BILANS EN MÉCANIQUE DES FLUIDES

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BILANS EN MÉCANIQUE DES FLUIDES
VRAI FAUX
Dans l’expression de la force de portance ou de traînée exercée par un
écoulement sur un obstacle
2
1
2
C v S
µ, on peut toujours déterminer littéralement
l’expression de C .
Avec un profil d’aile symétrique, il existe une force de portance à angle
d’incidence nulle.
Un avion peut voler « sur le dos ».
Une surface de contrôle est un système auquel on applique le théorème de la
quantité de mouvement.
Un écoulement de gaz peut-être considéré comme incompressible s’il est assez
lent.
La relation de Bernoulli est valable pour un écoulement quelconque.
On ne peut pas utiliser la relation de Bernoulli pour un écoulement en rotation.
On peut utiliser la formule de Torricelli à la vidange d’un réservoir fermé.
Pour un écoulement parfait, stationnaire et incompressible, la puissance des
actions des forces intérieures est toujours nulle.
Pour un système plongé dans un fluide de pression uniforme P
0
, la résultante
des forces de pression qu’il subit est nulle.
La poussée d’Archimède qui s’exerce sur un solide plongé dans un fluide est
toujours égale au poids du solide.
Le tube de Pitot sert à mesurer un débit.
Dans l’étude d’une turbine, le système étudié est le solide formé de l’axe de
rotation et des pales.
I-Une canalisation fait un coude d’angle θ;
elle contient un fluide incompressible de masse
volumique µ dont l’écoulement, loin du coude, est
parfait, stationnaire et unidimensionnel. Dans les
sections Σ
1
et Σ
2
, les vitesses sont uniformes et se
notent
v
1
et
v
2
. La pression du fluide en tout point
de Σ
1
est p
1
. On néglige les effets de la pesanteur.
Exprimer les composantes de la force
exercée par le fluide sur la canalisation, en fonction de µ , θ , v
1
, p
1
, S
1
et S
2
(aires des sections Σ
1
et
Σ
2
).
II-Une jauge de Venturi est constituée d’un tube de
section circulaire, de surface S
A
(diamètre Φ
A
) qui présente un
rétrécissement de section S
B
(diamètre Φ
B
). On mesure à l’aide
d’un tube en U contenant du mercure la différence de pression
entre A et B . La dénivellation du mercure est h ’’.
Déterminer la vitesse de l’eau en A et le débit à travers la
jauge (l’eau est décrit comme un fluide parfait, incompressible
et l’écoulement est permanent).
Données : h ’’ = 35,0 cm; Φ
A
= 30,0 cm; Φ
B
= 15,0 cm;
µ (Hg) = 13,6 10
3
kg.m
-3
; g = 9,8 m.s
-2
.
III-On considère un liquide, incompressible, homogène,
e
Y
e
X
θ
Σ
2
Σ
1
v
1
v
2
g
h
B
A
x
h’’
e
Z
v

