Introduction `a la théorie des nombres Série 10

EPFL -Section de Math´ ematiques
Introduction
`a la th´eorie des nombres
Semestre Printemps 2009 Prof. Eva Bayer-Fluckiger
30.04.2009
S´erie 10
Exercice 1
Anneau d’entiers factoriel ⇒principal
On peut montrer que tout anneau principal est factoriel. En g´en´eral, la r´eciproque est fausse...
mais elle est vraie pour tout anneau d’entiers, c’est ce que nous allons montrer dans cet
exercice.
Soit Kun corps de nombres, on note OKson anneau d’entiers.
1. Montrer les deux assertions suivantes, vraies pour tout corps de nombres :
(a) Si tout id´eal premier de OKest principal, alors l’anneau OKest principal.
(b) Dans l’anneau OK, tout id´eal premier est maximal.
2. On suppose maintenant que l’anneau OKest factoriel.
(a) Montrer que pour tout ´el´ement irr´eductible π∈OK, l’id´eal πOKest premier.
Indication : soit ab ∈πOKtel que b6∈ πOK. Soit c∈OKtel que ab =πc. En ´ecrivant
la d´ecomposition en produits d’irr´eductibles pour a,bet c, montrer que a∈πOK.
(b) Soit p6= 0 un id´eal premier de OK. Soit x∈p,x6= 0, tel que |NK/Q(x)|est minimal.
Montrer que xest irr´eductible.
(c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que l’anneau OKest principal.
Exercice 2
Soit Kun corps de nombres. On note OKson anneau des entiers. Si I⊂OKest un id´eal, on
note N(I) = card(OK/I) sa norme.
1. Soient a⊂bdeux id´eaux non triviaux de OKtels que a6=b. Montrer : N(a)> N(b)
(in´egalit´e stricte).

Indication : on pourra consid´erer l’application :
f:OK/a−→ OK/b
xmod a7→ xmod b.
en montrant qu’elle est bien d´efinie, surjective et non injective.
2. Soit Iun id´eal non nul de OK. Montrer que Iest principal si et seulement s’il existe
a∈Itel que |NK/Q(a)|=N(I).
Exercice 3
Le but de cet exercice est d’´etudier un exemple de corps quadratique dont l’anneau des entiers
est non euclidien, pr´ecis´ement le corps K=Q(√−19).
Puisque −19 ≡1(mod 4), rappelons que l’anneau des entiers de Kest donn´e par :
OK=Z[α],avec α=1 + √−19
2.
On note N=NK/Ql’application norme de l’extension K/Q.
1. Montrer que αest racine du polynˆome P(X) = X2−X+ 5. En d´eduire :
N(a+bα) = a2+ab + 5b2,pour tous a, b ∈Z.
2. Soit UKle groupe des unit´es de l’anneau OK. Montrer que tout z∈UKsatisfait la
condition N(z) = 1 ; en d´eduire l’´egalit´e UK={−1; 1}.
Indication : on pourra utiliser la minoration a2+ab +b2≥(|b|−|a|)2≥0.
3. On suppose par l’absurde que l’anneau OKest euclidien, en particulier qu’il est muni
d’une application stathme ϕ:OK\{0} → Ntelle que pour tous y, z ∈OKil existe
q, r ∈OKavec z=qy +ret (r= 0 ou ϕ(r)< ϕ(y)).
Soit x∈OK\UKun ´el´ement non nul tel que ϕ(x) soit minimal.
(a) Modulo l’id´eal (x) = xOK, montrer que tout ´el´ement z∈OKest congru soit `a 0 soit
`a une unit´e de OK.
(b) En d´eduire que l’anneau quotient OK/(x) est un corps de cardinal 2 ou 3.
(c) Par un calcul direct, montrer : |N(x)| ≥ 4.
(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes une contradiction. Conclure.
Remarque : dans une s´erie ult´erieure, nous montrerons que l’anneau OKest en revanche fac-
toriel (donc principal d’apr`es l’exercice 1). On n’a donc pas l’implication factoriel ⇒euclidien
pour les corps de nombres.