MecaniqueAnalytique

Master de Sciences et Technologies
Mention Physique et applications
(M1)
(Ann´ee 2018/2019)
El´ements de m´ecanique analytique
La m´ecanique analytique est une reformulation de la m´ecanique de Newton qui joue un rˆole crucial en m´ecanique
quantique, m´ecanique statistique et th´eorie des champs. L’objectif de ces notes est de r´esumer quelques ´el´ements de
base de la m´ecanique analytique concernant, en particulier, la m´ecanique de Lagrange et celle de Hamilton. 1
1 M´ecanique de Lagrange
1.1 Contraintes et coordonn´ees g´en´eralis´ees
On consid`ere un syst`eme de Nparticules ponctuelles dans R3. A chaque particule sont associ´es une masse miet un
vecteur position `a trois composantes: ~ri≡(xi, yi, zi), (i= 1, . . . , N). Il faut donc 3Ncoordonn´ees pour sp´ecifier
totalement la configuration du syst`eme.
Contraintes m´ecaniques: ce sont des relations entre les coordonn´ees qui traduisent le fait qu’elles n’´evoluent pas
ind´ependamment les unes des autres. Les contraintes reliant les 3Ncoordonn´ees sont dites holonomes lorsqu’elles
s’expriment sous forme d’un certain nombre, disons K, d’´equations alg´ebriques faisant intervenir les coordonn´ees et,
´eventuellement, le temps:
fa(~r1, ~r2, . . . , ~rN, t) = 0 (a= 1, . . . , K).(1)
Exemple: consid´erons un pendule simple constitu´e d’une masse maccroch´ee `a une tige de longueur loscillant dans
le plan xOy. La masse est soumise `a deux contraintes (K= 2) qui s’expriment, en coordonn´ees cylindriques, comme:
f1=r−l= 0 et f2=z= 0 o`u r=px2+y2.
Degr´es de libert´e: c’est le nombre de coordonn´ees qui ´evoluent ind´ependamment les unes des autres. Pour un syst`eme
de 3Ncoordonn´ees soumises `a Kcontraintes holonomes seules n= 3N−Kcoordonn´ees sont r´eellement ind´ependantes.
On dit que:
n= 3N−Kest le nombre de degr´es de libert´e du syst`eme m´ecanique .(2)
Coordonn´ees g´en´eralis´ees: ce sont les variables qui ´evoluent ind´ependamment les unes des autres. Leur nombre est
´egal au nombre de degr´es de libert´e du syst`eme. Le changement de variables des 3Ncoordonn´ees ~riaux coordonn´ees
g´en´eralis´ees consiste `a introduire Kvariables de contrainte faainsi que
n= 3N−Kvariables qα≡qα(~r1, ~r2, . . . , ~rN, t) (α= 1 ...,n).(3)
Les variables qαsont les coordonn´ees g´en´eralis´ees du syst`eme. Le changement de variables inverse donne: ~ri≡
~ri(qα, fa, t). Si les contraintes sont satisfaites, on a: fa= 0 d’apr`es l’´equation (1), et l’on obtient:
~ri≡~ri(qα, t).(4)
1Remarques concernant la bibliographie: Les r´ef´erences de base en m´ecanique analytiques sont les livres: [1, 2, 3]. La traduction
fran¸caise de [1] existe mais est difficilement trouvable. La r´ef´erence [3] est d’un niveau avanc´e et met en avant les arguments physiques
plutˆot que le formalisme. Sur le web, il existe de nombreux documents concernant la m´ecanique analytique. Nous recommandons tout
particuli`erement la lecture de la r´ef´erence [4].

Universit´e Pierre et Marie Curie
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Exemple: dans le cas du pendule simple la masse est rep´er´ee par trois coordonn´ees (r, θ, z) en coordonn´ees cylindriques
o`u θest l’angle entre le pendule et l’axe y,θ= arctan(x/y). Les 3 coordonn´ees sont soumises `a deux contraintes: r=l
et z= 0. Il n’y a donc qu’un seul degr´e de libert´e; la coordonn´ee g´en´eralis´ee est: q1=θ.
