M2 2016-2017 THÉORIE DES NOMBRES - FEUILLE 1 - IMJ-PRG

M2 2016-2017 THÉORIE DES NOMBRES - FEUILLE 1
Exercice 1. Montrer qu’un anneau principal est de Dedekind.
√
Exercice 2. Montrer que Z[ 5] noethérien, intègre, de dimension ≤ 1 mais pas
intégralement clos.
Exercice 3. Soit A un anneau de Dedekind, soit K le corps des fractions de A et soit
L/K une extension finie séparable. On se propose de montrer que la clôture intégrale B
de A dans L est un anneau de Dedekind. En fait, le résultat est encore vrai sans supposer
que L/K est séparable.
On rappelle que la séparabilité de l’extension L/K est équivalente au fait que la forme
bilinéaire symétrique L × L −→ K, (x, y) 7−→ T rL/K (xy) est non-dégénérée.
1. Montrer que B est un anneau (on pourra utiliser qu’un élément x de L est entier sur
A si et seulement si le A-module A[x] est de type fini).
2.a. Montrer qu’il existe une base {β1 , . . . , βd } de L sur K telle que βi ∈ B pour tout i.
Soit {β1∗ , . . . , βd∗ } la base duale pour T rL/K et soit M le A-module engendré par les βi∗ .
2.b. Montrer que B ⊂ M comme A-module.
2.c. En déduire que B est noethérien.
3. Montrer que B est intégralement clos.
Soit q un idéal premier non-nul de B.
4.a Montrer que q ∩ A est un idéal premier non-nul de A.
4.b. Montrer que tout anneau intègre contenant un corps et algébrique sur ce corps est
lui-même un corps.
4.c. En déduire que q est maximal.
Exercice 4. Soit A un anneau de Dedekind, de corps des fractions K. On se propose de
montrer que l’ensemble des idéaux fractionnaires non-nuls de A forme un groupe pour la
multiplication des idéaux où l’inverse d’un idéal fractionnaire a est a−1 = {x ∈ K | xa ⊂ A}.
1. Montrer que a−1 est un idéal fractionnaire de A.
2. Soit a 6= 0 un idéal de A. Montrer qu’il existe un entier r ≥ 1 et un produit d’idéaux
premiers non-nuls p1 . . . pr ⊂ a (on pourra raisonner par l’absurde et considérer un a 6= 0
qui ne contient aucun produit fini d’idéaux premiers non-nuls et qui est maximal pour cette
1
propriété).
Soit p un idéal maximal.
3.a. Soit a ∈ p, a 6= 0. Soit r ≥ 1 minimal pour la propriété qu’il existe un produit
p1 . . . pr ⊂ (a).
Montrer que l’un des pi est égal à p. On peut supposer p1 = p.
3.b. Soit b ∈ p2 . . . pr tel que b ∈
/ (a). Montrer ba−1 ∈ p−1 et ba−1 ∈
/ A.
−1
3.c. En déduire que pp = A.
4. Déduire de 3.c. que tout idéal non-nul a un inverse pour le produit des idéaux fractionnaires (on pourra raisonner par l’absurde et considérer un a 6= 0 qui n’a pas d’inverse
et maximal pour cette propriété).
5. Soit a un idéal non-nul de A et c un idéal fractionnaire tel que ac = A. Montrer que
c = a−1 .
6. Conclure.
Exercice 5. Soit A un anneau de Dedekind.
1. Montrer que tout idéal non-nul de A se factorise de façon unique comme produit
d’idéaux premiers (on pourra utiliser le résultat démontré dans l’exercice précédent).
2. Montrer que tout idéal fractionnaire non-nul a sécrit de façon unique a =
les pi sont premiers distincts et les ni sont dans Z.
Q
ni
i pi
où
Exercice 6. Soit (k, |.|) un corps valué non-archimédien. On se place dans un k-espace
vectoriel normé (V, k.k) où k.k est une norme non-archimédienne sur V . Montrer que:
1. tout point d’une boule en est un centre.
2. les boules fermées de rayon > 0 sont des ouverts.
3. deux boules sont soit disjointes, soit incluse l’une dans l’autre.
4. les sphères de rayon > 0 sont des ouverts.
5. toute boule est un fermé.
6. les seules parties de V à la fois connexes et non-vides sont les singletons.
2