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non visqueux, en écoulement stationnaire et irrotationnel, dans le champ de pesanteur supposé
uniforme.
1) Rappeler, sans justification, l’équation de Bernoulli. On précisera la notation utilisée et on
commentera l’aspect énergétique des différents termes utilisés (l’axe vertical est orienté suivant la
direction ascendante).
2) On se propose d’utiliser cette équation, pour
interpréter de façon simplifiée, les caractéristiques d’une
pompe de vidange. Cette pompe aspire de l’eau (masse
volumique : µ
EAU
= 10
3
kg.m
–3
) contenue dans une enceinte
inférieure à la pression P
0
, et la refoule dans une enceinte
supérieure à la pression P
3
. H
1
est la hauteur d’aspiration et
H
2
celle de refoulement. On désigne par 0, 1 2, 3 les points
des conduites où les pressions valent P
0
, P
1
, P
2
, P
3
, les
vitesses v
0
, v
1
, v
2
, v
3
( v
0
est négligeable par rapport aux
autres vitesses) ; la pompe fonctionne en régime permanent
(débit constant).
a) Montrer que l’énergie mécanique
massique apportée par la pompe s’exprime en fonction des
grandeurs P
3
, P
0
, µ
EAU
, g , v
3
, H
1
et H
2
.
b) La pompe considérée a une puissance nominale de 300 W et un débit en volume
(souvent appelé débit volumique), en régime permanent, de 7000 L.h
–1
. La conduite de refoulement,
cylindrique, a un diamètre intérieur de 15 mm.
Quelle est la dénivellation théorique entre les niveaux 0 et 3, sachant que P
3
et P
0
valent
sensiblement 1 bar et que le rendement en puissance est de 85 % ?
c) Le constructeur indique une dénivellation de 6 m. Comparer au résultat précédente
et commenter.
IV-Un jet d’eau incompressible de masse volumique ρ , de section s , possède une vitesse
v
par rapport au sol. Ce jet heurte les pales d’une roue à aubes. Après le choc, l’eau repart dans la
même direction et en sens contraire du jet incident. Immédiatement après le choc, une pale possède
la vitesse
u
par rapport au sol (
u
colinéaire à
v
).
1) Quel est le débit de masse du jet incident dans le référentiel R lié au sol ?
2) Dans le référentiel R ’ lié à la pale en contact avec le jet, quelles sont les vitesses du jet
incident et du jet réfléchi ? En déduire la vitesse du jet réfléchi dans R .
3) En remarquant qu’il y a substitution permanente d’une pale par une autre, on peut
considérer que le jet agit sur une plaque fixe dans R . Quelle est la résultante
F
des forces subies
par cette plaque ?
4) On veut retrouver le résultat précédent à l’aide du théorème de la puissance cinétique.
a) Exprimer la puissance cinétique du jet incident et du jet réfléchi dans le référentiel
R .
b) En écrivant que le point d’application de
F
est sur une pale de vitesse
u
dans R ,
déterminer l’expression de
F
.
c) Quel est le rendement énergétique du système, défini comme le rapport de la
puissance reçue par une pale à la puissance cinétique du jet incident.
V- Une hélice est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Ox , est
plongée dans un fluide parfait, incompressible de masse volumique µ. L’étude est faite dans un
référentiel galiléen R lié à l’axe de l’hélice ; dans ce référentiel, l’écoulement est stationnaire. On
négligera l’influence de la pesanteur. On considère un tube de courant possédant la symétrie de
révolution autour de
Ox et s’appuyant sur les pales de l’hélice. Ce tube de courant définit une
P
3
P
0
g
z
H
1
H
2
1
2
POMPE

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surface fermée, constituée de la surface latérale du tube SLAT et des sections droites amont et aval S1
et S2 . La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et égale à la pression ambiante pA .
Sur la surface S1 , la vitesse du fluide est uniforme et égale à v1
u
X
; sur S2 , elle est égale à v2
u
X
.
Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections S et S ’ d’aires sensiblement égales
S ≈ S ’ :
-sur la surface S , la vitesse est v
u
X
et la pression p .
-sur la surface S ’, la vitesse est v ’
u
X
et la pression p ’.
Au voisinage proche de l’hélice, entre S et S ’, l’écoulement est perturbé, et il existe une
discontinuité de la pression de part et d’autre de l’hélice.
1) Exprimer la pression p en fonction de pA , µ, v1 et v .
Donner une expression analogue pour p ’ en fonction de de pA , µ, v2 et v .
2) On note
F
la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide.
a). En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le volume compris entre S
et S ’, exprimer
F
en fonction de S , µ, v1 et v2 .
b) En raisonnant cette fois dans le volume compris entre S1 et S2 , obtenir une
deuxième expression de
F
en fonction de S , µ, v , v1 et v2 .
Déduire de ce qui précède, une relation simple entre v , v1 et v2 .
c) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à un volume de fluide bien
choisi, déterminer la puissance P fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat :
d’une part en fonction du débit massique DM et des vitesses v1 et v2 .
d’autre part en fonction de la force F .
Étudier le signe de P et justifier l’allure du tube de courant représenté en début d’énoncé.
p
A
S
1
v
1
p
v
S
LAT
HELICE
p
A
SS’
v’
S
2
v
2
x
p
A