Espace des configurations: c’est l’espace associ´e `a l’ensemble des positions que le syst`eme peut atteindre en tenant
compte des contraintes m´ecaniques. Sa dimension est ´egale au nombre de degr´es de libert´e, n, du syst`eme. Il est d´efini
par la donn´ee des ncoordonn´ees g´en´eralis´ees qα(α= 1 ...,n). La configuration du syst`eme `a un instant donn´e est
d´efinie par un vecteur dans l’espace des configurations que l’on peut noter
q≡(q1, q2, . . . , qn),(5)
et dont les ncomposantes sont les qα.
1.2 Principe de d’Alembert, forces de contraintes et d´eplacements virtuels
Principe de d’Alembert: l’ensemble des forces de contraintes appliqu´e `a un syst`eme m´ecanique ne travaille pas (ne
consomme ni ne produit d’´energie) lors d’un d´eplacement virtuel.
Forces de contraintes: ce sont les forces qui sont associ´ees aux contraintes fa= 0. Notons ~ Fc
ila force de contrainte
agissant sur la particule iet supposons qu’elle d´erive d’un potentiel Vc:
~
Fc
i=−∂V c
∂~ri
.(6)
Le potentiel Vca pour particularit´e qu’il ne s’exprime qu’en fonction des variables fa. On a alors:
~
Fc
i=−∂V c
∂~ri
=−
K
X
a=1
∂V c
∂fa
∂fa
∂~ri
=
K
X
a=1
ca
∂fa
∂~rica=−∂V c ∂fa.(7)
D´eplacement virtuel: c’est une variation de la position qui est compatible avec les contraintes mais qui ne provient
pas de forces ext´erieures appliqu´ees au syst`eme. Le d´eplacement infinit´esimal de la particule ipendant le temps dt
prenant en compte les contraintes, voir l’´equation (4), peut s’´ecrire
d~ri=δ~ri+∂~ri
∂t dt, (8)
o`u le d´eplacement virtuel δ~riest d´efini par
δ~ri
d´ef
=
n
X
α=1
∂~ri
∂qα
dqα.(9)
Expression math´ematique du principe de d’Alembert:
N
X
i=1
~
Fc
i·δ~ri= 0 .(10)
Preuve:
N
X
i=1
~
Fc
i·δ~ri=−
n
X
α=1
N
X
i=1
∂V c
∂~ri
·∂~ri
∂qα
dqα=−
n
X
α=1
∂V c
∂qα
dqα= 0 ,(11)
puisque Vcne d´epend pas des qα.
Exemple: dans le cas du pendule simple la particule est rep´er´ee par ~r =l~ero`u ~erest un vecteur unitaire radial tel que:
~er= cos θ~ex+ sin θ~ey, et orthogonal `a: ~eθ=−sin θ~ex+ cos θ~ey. Le d´eplacement virtuel est alors donn´e par: δ~r =ldθ~eθ
et est bien compatible avec les contraintes: f1=r−l= 0 et f2=z= 0. La force de contrainte est, quant `a elle, donn´ee
par: ~ Fc=c1~er+c2~ez; on peut la visualiser comme une force maintenant la particule dans le plan xOy `a une distance l
de l’origine. On a bien: ~ Fc·δ~r = 0.
