énoncé

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Spé ψ 2001-2002 Devoir n°3
MÉCANIQUE DES FLUIDES
Partie I
MODELE METEOROLOGIQUE
Un point M situé dans l'atmosphère est repéré par ses coordonnées x,y,z dans le repère
terrestre local (Oxyz ) dont l'origine O se trouve dans un plan mé-
ridien à la latitude λ {figure 1} avec 0 ≤ λ ≤ π/ 2 pour l'hémisphère
nord, l'axe Ox étant dirigé vers l'Est, l'axe Oy étant dirigé vers le
Nord, l'axe Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante.
On prendra 1- rad.s
86164
2
π
=Ω
I-1) On s'intéresse à la résultante
dF
→
des forces de pression
s’exerçant sur un élément de fluide atmosphérique de masse dm.
Montrer que la force de pression rapportée à l'unité de masse, no-
tée
r
f et définie par d
r
F
=
r
f dm, est donnée par l'expression
pf
→
−= grad
1
ρ
r
où ρ est la masse volumique du fluide en M et p la
pression en M. Dans une atmosphère calme, par quoi est compensée la composante verticale
des forces de pression ? Par la suite, on supposera cette compensation ef-
fective en toutes circonstances et on ne s'intéressera
qu'au mouvement de la particule de fluide dans un plan
horizontal.
I-2) Soit la situation météorologique schématisée
sur la figure 2 dans laquelle l'axe anticyclone dépression
fait un angle θ avec la direction Ox. La distance entre les
isobares 1020 et 1000 est notée d, les pressions étant
mesurées en hectopascals. On supposera le gradient de
pression uniforme sur l'axe AD, sa norme étant notée a.
N.B. : Au niveau de l'axe AD les isobares sont
perpendiculaires à cet axe et sont localement assimila-
bles à des segments de droite.
Données : d = 400km ; λ =42° Nord ; ρ = 1,3 kg.m-3.
Calculer la valeur numérique de a. Exprimer les composantes fX et fY, de la force mas-
sique de pression en fonction de a, ρ et θ .
I-3) Le référentiel géocentrique étant supposé galiléen, on se place dans un référentiel
terrestre. Quelles sont les forces qui agissent sur une particule de fluide ? Qu'appelle-t-on
poids de la particule? Écrire le P.F.D. pour la particule de fluide dans le référentiel terrestre.
I-4) Projeter l'équation sur les axe Ox et Oy et montrer qu'en régime de « vitesse
constante », le fluide atmosphérique s'écoule au niveau de l'axe AD suivant une direction et un
sens que l'on précisera avec soin sur la figure. Comment modifier ces conclusions dans l'hé-
misphère Sud ?
figure 2
y
y
z
λ
¤ x
z
0
Ω
O
O0
figure 1

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I-5) Chercher la norme du vecteur vitesse du vent ; calculer sa valeur numérique pour
les données précédentes.
Partie II
ÉTUDE SIMPLIFIEE DE LA PROPULSION EOLIENNE D'UN BATEAU PAR VOILE TRADITIONNELLE.
Un bateau à voile effectue une navigation locale autour d'un lieu O et l'on peut considérer
qu'il se déplace dans le plan horizontal Oxy d'un référentiel galiléen avec une vitesse constante
selon la direction et le sens de
r
u
X ; on néglige toute composante latérale de "dérive" de son
mouvement. Il constitue donc lui-même un référentiel galiléen (R0) qui sera choisi pour écrire
les équations du mouvement des masses d'air.
On assimile l'unique voile de ce
voilier à une portion de plan de
surface S. Cette surface reçoit et
défléchit l'écoulement d'air dû au
vent relatif ou vent "apparent"
incident sur le voilier. L'air est
considéré comme un fluide non
visqueux en écoulement station-
naire et incompressible. Le bateau
évolue dans un champ de pression
et de température uniformes.
On admet que la voile, réglée
pour que son plan fasse un angle θ
avec le vent apparent incident,
défléchit d'un angle 2θ le tube de
courant de l'écoulement d'air inci-
dent dans le référentiel (Ro) du
navire. Ce tube, de section droite Σ est celui qui traverserait la surface géométrique S de la
voile, si celle-ci n'était pas déployée. On suppose que la voile n'altère pas l'écoulement et ne
modifie pas sa section droite. (cf. figure 3).
On suppose de plus que. sur toute section droite d'un tube de courant, le champ de vitesse
dans (Ro) est uniforme et vaut
r
V
1
, pour l'écoulement incident et
r
V
2
pour l'écoulement défléchi.
On appelle α l'angle qui repère la direction du vent apparent par rapport à la route du voilier
que l'on définit par α = (
r
u
X , –
r
V
1
).
Enfin. on note
ρ
0
la masse volumique de l’air.
II-1) Étude cinématique de l'écoulement.
a) Rappeler les caractéristiques d’un écoulement stationnaire et incompressible. Ex-
primer. en fonction des données du problème. le débit volumique qV et le débit massique qM
de l'air pour l’écoulement considéré.
b) Montrer que la vitesse de l’écoulement est uniforme et a même norme V dans le
tube de courant incident et défléchi.
c) Écrire la relation entre Σ , surface de la section droite du tube de vent et S surface de
la voile.
II-2) Étude dynamique de l'écoulement
a) En appliquant le théorème de la quantité de mouvement dans (R0) à un système
matériel que 1’on prendra soin de définir, exprimer la composante FX de la force exercée par
le vent sur la voile, en fonction de
ρ
0
, S , V, α et θ.
α
θ
x
y
O
θ
g
V1
V2
(Σ)
(Σ)
(
S
)
tube de vent
apparent incident
tube de vent
défléchi
par la voile
plan de
la voile
figure
3

