Indication : on pourra consid´erer l’application :
f:OK/a−→ OK/b
xmod a7→ xmod b.
en montrant qu’elle est bien d´efinie, surjective et non injective.
2. Soit Iun id´eal non nul de OK. Montrer que Iest principal si et seulement s’il existe
a∈Itel que |NK/Q(a)|=N(I).
Exercice 3
Le but de cet exercice est d’´etudier un exemple de corps quadratique dont l’anneau des entiers
est non euclidien, pr´ecis´ement le corps K=Q(√−19).
Puisque −19 ≡1(mod 4), rappelons que l’anneau des entiers de Kest donn´e par :
OK=Z[α],avec α=1 + √−19
2.
On note N=NK/Ql’application norme de l’extension K/Q.
1. Montrer que αest racine du polynˆome P(X) = X2−X+ 5. En d´eduire :
N(a+bα) = a2+ab + 5b2,pour tous a, b ∈Z.
2. Soit UKle groupe des unit´es de l’anneau OK. Montrer que tout z∈UKsatisfait la
condition N(z) = 1 ; en d´eduire l’´egalit´e UK={−1; 1}.
Indication : on pourra utiliser la minoration a2+ab +b2≥(|b|−|a|)2≥0.
3. On suppose par l’absurde que l’anneau OKest euclidien, en particulier qu’il est muni
d’une application stathme ϕ:OK\{0} → Ntelle que pour tous y, z ∈OKil existe
q, r ∈OKavec z=qy +ret (r= 0 ou ϕ(r)< ϕ(y)).
Soit x∈OK\UKun ´el´ement non nul tel que ϕ(x) soit minimal.
(a) Modulo l’id´eal (x) = xOK, montrer que tout ´el´ement z∈OKest congru soit `a 0 soit
`a une unit´e de OK.
(b) En d´eduire que l’anneau quotient OK/(x) est un corps de cardinal 2 ou 3.
(c) Par un calcul direct, montrer : |N(x)| ≥ 4.
(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes une contradiction. Conclure.
Remarque : dans une s´erie ult´erieure, nous montrerons que l’anneau OKest en revanche fac-
toriel (donc principal d’apr`es l’exercice 1). On n’a donc pas l’implication factoriel ⇒euclidien
pour les corps de nombres.