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1.3 Lagrangien et ´equations de Lagrange
Fonction de Lagrange ou lagrangien: c’est une fonction des coordonn´ees g´en´eralis´ees qα, des vitesses g´en´eralis´ees
˙qαet du temps tqui permet de d´ecrire la dynamique d’un syst`eme. Elle est d´efinie par:
L(q, ˙q, t)d´ef =T(q, ˙q, t)−V(q, t),(12)
qui correspond `a la diff´erence entre l’´energie cin´etique totale du syst`eme T≡T(q, ˙q, t) et l’´energie potentielle du syst`eme:
V≡V(q, t) et o`u: q= (q1, q2, . . . , qn) et ˙q= ( ˙q1,˙q2,..., ˙qn). Notons que, au niveau de L, les coordonn´ees g´en´eralis´ees
qsont suppos´ees ˆetre ind´ependantes des vitesses g´en´eralis´ees ˙q. De plus, l’´energie potentielle ne d´epend pas de ˙qce qui
traduit le fait que, au niveau du lagrangien (12), les forces appliqu´ees d´erivant de Vsont suppos´ees ˆetre conservatives.2
Equations de Lagrange (ou ´equations d’Euler-Lagrange): ce sont les ´equations du mouvement du syst`eme dans
le cadre de la m´ecanique de Lagrange. Pour un syst`eme `a ndegr´es de libert´e, d´ecrit par un lagrangien L(q, ˙q, t), ces
´equations forment un ensemble de n´equations diff´erentielles du second ordre donn´e par:
d
dt
∂L
∂˙qα
−∂L
∂qα
= 0 (α= 1, . . . , n).(13)
Les ´equations de Lagrange sont une reformulation des ´equations du mouvement de Newton faisant intervenir l’´energie
cin´etique et l’´energie potentielle du syst`eme via le lagrangien et s’exprimant en fonction des coordonn´ees g´en´eralis´ees.
Equations de Lagrange en pr´esence de forces non conservatives: en pr´esence de forces appliqu´ees non conser-
vatives, ~ Fa(nc)
i≡~
Fa(nc)
i(q, ˙q, t), 3les ´equations de Lagrange (13) deviennent:
d
dt
∂L
∂˙qα
−∂L
∂qα
=Qα, Qα
d´ef
=
N
X
i=1
~
Fa(nc)
i·∂~ri
∂qα
(α= 1, . . . , n),(14)
o`u Qαest la force g´en´eralis´ee.
El´ements de preuve (pour une preuve compl`ete voir, par exemple, la r´ef´erence [4] disponible en ligne ou le livre [1] pages 16-24):
Tenant compte de la force de contrainte ~ Fc
iet d’´eventuelles forces appliqu´ees ~
Fa
ila force totale s’exer¸cant sur la particule iest
donn´ee par:
~
Fi=~ Fa
i+~
Fc
i.(15)
La 2`eme loi de Newton pour la particule is’´ecrit alors:
mi¨ ~ri−~ Fa
i−~
Fc
i= 0.(16)
En combinant la loi de Newton (16) au principe de d’Alembert (10) la force de contrainte s’´elimine et il vient:
N
X
i=1 mi¨
~ri−~ Fa
i·∂~ri
∂qα
= 0 (α= 1,...,n),(17)
o`u l’on a tenu compte du fait que les ncoordonn´ees g´en´eralis´ees qαvarient ind´ependamment les unes des autres. Dans (17), le
premier terme peut s’exprimer comme:
N
X
i=1
mi¨ ~ri·∂~ri
∂qα
=d
dt
∂T
∂˙qα
−∂T
∂qα
,(18)
o`u Test l’´energie cin´etique totale du syst`eme: T=1
2PN
i=1 mi˙
~r 2
iqui peut, en toute g´en´eralit´e, s’exprimer en fonction des
coordonn´ees g´en´eralis´ees qα, des vitesses g´en´eralis´ees ˙qαet du temps t. Dans le deuxi`eme terme de (17), la force appliqu´ee
2Un cas particulier est celui du champ ´electromagn´etique. La force de Lorentz d´epend de la vitesse: ~
F=q~ E+q~v ×~ B, ou ~ Eest le champ
´electrique et ~ Ble champ magn´etique. Dans ce cas l’´equation (12) est toujours valable `a condition d’introduire un “potentiel g´en´eralis´e” ou
“potentiel d´ependant des vitesses”: U≡U(~r, ~v, t). On a alors: L=T−U, o`u: U(~r, ~v, t) = qφ(~r, t)−q~ A(~r, t)·~v,φest le potentiel scalaire et
~
Ale potentiel vecteur. Ces derniers sont reli´es aux champs ~ Eet ~ Bpar les ´equations: ~ E=−~ ∇φ−∂~
A
∂t et ~
B=~ ∇ × ~ A.
3Un exemple de force non-conservative est donn´e par les forces de frottement fluide: ~
Fa(nc)
i=−k~vi, o`u krepr´esente le coefficient de
r´esistance du syst`eme dans le fluide en question.