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Mettre cette force sous la forme FX =
ρ
0
S V 2 f(α, θ).
b) On cherche, pour chacune des routes du voilier, à optimiser le réglage de la voile,
de façon à obtenir la plus grande valeur possible de la force propulsive FX, compte tenu des
valeurs fixées de
ρ
0
, S et V .
En étudiant la fonction f(α, θ) , établir l'équation qui permet de déterminer la valeur optimale
θM de l'angle de réglage θ , en fonction de α.
c) Dresser un tableau donnant, en correspondance. les valeurs numériques de θM, α et
f(α, θM) . (On pourra, au choix, fixer des valeurs de α ∈ [0, π] puis déterminer θM et f(α, θM)
ou bien fixer des valeurs de θM ∈ [0, π/2] puis déterminer α et f(α, θM).)
d) Tracer. sur papier millimétré, le graphe f(α, θM) en fonction de α.
e) Calculer numériquement la composante propulsive FX obtenue pour une voile de
surface S = 30 m2 dans un vent apparent de vitesse V = 10 m.s-1 arrivant exactement par le
travers du bateau, soit pour α = 90°. On prendra
ρ
0
= 1,3 kg.m-3 .
II-3) On considère que la coque et l'ensemble des superstructures du voilier présentent une
résistance à l’avancement du bateau, appelée "fardage", équivalente à celle d'une voile plane
de surface S0 qui serait déployée perpendiculairement au vent relatif.
a) Déterminer. d'après les résultats précédents. la composante F0X de la force corres-
pondant au fardage. On mettra cette force sous la forme F0X =
ρ
0
S0 V2 f0(α).
b) Tracer. sur le graphique demandé à la question II-2-d, la fonction g(α) = |S0/S f0(α)|.
On prendra, pour ce tracé, S0/S = 1/10.
Montrer, à partir des courbes représentant f(α, θM) et g(α) que le bateau ne peut pas être pro-
pulsé selon et sous l'action du vent pour 0 ≤ α ≤ α0. (En raison de la symétrie évidente du pro-
blème par rapport à Ox, on ne considérera que les valeurs de α comprises entre 0 et π).
c) Déterminer graphiquement la valeur numérique de l'angle limite α0. Quelle est la
signification physique de cette valeur ?
d) Dans la réalité, l’angle α0 est le plus souvent compris entre 30° et 40° car les per-
formances de la voile sont meilleures que celles prévues dans la question II-2. Comment peut-
on expliquer ce phénomène ?
Partie III
PROPULSION PAR UNE HELICE
En l’absence de vent, le bateau utilise un moteur qui transmet sa puissance à une hé-
lice. On étudie ici le rendement énergétique d’un tel type de propulsion.
III-1) Une hélice est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Ox,
est plongée dans un fluide parfait, incompressible de masse volumique µ. L’étude est faite
dans un référentiel galiléen R lié à l’axe de l’hélice ; dans ce référentiel, l’écoulement est sta-
tionnaire. On négligera l’influence de la pesanteur. On considère un tube de courant possédant
la symétrie de révolution autour de Ox et s’appuyant sur les pales de l’hélice. Ce tube de cou-
rant définit une surface fermée, constituée de la surface latérale du tube SLAT et des sections
droites amont et aval S1 et S2. La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et
égale à la pression ambiante pA.
Sur la surface S1, la vitesse du fluide est uniforme et égale à v1
r
u
X; sur S2, elle est égale
à v2
r
u
X.Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections S et S ’ d’aires sensiblement
égales S ≈ S’ :
-sur la surface S, la vitesse est v
r
u
X et la pression p.

