BILANS EN MÉCANIQUE DES FLUIDES VRAI FAUX Dans l’expression de la force de portance ou de traînée exercée par un 1 écoulement sur un obstacle Cµv 2 S , on peut toujours déterminer littéralement 2 l’expression de C. Avec un profil d’aile symétrique, il existe une force de portance à angle d’incidence nulle. Un avion peut voler « sur le dos ». Une surface de contrôle est un système auquel on applique le théorème de la quantité de mouvement. Un écoulement de gaz peut-être considéré comme incompressible s’il est assez lent. La relation de Bernoulli est valable pour un écoulement quelconque. On ne peut pas utiliser la relation de Bernoulli pour un écoulement en rotation. On peut utiliser la formule de Torricelli à la vidange d’un réservoir fermé. Pour un écoulement parfait, stationnaire et incompressible, la puissance des actions des forces intérieures est toujours nulle. Pour un système plongé dans un fluide de pression uniforme P0, la résultante des forces de pression qu’il subit est nulle. La poussée d’Archimède qui s’exerce sur un solide plongé dans un fluide est toujours égale au poids du solide. Le tube de Pitot sert à mesurer un débit. Dans l’étude d’une turbine, le système étudié est le solide formé de l’axe de rotation et des pales. I-Une canalisation fait un coude d’angle θ; Σ2 elle contient un fluide incompressible de masse volumique µ dont l’écoulement, loin du coude, est parfait, stationnaire et unidimensionnel. Dans les eY sections Σ1 et Σ2, les vitesses sont uniformes et se Σ 1 θ notent v 1 et v 2. La pression du fluide en tout point de Σ1 est p1. On néglige les effets de la pesanteur. eX v1 Exprimer les composantes de la force exercée par le fluide sur la canalisation, en fonction de µ, θ, v1, p1, S1 et S2 (aires des sections Σ1 et Σ2). II-Une jauge de Venturi est constituée d’un tube de section circulaire, de surface SA (diamètre ΦA) qui présente un rétrécissement de section SB (diamètre ΦB). On mesure à l’aide g d’un tube en U contenant du mercure la différence de pression entre A et B. La dénivellation du mercure est h’’. B Déterminer la vitesse de l’eau en A et le débit à travers la h jauge (l’eau est décrit comme un fluide parfait, incompressible et l’écoulement est permanent). A x Données: h’’ = 35,0 cm; ΦA = 30,0 cm; ΦB = 15,0 cm; h’’ v µ(Hg) = 13,6 103 kg.m-3; g = 9,8 m.s-2. III-On considère un liquide, incompressible, homogène, Bilans en mécanique des fluides page 1/3 v2 eZ non visqueux, en écoulement stationnaire et irrotationnel, dans le champ de pesanteur supposé uniforme. 1) Rappeler, sans justification, l’équation de Bernoulli. On précisera la notation utilisée et on commentera l’aspect énergétique des différents termes utilisés (l’axe vertical est orienté suivant la direction ascendante). 2) On se propose d’utiliser cette équation, pour z interpréter de façon simplifiée, les caractéristiques d’une pompe de vidange. Cette pompe aspire de l’eau (masse P3 volumique : µEAU = 103 kg.m–3) contenue dans une enceinte inférieure à la pression P0, et la refoule dans une enceinte g supérieure à la pression P3. H1 est la hauteur d’aspiration et H2 H2 celle de refoulement. On désigne par 0, 1 2, 3 les points POMPE des conduites où les pressions valent P0, P1, P2, P3, les vitesses v0, v1, v2, v3 (v0 est négligeable par rapport aux 1 2 autres vitesses) ; la pompe fonctionne en régime permanent H1 (débit constant). P0 a) Montrer que l’énergie mécanique massique apportée par la pompe s’exprime en fonction des grandeurs P3, P0, µEAU, g, v3, H1 et H2. b) La pompe considérée a une puissance nominale de 300 W et un débit en volume (souvent appelé débit volumique), en régime permanent, de 7000 L.h–1. La conduite de refoulement, cylindrique, a un diamètre intérieur de 15 mm. Quelle est la dénivellation théorique entre les niveaux 0 et 3, sachant que P3 et P0 valent sensiblement 1 bar et que le rendement en puissance est de 85 % ? c) Le constructeur indique une dénivellation de 6 m. Comparer au résultat précédente et commenter. IV-Un jet d’eau incompressible de masse volumique ρ, de section s, possède une vitesse v par rapport au sol. Ce jet heurte les pales d’une roue à aubes. Après le choc, l’eau repart dans la même direction et en sens contraire du jet incident. Immédiatement après le choc, une pale possède la vitesse u par rapport au sol ( u colinéaire à v ). 1) Quel est le débit de masse du jet incident dans le référentiel R lié au sol ? 2) Dans le référentiel R’ lié à la pale en contact avec le jet, quelles sont les vitesses du jet incident et du jet réfléchi ? En déduire la vitesse du jet réfléchi dans R. 3) En remarquant qu’il y a substitution permanente d’une pale par une autre, on peut considérer que le jet agit sur une plaque fixe dans R. Quelle est la résultante F des forces subies par cette plaque ? 4) On veut retrouver le résultat précédent à l’aide du théorème de la puissance cinétique. a) Exprimer la puissance cinétique du jet incident et du jet réfléchi dans le référentiel R. b) En écrivant que le point d’application de F est sur une pale de vitesse u dans R, déterminer l’expression de F . c) Quel est le rendement énergétique du système, défini comme le rapport de la puissance reçue par une pale à la puissance cinétique du jet incident. V-Une hélice est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Ox, est plongée dans un fluide parfait, incompressible de masse volumique µ. L’étude est faite dans un référentiel galiléen R lié à l’axe de l’hélice ; dans ce référentiel, l’écoulement est stationnaire. On négligera l’influence de la pesanteur. On considère un tube de courant possédant la symétrie de révolution autour de Ox et s’appuyant sur les pales de l’hélice. Ce tube de courant définit une Bilans en mécanique des fluides page 2/3 surface fermée, constituée de la surface latérale du tube SLAT et des sections droites amont et aval S1 et S2. La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et égale à la pression ambiante pA. S1 pA pA S’ S S2 pA p x v1 v v’ v2 HELICE SLAT u X. Sur la surface S1, la vitesse du fluide est uniforme et égale à v1 u X; sur S2, elle est égale à v2 Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections S et S ’ d’aires sensiblement égales S ≈ S’ : -sur la surface S, la vitesse est v u X et la pression p. -sur la surface S ’, la vitesse est v’ u X et la pression p’. Au voisinage proche de l’hélice, entre S et S ’, l’écoulement est perturbé, et il existe une discontinuité de la pression de part et d’autre de l’hélice. 1) Exprimer la pression p en fonction de pA, µ, v1 et v. Donner une expression analogue pour p’ en fonction de de pA, µ, v2 et v. 2) On note F la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. a). En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le volume compris entre S et S ’, exprimer F en fonction de S, µ, v1 et v2. b) En raisonnant cette fois dans le volume compris entre S1 et S2, obtenir une deuxième expression de F en fonction de S, µ, v, v1 et v2. Déduire de ce qui précède, une relation simple entre v, v1 et v2. c) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à un volume de fluide bien choisi, déterminer la puissance P fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat : d’une part en fonction du débit massique DM et des vitesses v1 et v2. d’autre part en fonction de la force F. Étudier le signe de P et justifier l’allure du tube de courant représenté en début d’énoncé. Bilans en mécanique des fluides page 3/3