Mathématique

Trigonométrie
Mathématique
Sylvie Jancart
[email protected]
septembre 2015
Trigonométrie
Equations trigonométriques élémentaires
Exemple 1 : résoudre dans IR l’équation sin x =
1
2
:
L’examen du cercle trigonométrique montre la solution ( k ∈ ZZ ) :
x
=
300 + k · 3600
x
=
(1800 − 300 ) + k · 3600 = 1500 + k · 3600
ou
ou, exprimé en radians
x
=
π
+ 2kπ
6
ou
x =
5π
+ 2kπ ·
6
Y
J
1/2
150°
I'
30°
I
0
J'
X
Trigonométrie
Equations trigonométriques élémentaires
Exemple 2 : résoudre l’équation cos x = −0.651 :
L’usage de la calculatrice et l’examen du cercle trigonométrique montre que
( k ∈ ZZ ) :
x ' 130, 60 + k · 3600
ou
x ' −130, 60 + k · 3600
c’est-à-dire
x ' 130, 60 + k · 3600
ou
x ' 229, 40 + k · 3600
130,6°
Y
J
1/2
I'
-0.651
I
0
229,4°
J'
X
Trigonométrie
Equations trigonométriques élémentaires
Exemple 3 : résoudre dans IR l’équation tan
x
3
= −1 :
L’examen du cercle trigonométrique montre que ( k ∈ ZZ ) :
x
3
=
−
π
+ kπ
4
x
=
−
3π
+ 3kπ .
4
d’où
BUT : il faut donc trouver le ou les angles en radians qui satisfont à une
équation contentant les nombres trigonométriques de x.
sin ax
avec −1 ≤ b ≤ 1
=
b
cos ax
=
b
tan ax
=
b
Trigonométrie
Equations trigonométriques du type sin ax = cos bx
sin ax = cos bx
ax et bx sont des mesures en radians.
Pour trouver la solution, on transforme, par exemple, le cosinus en sinus :
”
“π
sin ax = sin
− bx
2
et on a donc
ax =
et
ax +
“π
2
“π
”
− bx + 2kπ
i.e.
”
− bx = π + 2kπ
i.e.
2
”
1 “π
+ 2kπ ,
a+b 2
”
1 “π
x=
+ 2kπ ,
a−b 2
x=
k ∈ ZZ ,
k ∈ ZZ .
Ceci ne fait que traduire le fait que les sinus de deux angles sont égaux si ces
angles sont égaux ou si leur somme vaut π , 3π , . . .
Trigonométrie
Equations trigonométriques du type sin ax = cos bx
Exemple 4 : résoudre l’équation sin 2x = cos 3x :
sin 2x
=
cos 3x
m
sin 2x
=
sin
“π
− 3x
”
2
et on a donc ( k ∈ ZZ ) :
”
“π
− 3x + 2kπ , c’est-à-dire
• 2x =
2
”
1 “π
+ 2kπ
x=
5 2
”
“π
et • 2x +
− 3x = π + 2kπ ,c’est-à-dire
2
“π
”
x = −
+ 2kπ
2
ou encore
π
x = − + 2kπ .
2
Trigonométrie
Equations trigonométriques : Exercices
Résoudre les équations:
√
2
2
1
cos x =
2
sin(2x + 600 ) =
1
2
Trigonométrie
Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle
Soit un triangle rectangle ABC , rectangle en A :
B
β
a
c
α
A
γ
b
C
Désignons par a (respectivement b , c ) la longueur du côté opposé au sommet
A (respectivement B , C ).
a2 = b 2 + c 2 .
β+γ =
π
2
car la somme des angles d’un triangle vaut 1800 .
cos γ = ba et cos β = ca .
Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est le rapport entre
la mesure du côté de l’angle droit adjacent à cet angle ;
la mesure de l’hypoténuse.
Trigonométrie
Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle
B
β
a
c
α
A
γ
b
C
sin γ = ca et sin β = ba .
Le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est le rapport entre
la mesure du côté de l’angle droit opposé à cet angle ;
la mesure de l’hypoténuse.
tan γ = bc et tan β = bc .
La tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est le rapport entre
la mesure du côté de l’angle droit opposé à cet angle ;
la mesure du côté de l’angle droit adjacent à cet angle.
Trigonométrie
Nombres trigonométriques dans les triangles quelconques
Notons les angles par α . β , γ et la longueur des côtés opposés
correspondants par a , b, c
γ
γ
α
α
β
β
La relation aux SINUS.
Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés,
c’est-à-dire,
b
c
a
=
=
·
sin α
sin β
sin γ
Nous obtenons immédiatement les relations suivantes :
a
sin α b
sin β c
sin γ
=
, =
, =
b
sin β c
sin γ a
sin α
Trigonométrie
Nombres trigonométriques dans les triangles quelconques
γ
γ
α
α
β
β
La relation aux COSINUS.
Dans un triangle ABC , le carré d’un des côtés est égal à la somme des carrés
des deux autres côtés diminuée du double du produit de ces côtés par le cosinus
de l’angle qu’ils déterminent, c’est-à-dire,
a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α ,
b 2 = c 2 + a2 − 2ca cos β ,
c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos γ .
Aire d’un triangle quelconque.
L’aire de tout triangle est égale à la moitié du produit de la longueur de deux
côtés par le sinus de l’angle compris entre ces côtés :
1
1
1
A = ab sin γ = bc sin α = ac sin β .
2
2
2
Trigonométrie
Triangles semblables
Définition
Considérons les deux triangles T1 et T2 suivants :
A1
A2
α1
c1
b1
β1
B1
c2
γ1
a1
α2
β2
C1
B2
b2
γ2
a2
C2
A1 , B1 et C1 sont les sommets du triangle T , α1 , β1 et γ1 sont les angles
correspondants.
Notons a1 (respectivement b1 et c1 ) le côté opposé à l’angle α1
(respectivement β1 et γ1 ). Des notations équivalentes sont utilisées pour le
triangle T2 .
Les deux triangles T1 et T2 sont appelés semblables si et seulement si
α1 = α2 , β1 = β2 , γ1 = γ2 ,
et
b1
c1
a1
=
=
.
a2
b2
c2
Trigonométrie
Triangles semblables
Cas de similitude des triangles
Soient T1 et T2 deux triangles.
T1 et T2 sont semblables si et seulement si
ils ont deux angles égaux chacun à chacun, par exemple,
α1 = α2 et β1 = β2 ,
ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels, par exemple,
α1 = α2 et
c1
b1
=
,
b2
c2
ils ont leurs trois côtés proportionnels,
a1
b1
c1
=
=
a2
b2
c2
leurs côtés sont parallèles chacun à chacun,
A1 B1 //A2 B2 et A1 C1 //A2 C2 et B1 C1 //B2 C2 .
leurs côtés sont perpendiculaires chacun à chacun,
A1 B1 ⊥ A2 B2 et A1 C1 ⊥ A2 C2 et B1 C1 ⊥ B2 C2 .
Trigonométrie
Exercices dans les triangles
Exercices : résoudre le triangle rectangle suivant :
On donne :
a = 37 cm
β = 330
Résoudre les triangles dont les données suivent.
a = 203.2 m ,
b = 215.4 m ,
a = 75 m ,
b = 92 m ,
γ = 360 ;
c = 107 m .
Calculer la hauteur d’une tour dressée au bord d’une falaise sachant
qu’ à 100 m, on voit la falaise sous un angle de 43◦ et la tour sous
un angle de 12◦ supplémentaire.
Trigonométrie
Exercices dans les triangles
Exercice : résoudre le triangle rectangle suivant :
On donne :
a = 37 cm
β = 330
Solution :
γ = 900 − 330 = 570
b = 37 cm × sin 330 = 20.165 cm
c = 37 cm × cos 330 = 31.043 cm
Trigonométrie
Exercices dans les triangles
Résoudre les triangles dont les données suivent.
a = 203.2 m ,
b = 215.4 m ,
γ = 360 ;
a = 75 m ,
b = 92 m ,
c = 107 m .
solutions :
c = 129, 87 m
α = 430 280 1600
α = 660 520 2800
β = 570 330 2800
β = 770 070 3200
γ = 780 580 1600