IIIe Cycle romand de Mathématiques Séance 2

IIIe Cycle romand de Math´ ematiques
Th´ eorie des Nombres et G´ eom´ etrie
Prof. E. Bayer Fluckiger
S´eance 2 6.11.02
Exercice 1 (Produit, somme et intersection d’id´eaux)
Soient Iet Jdeux id´eaux fractionnaires d’un anneau de Dedekind A. On les d´ecompose en
produits de puissances d’id´eaux premiers :
I=Y
℘
℘n℘, J =Y
℘
℘m℘,
o`u les n℘et les m℘sont entiers (∈Z) et presque tous nuls. Donner la d´ecomposition des id´eaux
IJ,I∩Jet I+J. En d´eduire l’´egalit´e :
IJ = (I∩J)(I+J).(1)
Exercice 2
Soit K=Q(θ) o`u θ3−10 = 0. On note OKson anneau d’entiers.
(a) Montrer que α= (1 + θ+θ2)/3 est entier sur Z.
(b) En d´eduire que OK6=Z[θ].
Exercice 3 (Un sous-anneau d’un anneau de Dedekind)
On sait que l’anneau d’entiers de K=Q(√5) est OK=Z[(1 + √5)/2] ; c’est un anneau de
Dedekind, c’est-`a-dire nœth´erien (toute suite croissante d’id´eaux est stationnaire), int´egralement
clos (´egal `a sa clˆoture int´egrale) et tel que tout id´eal premier non nul est maximal. Cela entraˆıne
que l’ensemble des id´eaux fractionnaires non nuls de OKest un groupe et que tout id´eal se
d´ecompose de fa¸con unique en produit de puissances d’id´eaux premiers1.
On consid`ere le sous-anneau A=Z[√5] de OK. On va montrer que cet anneau n’est pas
de Dedekind, que l’ensemble de ses id´eaux fractionnaires non nuls n’est pas un groupe (pour
la multiplication des id´eaux) et exhiber un id´eal qui n’a pas de d´ecomposition en produit de
puissances d’id´eaux premiers2.
(a) Prouver que le corps des fractions de Aest Q(√5) ; en d´eduire que An’est pas de Dedekind.
(b) (i) Montrer que P= (2,1 + √5) est un id´eal premier de A[on pourra utiliser l’isomor-
phisme de Z-alg`ebres Z[√5] 'Z[X]/(X2−5), par lequel √5 correspond `a X] ;
(ii) montrer de mˆeme que 2An’est pas premier ;
(iii) ´etablir la relation P2= 2Pet en d´eduire que Pn’est pas inversible.
(c) (i) D´eterminer le polynˆome minimal de (1+√5)/2 sur Qet prouver que 2OKest premier ;
(ii) en d´eduire que 2Ane peut pas s’´ecrire produit de deux id´eaux distincts Iet Jde A
[noter que (IJ)OK= (IOK)(JOK)]. L’id´eal 2An’a donc pas d’´ecriture comme produit
de puissances d’id´eaux premiers de A.
1R´ef. : Samuel P., Th´eorie alg´ebrique des nombres, Hermann, Paris (1967), Chapitre III, paragraphe 4.
2Grand merci `a Philippe Chabloz.

Plus g´en´eralement, on peut montrer que si θest un entier alg´ebrique, alors Z[θ] est un anneau
nœth´erien dans lequel tout id´eal premier non nul est maximal. Comme son corps des fractions
est Q(θ), il s’ensuit que Z[θ] est de Dedekind si et seulement si il est ´egal `a l’anneau d’entiers de
Q(θ) (qui est alors monog`ene, ce qui est rarement le cas).
Exercice 4 (Un anneau d’entiers non principal)
Consid´erons le corps quadratique r´eel K=Q(√10), dont l’anneau d’entiers est OK=Z[√10].
Soit Il’id´eal de OKengendr´e par 2 et √10 : I= (2,√10).
(a) Montrer que I2= 2OK; en d´eduire que N(I) = |OK/I|= 2 [on utilise le fait que la norme
est multiplicative].
(b) Supposons qu’il existe x∈OKtel que I=xOKet ´ecrivons x=a+b√10 avec aet bdans
Z; montrer qu’alors a2−10b2=±2 et en d´eduire une contradiction [on utilise le fait que
N(xOK) = |NK/Q(x)|; on pourra consid´erer certaine congruence...].
Q(√10) est le “premier” corps quadratique r´eel dont l’anneau d’entiers n’est pas principal : tous
les anneaux d’entiers des Q(√d) pour d∈ {2,3,5,7}sont principaux.