M2 2016-2017 THÉORIE DES NOMBRES - FEUILLE 1 - IMJ-PRG

M2 2016-2017 TH ´ EORIE DES NOMBRES - FEUILLE 1
Exercice 1. Montrer qu’un anneau principal est de Dedekind.
Exercice 2. Montrer que Z[√5] noeth´erien, int`egre, de dimension ≤1 mais pas
int´egralement clos.
Exercice 3. Soit Aun anneau de Dedekind, soit Kle corps des fractions de Aet soit
L/K une extension finie s´eparable. On se propose de montrer que la clˆoture int´egrale B
de Adans Lest un anneau de Dedekind. En fait, le r´esultat est encore vrai sans supposer
que L/K est s´eparable.
On rappelle que la s´eparabilit´e de l’extension L/K est ´equivalente au fait que la forme
bilin´eaire sym´etrique L×L−→ K, (x, y)7−→ T rL/K (xy) est non-d´eg´en´er´ee.
1. Montrer que Best un anneau (on pourra utiliser qu’un ´el´ement xde Lest entier sur
Asi et seulement si le A-module A[x] est de type fini).
2.a. Montrer qu’il existe une base {β1, . . . , βd}de Lsur Ktelle que βi∈Bpour tout i.
Soit {β∗
1, . . . , β∗
d}la base duale pour T rL/K et soit Mle A-module engendr´e par les β∗
i.
2.b. Montrer que B⊂Mcomme A-module.
2.c. En d´eduire que Best noeth´erien.
3. Montrer que Best int´egralement clos.
Soit qun id´eal premier non-nul de B.
4.a Montrer que q∩Aest un id´eal premier non-nul de A.
4.b. Montrer que tout anneau int`egre contenant un corps et alg´ebrique sur ce corps est
lui-mˆeme un corps.
4.c. En d´eduire que qest maximal.
Exercice 4. Soit Aun anneau de Dedekind, de corps des fractions K. On se propose de
montrer que l’ensemble des id´eaux fractionnaires non-nuls de Aforme un groupe pour la
multiplication des id´eaux o`u l’inverse d’un id´eal fractionnaire aest a−1={x∈K|xa⊂A}.
1. Montrer que a−1est un id´eal fractionnaire de A.
2. Soit a6= 0 un id´eal de A. Montrer qu’il existe un entier r≥1 et un produit d’id´eaux
premiers non-nuls p1. . . pr⊂a(on pourra raisonner par l’absurde et consid´erer un a6= 0
qui ne contient aucun produit fini d’id´eaux premiers non-nuls et qui est maximal pour cette
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propri´et´e).
Soit pun id´eal maximal.
3.a. Soit a∈p, a 6= 0. Soit r≥1 minimal pour la propri´et´e qu’il existe un produit
p1. . . pr⊂(a).
Montrer que l’un des piest ´egal `a p. On peut supposer p1=p.
3.b. Soit b∈p2. . . prtel que b /∈(a). Montrer ba−1∈p−1et ba−1/∈A.
3.c. En d´eduire que pp−1=A.
4. D´eduire de 3.c. que tout id´eal non-nul a un inverse pour le produit des id´eaux frac-
tionnaires (on pourra raisonner par l’absurde et consid´erer un a6= 0 qui n’a pas d’inverse
et maximal pour cette propri´et´e).
5. Soit aun id´eal non-nul de Aet cun id´eal fractionnaire tel que ac =A. Montrer que
c=a−1.
6. Conclure.
Exercice 5. Soit Aun anneau de Dedekind.
1. Montrer que tout id´eal non-nul de Ase factorise de fa¸con unique comme produit
d’id´eaux premiers (on pourra utiliser le r´esultat d´emontr´e dans l’exercice pr´ec´edent).
2. Montrer que tout id´eal fractionnaire non-nul as´ecrit de fa¸con unique a=Qipni
io`u
les pisont premiers distincts et les nisont dans Z.
Exercice 6. Soit (k, |.|) un corps valu´e non-archim´edien. On se place dans un k-espace
vectoriel norm´e (V, k.k) o`u k.kest une norme non-archim´edienne sur V. Montrer que:
1. tout point d’une boule en est un centre.
2. les boules ferm´ees de rayon >0 sont des ouverts.
3. deux boules sont soit disjointes, soit incluse l’une dans l’autre.
4. les sph`eres de rayon >0 sont des ouverts.
5. toute boule est un ferm´e.
6. les seules parties de V`a la fois connexes et non-vides sont les singletons.
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