´equations plus simples
qui `a d´efaut d’avoir une forme triangulaire aura une forme dite ´echelonn´ee(voir les ex. 1, 2, 3
et 4). C’est le principe de la m´ethode de Gauss.
D´efinition 1 : un syst`eme d’´equations lin´eaires sera dit ”´ecrit sous forme ´echelonn´ee”
lorsque les ´equations commencent par un nombre strictement croissant de coefficient z´ero `a
mesure que l’indice de l’´equation augmente.
Soit le syst`eme de p´equations ´echelonn´ees `a ninconnues o`u les coefficients ˜ane sont pas les a
de d´epart et o`u les p−rderni`eres ´equations ont le premier membre nul.
˜a11x1+ ˜a12 x2+. . . . . . + ˜a1nxn= ˜c1
˜a21x1+ ˜a22x2+.......+ ˜a2nxn= ˜c2
.....
.....
˜ap1x1+ ˜ap2x2+. . . . . . + ˜apnxp= ˜cp
L’existence des solutions d´epend du fait que les p−rsecond membres sont ou ne sont pas nuls.
1. si il y a une ´equation de type (*) 0 + 0 + +0 = ˜ciavec ˜cidiff´erent de z´ero ,les p−rsecond
membres ne sont pas tous nuls alors il n’y a pas de solution,
2. si il n’y a pas d’ ´equation de type (*) , les p−rderni`eres ´equations sont 0 = 0 alors il
existe une ou des solutions ,
Genevive Averous 2 Version 2 (br`eve)

ESCPI CNAM
Les inconnues correspondant au premier coefficient non nul de chaque ´equation sont des
inconnues principales (ou variables pivot ) leur nombre est donc r,
Les n−rautres inconnues sont arbitraires, ce sont des inconnues non principales (ou variables
libres, ou param`etres ou inconnues secondaires ),
Donc si n=ril y a une solution unique ,
Dans le cas contraire n > r il y a une infinit´e de solutions.
REMARQUE FONDAMENTALE : Soit Ala matrice form´ee par les coefficients aij :
A=
a11 a12 .. a1n
a21 a22 .. a2n
..
..
ap1ap2.. apn
rest le nombre de premiers membres non nuls dans l’´ecriture ´echelonn´ee du syst`eme d’´equations,
rest un invariant de la matrice A, c’est le rang de A.
Il existe d’autres d´efinitions du rang de A bien meilleures que celle donn´ee ici !!!
En revanche il peut y avoir plusieurs choix possibles pour les rinconnues principales et par suite
pour les n−rnon principales.
Voir l’ex. 2 o`u un autre choix aurait pu ˆetre de r´esoudre x1et x3en fonction de x2et alors x2
devenait inconnue secondaire, ou bien de r´esoudre x2et x3en fonction de x1.
3 Ecriture matricielle
On ´ecrit le syst`eme d’´equations lin´eaires (1) sous la forme AX =B, o`u Xet Bsont les matrices
colonnes respectivement form´ees des inconnues et des seconds membres.
3.1 Lorsque B= 0
Alors AX = 0, il y a toujours X= 0 pour solution et 2 cas sont possibles :
1. Si n=r,X= 0 est solution unique,
2. Si n > r , il y a une infinit´e de solutions
(d´ependant de n−rinconnues non principales)
Proposition 1 : si Xest solution de AX = 0 alors tX est solution de AX = 0 ,
si X1et X2sont solutions de AX = 0 alors X1 + X2est aussi solution de AX = 0 .
Cet ensemble de solutions est appel´e l’espace vectoriel des solutions de AX = 0.
3.2 Lorsque Best quelconque
Th´eor`eme 1 de structure,3 cas sont possibles :
1. il n’y a pas des solution (cas d’ ´equations (*) , ´equations impossibles ),
2. il y a solution unique ( cas pas d’´equation (*) et n=r),
3. il y a une infinit´e de solutions (cas pas d’´equation (*) et n > r) ,
les solutions sont de la forme X=Xp+X◦,o`u Xpest une solution particuli`ere de
l’´equation compl`ete AX =B, et X◦est solution de l’´equation homog`ene associ´ee AZ = 0
.
Genevive Averous 3 Version 2 (br`eve)

ESCPI CNAM
4 Calcul matriciel
Amatrice de format (m, n)mlignes et ncolonnes dont les ´el´ements sont aij r´eels ou complexes,
iest l’indice de ligne 1 ≤i≤met jest l’indice de colonne 1 ≤j≤n.
Amatrice carr´ee de format (n, n) sera dite d’ordre n.
4.1 Op´erations ´el´ementaires
1) Addition d´efinie sur les matrice de mˆeme format :
A+B=Co`u Cest d´efinie avec cij =aij +bij
2) Multiplication par un scalaire (nombre r´eel ou complexe) s:
s A =Bo`u bij =s aij
3) Produit (ou multiplication) matricielle d´efinie que lorsque les formats le permettent.
Aformat (m, n) et Bformat (n, p) alors C=AB format (m, p) o`u
cij =Pk=n
k=1 aikbkj =ai1b1j+ai2b2j+ ... +ainbnj
A=µ3−1 2
0 2 4 ¶et B=
1−220
−1 2 0 1
1−110
alors AB =µ6−10 8 −1
2 0 4 2 ¶
ATTENTION BA n’existe pas car les formats sont incompatibles.
4.2 Transposition
La transpos´ee de Aest not´ee At(parfois AT, parfois tA, en Matlab A0)
Ade format (m, n) alors Atde format (n, m) et les coefficients de Atsont ˜aij =aji
A=µ3−1 2
0 2 4 ¶alors At=
3 0
−1 2
2 4
La transpos´ee est obtenue en ´echangeant les lignes et les colonnes.
4.3 Cas des matrices carr´ees
Le produit n’est pas commutatif :AB et BA existent mais AB 6=BA
A=µ−1 1
3 0 ¶B=µ0 1 2 0 ¶AB =µ2−1 0 3 ¶BA =µ3 0 −2 2 ¶
Un produit de 2 matrices non nulles peut ˆetre une matrice nulle
AB = 0 n’entraine pas n´ecessairement que A= 0 ou B= 0
A=µ0 0
0 1 ¶B=µ0 1 0 0 ¶AB =µ0 0 0 0 ¶
Asym´etrique ⇐⇒ At=A
Aantisym´etrique ⇐⇒ At=−A
La diagonale principale est form´ee par les ´el´ements aii
La trace de Aest la somme des ´el´ements de cette diagonale principale tr A =Pi=n
i=1 aii
La matrice unit´e est une matrice dont tous les ´el´ements sont nuls sauf ceux de la diagonale
principale qui sont ´egaux `a 1
On a AI =Aet IA =Ao`u Iest la matrice unit´e ou identit´e
L’inverse d’une matrice A, si il existe, est la matrice Mtelle que AM =MA =I
alors cet inverse est not´e A−1.
On montre que si AM =Ialors M A =Iet donc M=A−1.
de mˆeme si MA =Ialors AM =Iet donc M=A−1
Genevive Averous 4 Version 2 (br`eve)