S. Teber El´ements de m´ecanique analytique

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sur la particule ipeut s’´ecrire comme la somme d’une force conservative d´erivant d’un potentiel: ~ Fa(c)
i=−∂V
∂~riet d’une force
non-conservative: ~ Fa(nc)
i. Le deuxi`eme terme peut alors s’´ecrire:
−
N
X
i=1
~
Fa
i·∂~ri
∂qα
=∂V
∂qα
−
N
X
i=1
~
Fa(nc)
i·∂~ri
∂qα
,(19)
o`u l’´energie potentielle Vpeut s’exprimer en fonction des coordonn´ees g´en´eralis´ees qαet du temps tmais ne d´epend pas des
vitesses g´en´eralis´ees ˙qα. En substituant (18) et (19) dans l’´equation (17) on voit alors apparaˆıtre la fonction de Lagrange ou
lagrangien du syst`eme (12) et les ´equations du mouvement de Newton peuvent alors s’´ecrire sous la forme (14) qui sont les
´equations de Lagrange en pr´esence de forces non-conservatives. Lorsque ces derni`eres sont nulles, Qα= 0, on retrouve bien sˆur
les ´equations (13).
Exemple 1: lagrangien et ´equations de Lagrange d’un pendule simple. L’´energie cin´etique et l’´energie potentielle
(d’origine gravitationnelle) sont donn´ees par: T=1
2ml2˙
θ2et V=−mgl cos θ, respectivement, o`u θest la coordonn´ee
g´en´eralis´ee. Le lagrangien du pendule simple s’´ecrit donc:
L=1
2ml2˙
θ2+mgl cos θ . (20)
L’´equation de Lagrange associ´ee est donn´ee par:
¨
θ+ω2sin θ= 0 ω=rg
l.(21)
Dans le r´egime des faibles oscillations, l’´equation (21) devient lin´eaire en θ:
¨
θ+ω2θ= 0 .(22)
L’´equation (22) est celle d’un oscillateur harmonique `a une dimension de pulsation ω. Elle admet une solution simple
qui peut se mettre sous la forme: θ(t) = Acos(ωt+ϕ) o`u Aet ϕsont d´etermin´ees par les conditions initiales. Notons que
dans le r´egime des faibles oscillations l’´energie potentielle peut s’´ecrire (`a une constante additive pr`es): V=1
2mω2l2θ2.
Si l’on note par q=lθ la coordonn´ee g´en´eralis´ee, le lagrangien correspondant peut s’´ecrire de mani`ere plus g´en´erale:
L=1
2m˙q2−1 2mω2q2,(23)
et est une fonction quadratique non seulement de la vitesse g´en´eralis´ee ˙qmais aussi de la coordonn´ee g´en´eralis´ee q. Le
lagrangien (23) est le lagrangien de l’oscillateur harmonique `a une dimension.
