Mathématique

Trigonométrie
Mathématique
Sylvie Jancart
[email protected]
septembre 2015

Trigonométrie
Equations trigonométriques élémentaires
Exemple 1 : résoudre dans IR l’équation sin x=1
2:
L’examen du cercle trigonométrique montre la solution ( k∈ZZ ) :
x=300+k·3600
ou
x= (1800−300) + k·3600=1500+k·3600
ou, exprimé en radians
x=π
6+2kπou x=5π 6+2kπ·
0IX
Y
I'
J'
J
1/2 30°150°

Trigonométrie
Equations trigonométriques élémentaires
Exemple 2 : résoudre l’équation cos x=−0.651 :
L’usage de la calculatrice et l’examen du cercle trigonométrique montre que
(k∈ZZ ) :
x'130,60+k·3600ou x' −130,60+k·3600
c’est-à-dire
x'130,60+k·3600ou x'229,40+k·3600
0
I
X
Y
I'
J'
J
1/2
130,6°
229,4°
-0.651

Trigonométrie
Equations trigonométriques élémentaires
Exemple 3 : résoudre dans IR l’équation tan x
3=−1 :
L’examen du cercle trigonométrique montre que ( k∈ZZ ) :
x
3=−π 4+kπ
d’où
x=−3π
4+3kπ .
BUT : il faut donc trouver le ou les angles en radians qui satisfont à une
équation contentant les nombres trigonométriques de x.
sin ax =b
cos ax =b
tan ax =b
avec −1≤b≤1

Trigonométrie
Equations trigonométriques du type sin ax =cos bx
sin ax =cos bx
ax et bx sont des mesures en radians.
Pour trouver la solution, on transforme, par exemple, le cosinus en sinus :
sin ax =sin “π
2−bx ”
et on a donc
ax =“π
2−bx ”+2kπi.e. x=1 a+b“π 2+2kπ”,k∈ZZ ,
et
ax +“π
2−bx ”=π+2kπi.e. x=1 a−b“π 2+2kπ”,k∈ZZ .
Ceci ne fait que traduire le fait que les sinus de deux angles sont égaux si ces
angles sont égaux ou si leur somme vaut π, 3π, . . .