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-sur la surface S ’, la vitesse est v’
r
u
X et la pression p’.
Au voisinage proche de l’hélice, entre S et S ’, l’écoulement est perturbé, et il existe
une discontinuité de la pression de part et d’autre de l’hélice.
Exprimer la pression p en fonction de pA, µ, v1 et v.
Donner une expression analogue pour p’ en fonction de de pA, µ, v2 et v.
III-2) On note
r
F
la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide.
a). En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le volume compris
entre S et S ’, exprimer
r
F
en fonction de S, µ, v1 et v2.
b) En raisonnant cette fois dans le volume compris entre S1 et S2, obtenir une
deuxième expression de
r
F
en fonction de S, µ, v, v1 et v2.
Déduire de ce qui précède, une relation simple entre v, v1 et v2.
c) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à un volume de fluide bien
choisi, déterminer la puissance P fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat :
Ÿ d’une part en fonction du débit massique DM et des vitesses v1 et v2.
Ÿ d’autre part en fonction de la force F.
Étudier le signe de P et justifier l’allure du tube de courant représenté en début
d’énoncé.
III-3) L’hélice est celle d’un navire. Celui-ci est animé, par rapport à la « terre » d’un
mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse -U
r
u
X. Par rapport à la « terre », le
fluide est immobile à grande distance en amont de l’hélice, et possède la vitesse w
r
u
X assez
loin en aval de l’hélice. La force -
r
F
subie par l’hélice de la part du fluide fait avancer le na-
vire. Le référentiel R est celui lié au navire, R0 celui lié à la terre.
a) En utilisant les résultats des questions III-2-a ou III-2-b., exprimer F en
fonction de DM, v et U.
b) En déduire que la force de poussée F et la puissance P sont liée par la rela-
tion suivante : 2S µ P2 – 2S µ FU P – F 3 = 0.
III-4) Dans la suite, la viscosité de l’eau intervient uniquement pour déterminer la
force de frottement agissant sur le navire ; les résultats précédents restent utilisables.
La force de frottement RF s’exerçant sur le navire animé de la vitesse U, ou traînée de
frottement, est donnée par l’expression :
Pa
S1
v1
P
v
Slat
hélice
PaSS’
v’
S2
v2
x
Pa
figure
4

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RF = 1
2
C µ ΣU2
avec µ masse volumique de l’eau, Σ la surface du navire mouillée par l’eau et C coef-
ficient de traînée de frottement, dont la valeur dépend du nombre de Reynolds RE.
a) Quelle est la relation entre RF et F si le navire est en mouvement rectiligne et
uniforme dansR0 ?
b) Déduire des résultats précédents la relation suivante :
P = C C
SU
µΣ Σ
41 1 3
+ +
F
H
G
I
K
J
Quel est l’effet sur la vitesse d’un doublement de la puissance ?
c) Exprimer le rendement de propulsion η, rapport de la puissance utile
PU = FU à la puissance totale P. On commentera l’expression obtenue.
d) Quelle serait la valeur de la force de poussée F dans le cas d’un rendement
de propulsion égal à l’unité ?
e) Exprimer la différence P – PU en fonction de µ, S et w. En déduire une
interprétation physique de cette différence.
f) Application numérique : Le navire est un transbordeur de longueur
L = 145 m, avec Σ = 1,94×103 m2. On désire une vitesse U de 19 nœuds, soit 9,77 m.s-1. La
propulsion est assurée par une hélice de diamètre égal à 4,35 m.
On prend pour l’eau µ = 103 kg.m-3 et pour valeur de la viscosité η = 10-3 Pl.
La courbe suivante donne l’évolution du coefficient C en fonction du logarithme dé-
cimale du nombre de Reynolds. Pour l’expression du nombre de Reynolds, on prendra L
comme longueur caractéristique.
Calculer la valeur du nombre de Reynolds, la valeur de la traînée de frottement RF, la
puissance totale fournie par l’hélice, la puissance utile PU et le rendement η.
figure
5