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Spé ψ 2000-2001 page 3/5 Devoir n°3
Mettre cette force sous la forme FX =
S V 2 f(α, θ).
b) On cherche, pour chacune des routes du voilier, à optimiser le réglage de la voile,
de façon à obtenir la plus grande valeur possible de la force propulsive FX, compte tenu des
valeurs fixées de
, S et V .
En étudiant la fonction f(α, θ) , établir l'équation qui permet de déterminer la valeur optimale
θM de l'angle de réglage θ , en fonction de α.
c) Dresser un tableau donnant, en correspondance. les valeurs numériques de θM, α et
f(α, θM) . (On pourra, au choix, fixer des valeurs de α ∈ [0, π] puis déterminer θM et f(α, θM)
ou bien fixer des valeurs de θM ∈ [0, π/2] puis déterminer α et f(α, θM).)
d) Tracer. sur papier millimétré, le graphe f(α, θM) en fonction de α.
e) Calculer numériquement la composante propulsive FX obtenue pour une voile de
surface S = 30 m2 dans un vent apparent de vitesse V = 10 m.s-1 arrivant exactement par le
travers du bateau, soit pour α = 90°. On prendra
= 1,3 kg.m-3 .
II-3) On considère que la coque et l'ensemble des superstructures du voilier présentent une
résistance à l’avancement du bateau, appelée "fardage", équivalente à celle d'une voile plane
de surface S0 qui serait déployée perpendiculairement au vent relatif.
a) Déterminer. d'après les résultats précédents. la composante F0X de la force corres-
pondant au fardage. On mettra cette force sous la forme F0X =
S0 V2 f0(α).
b) Tracer. sur le graphique demandé à la question II-2-d, la fonction g(α) = |S0/S f0(α)|.
On prendra, pour ce tracé, S0/S = 1/10.
Montrer, à partir des courbes représentant f(α, θM) et g(α) que le bateau ne peut pas être pro-
pulsé selon et sous l'action du vent pour 0 ≤ α ≤ α0. (En raison de la symétrie évidente du pro-
blème par rapport à Ox, on ne considérera que les valeurs de α comprises entre 0 et π).
c) Déterminer graphiquement la valeur numérique de l'angle limite α0. Quelle est la
signification physique de cette valeur ?
d) Dans la réalité, l’angle α0 est le plus souvent compris entre 30° et 40° car les per-
formances de la voile sont meilleures que celles prévues dans la question II-2. Comment peut-
on expliquer ce phénomène ?
Partie III
PROPULSION PAR UNE HELICE
En l’absence de vent, le bateau utilise un moteur qui transmet sa puissance à une hé-
lice. On étudie ici le rendement énergétique d’un tel type de propulsion.
III-1) Une hélice est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Ox,
est plongée dans un fluide parfait, incompressible de masse volumique µ. L’étude est faite
dans un référentiel galiléen R lié à l’axe de l’hélice ; dans ce référentiel, l’écoulement est sta-
tionnaire. On négligera l’influence de la pesanteur. On considère un tube de courant possédant
la symétrie de révolution autour de Ox et s’appuyant sur les pales de l’hélice. Ce tube de cou-
rant définit une surface fermée, constituée de la surface latérale du tube SLAT et des sections
droites amont et aval S1 et S2. La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et
égale à la pression ambiante pA.
Sur la surface S1, la vitesse du fluide est uniforme et égale à v1
X; sur S2, elle est égale
à v2
X.Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections S et S ’ d’aires sensiblement
égales S ≈ S’ :
-sur la surface S, la vitesse est v
X et la pression p.