IIIe Cycle romand de Mathématiques Séance 2

IIIe Cycle romand de Mathématiques
Théorie des Nombres et Géométrie
Prof. E. Bayer Fluckiger
Séance 2
6.11.02
Exercice 1 (Produit, somme et intersection d’idéaux)
Soient I et J deux idéaux fractionnaires d’un anneau de Dedekind A. On les décompose en
produits de puissances d’idéaux premiers :
I=
Y
℘
℘n℘ ,
J=
Y
℘m℘ ,
℘
où les n℘ et les m℘ sont entiers (∈ Z) et presque tous nuls. Donner la décomposition des idéaux
IJ, I ∩ J et I + J. En déduire l’égalité :
IJ = (I ∩ J)(I + J) .
(1)
Exercice 2
Soit K = Q(θ) où θ3 − 10 = 0. On note OK son anneau d’entiers.
(a) Montrer que α = (1 + θ + θ2 )/3 est entier sur Z.
(b) En déduire que OK 6= Z[θ].
Exercice 3 (Un sous-anneau d’un anneau
√
√ de Dedekind)
On sait que l’anneau d’entiers de K = Q( 5) est OK = Z[(1 + 5)/2] ; c’est un anneau de
Dedekind, c’est-à-dire nœthérien (toute suite croissante d’idéaux est stationnaire), intégralement
clos (égal à sa clôture intégrale) et tel que tout idéal premier non nul est maximal. Cela entraı̂ne
que l’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de OK est un groupe et que tout idéal se
décompose de façon unique en produit de√puissances d’idéaux premiers1 .
On considère le sous-anneau A = Z[ 5] de OK . On va montrer que cet anneau n’est pas
de Dedekind, que l’ensemble de ses idéaux fractionnaires non nuls n’est pas un groupe (pour
la multiplication des idéaux) et exhiber un idéal qui n’a pas de décomposition en produit de
puissances d’idéaux premiers2 .
√
(a) Prouver que le corps des fractions de A est Q( 5) ; en déduire que A n’est pas de Dedekind.
√
(b) (i) Montrer que P = (2, 1 +
premier de A [on
√ 5) est un idéal
√ pourra utiliser l’isomor2
phisme de Z-algèbres Z[ 5] ' Z[X]/(X − 5), par lequel 5 correspond à X ] ;
(ii) montrer de même que 2A n’est pas premier ;
(iii) établir la relation P 2 = 2P et en déduire que P n’est pas inversible.
√
(c) (i) Déterminer le polynôme minimal de (1+ 5)/2 sur Q et prouver que 2OK est premier ;
(ii) en déduire que 2A ne peut pas s’écrire produit de deux idéaux distincts I et J de A
[noter que (IJ)OK = (IOK )(JOK )]. L’idéal 2A n’a donc pas d’écriture comme produit
de puissances d’idéaux premiers de A.
1
2
Réf. : Samuel P., Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris (1967), Chapitre III, paragraphe 4.
Grand merci à Philippe Chabloz.
Plus généralement, on peut montrer que si θ est un entier algébrique, alors Z[θ] est un anneau
nœthérien dans lequel tout idéal premier non nul est maximal. Comme son corps des fractions
est Q(θ), il s’ensuit que Z[θ] est de Dedekind si et seulement si il est égal à l’anneau d’entiers de
Q(θ) (qui est alors monogène, ce qui est rarement le cas).
Exercice 4 (Un anneau d’entiers non principal)
√
√
Considérons le corps quadratique réel K = Q( 10), dont l’anneau d’entiers est OK = Z[ 10].
√
√
Soit I l’idéal de OK engendré par 2 et 10 : I = (2, 10).
(a) Montrer que I 2 = 2OK ; en déduire que N (I) = |OK /I| = 2 [on utilise le fait que la norme
est multiplicative].
√
(b) Supposons qu’il existe x ∈ OK tel que I = xOK et écrivons x = a + b 10 avec a et b dans
Z ; montrer qu’alors a2 − 10b2 = ±2 et en déduire une contradiction [on utilise le fait que
N (xOK ) = |NK/Q (x)| ; on pourra considérer certaine congruence...].
√
Q( 10) est le “premier” corps
√ quadratique réel dont l’anneau d’entiers n’est pas principal : tous
les anneaux d’entiers des Q( d) pour d ∈ {2, 3, 5, 7} sont principaux.