Exemple 2: le lagrangien d’une particule de masse msoumise `a un potentiel V(~r ) dans R3s’´ecrit (en l’absence de
toute contrainte):
L=1
2m˙
~r 2−V(~r ).(24)
Les ´equations de Lagrange associ´ees `a (24) sont donn´ees par:
m¨ ~r =−~ ∇~r V(~r ),(25)
qui correspond bien `a la deuxi`eme loi de Newton. Diff´erents syst`emes de coordonn´ees peuvent ˆetre utilis´es suivant la
sym´etrie du probl`eme consid´er´e:
•lagrangien en coordonn´ees cart´esiennes: en l’absence de toute contrainte, les coordonn´ees g´en´eralis´ees sont les
coordonn´ees de la particule: x,yet z. L’´equation (24) se r´e´ecrit simplement:
L=1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2−V(x, y, z),(26)
et les trois ´equations de Lagrange correspondantes sont donn´ees par:
m¨u=−∂V
∂u (u=x, y, z).(27)
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Notons que dans le cas o`u la particule est dans un pi`ege harmonique on a: V(~r ) = 1
2mω2~r 2. Le lagrangien
correspondant est celui de l’oscillateur harmonique `a trois dimensions. Ce dernier peut s’´ecrire comme la somme
de trois lagrangiens d’oscillateurs harmoniques `a une dimension:
L=X
u=x,y,z
Lu, Lu=1
2m˙u2−1 2mω2u2.(28)
•lagrangien en coordonn´ees cylindriques: en l’absence de toute contrainte, les coordonn´ees g´en´eralis´ees sont r,θet
z. L’´equation (24) se r´e´ecrit:
L=1
2m˙r2+r2˙
θ2+ ˙z2−V(r, θ, z).(29)
et les trois ´equations de Lagrange correspondantes sont donn´ees par:
m¨r=mr ˙ θ2−∂V
∂r ,d dtmr2˙
θ=−∂V
∂θ , m¨z=−∂V ∂z .(30)
Ces coordonn´ees sont particuli`erement utiles lorsque le potentiel a une sym´etrie cylindrique: V≡V(r) puisque
dans ce cas les ´equations de Lagrange sont plus simples:
m¨r=mr ˙ θ2−∂V
∂r ,d dtmr2˙
θ= 0, m¨z= 0 (V≡V(r)).(31)
•lagrangien en coordonn´ees sph´eriques: en l’absence de toute contrainte, les coordonn´ees g´en´eralis´ees sont r,θet
ϕ. L’´equation (24) se r´e´ecrit:
L=1
2m˙r2+r2˙
θ2+r2sin2θ˙ϕ2−V(r, θ, ϕ),(32)
et les trois ´equations de Lagrange correspondantes sont donn´ees par:
m¨r=mr ˙ θ2+ sin2θ˙ϕ2−∂V
∂r ,d dtmr2˙
θ=mr2cos θsin θ˙ϕ2−∂V
∂θ ,d dtmr2sin2θ˙ϕ=−∂V ∂ϕ .(33)
Ces coordonn´ees sont particuli`erement utiles lorsque le potentiel a une sym´etrie sph´erique: V≡V(r). C’est le cas
de l’oscillateur harmonique `a trois dimensions: V(~r )≡V(r) = 1
2mω2r2.
1.4 Principe de moindre action
Les lois de la physique peuvent se d´eduire d’un principe fondamental: le principe de moindre action ou principe de
l’action stationnaire. Il joue un rˆole central en m´ecanique analytique puisque, dans l’´etude des syst`emes m´ecaniques,
ce principe est un point de d´epart ´equivalent `a la deuxi`eme loi de Newton. En particulier, les ´equations de Lagrange
peuvent ˆetre consid´er´ees comme une cons´equence de ce principe.
Principe de moindre action: un syst`eme `a ndegr´es de libert´e est d´ecrit par un lagrangien, L(q, ˙q, t), o`u q≡
(q1, . . . , qn) est un vecteur `a ncomposantes sp´ecifiant la configuration du syst`eme `a un instant donn´e. Supposons que
le mouvement du syst`eme prenne place entre un instant initial tiet un instant final tfet qu’`a ces instants le syst`eme
soit dans des configurations bien d´etermin´ees: qi≡q(ti) et qf≡q(tf), respectivement. On peut alors d´efinir une action
associ´ee `a L:
S[q(t)] d´ef =Ztf
ti
dt L(q, ˙q, t),(34)
et le mouvement effectivement suivi par le syst`eme, compte tenu des conditions aux limites, est celui qui minimise
l’action S.
Remarques:
•des crochets ont ´et´e utilis´es pour noter l’argument de l’action: S≡S[q(t)] ou, plus simplement: S[q]. L’utilisation
des crochets permet de diff´erencier Squi est une fonctionnelle,i.e., une fonction qui prend d’autres fonctions (ici
l’ensemble des qα(t)) en argument, d’une fonction ordinaire, disons une fonction f(x) de la variable x. La raison
pour laquelle la fonctionnelle Sne d´epend que des qαest que la donn´ee des qαsur l’intervalle temporel [t1, t2] fixe
sans ambigu¨ıt´e la valeur des ˙qαdans ce mˆeme intervalle.
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