Probabilités discrètes et Combinatoire - Mathématiques

Probabilités discrètes et Combinatoire
Mathématiques - Cours 1
Sophie B ERNARD
[email protected]
L3 M IAGE - 2016-2017
AUJOURD ’ HUI
Représentation de données
Histogrammes
Probabilités discrètes
Vocabulaire
Formules
Dénombrement
Ensembles finis
Notations
Probabilités discrètes
Propriétés
Indépendance et probabilité conditionnelle
2/26
P LAN
Représentation de données
Histogrammes
Probabilités discrètes
Vocabulaire
Formules
Dénombrement
Ensembles finis
Notations
Probabilités discrètes
Propriétés
Indépendance et probabilité conditionnelle
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R EPRÉSENTATION
Histogrammes
• Effectif : nombre de valeurs dans l’intervalle.
• Fréquence : pourcentage de valeurs dans l’intervalle.
• Densité : proportion de valeurs dans l’intervalle.
= Effectif / Amplitude de l’intervalle.
Exemple
• Lancer de dé à 6 faces : {3, 4, 3, 3, 2, 6, 2, 1, 3, 6}.
• Effectif de 6 ou de l’intervalle [5,5; 6,5] → 2.
• Fréquence de 6 ou de l’intervalle [5,5; 6,5] → 0, 2.
• Densité de l’intervalle [5,5; 6,5] → 2.
• Densité de l’intervalle [4,5; 6,5] → 1.
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H ISTOGRAMME DES VALEURS
Hauteur = Effectif de l’intervalle.
Exemple : {3, 4, 3, 3, 2, 6, 2, 1, 3, 6}.
4
4
3
2
2
1
0
2
1
1
1
|
2
|
3
|
4
|
0
5
|
6
|
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H ISTOGRAMME DES FRÉQUENCES
Hauteur = Effectif / Nombre total de valeurs.
Exemple : {3, 4, 3, 3, 2, 6, 2, 1, 3, 6}.
0, 4
0,4
0,3
0, 2
0,2
0,1
0
0, 2
0, 1
1
0, 1
|
2
|
3
|
4
|
0
5
|
6
|
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H ISTOGRAMME DES DENSITÉS
Hauteur = Effectif / Amplitude de l’intervalle.
Aire = Effectif.
Exemple : {3, 4, 3, 3, 2, 6, 2, 1, 3, 6}.
4
4
3
2
2
1
0
2
1
1
1
|
2
|
3
|
4
|
0
5
|
6
|
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H ISTOGRAMME DES DENSITÉS
Hauteur = Effectif / Amplitude de l’intervalle.
Aire = Effectif.
Exemple : {3, 4, 3, 3, 2, 6, 2, 1, 3, 6}.
4
3
2, 5
2
1, 5
1
1
0
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
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E XEMPLE
50 nombres compris entre 0 et 10 ont été tirés au hasard :
Intervalles
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
Effectif
7
2
6
5
8
3
1
3
8
7
8
6
4
2
0| | | | | | | | | | |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
6
4
2
0| | | | | | | | | | |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
15
10
5
0| | | | | | | | | | |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
6
4
2
0| | | | | | | | | | |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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P LAN
Représentation de données
Histogrammes
Probabilités discrètes
Vocabulaire
Formules
Dénombrement
Ensembles finis
Notations
Probabilités discrètes
Propriétés
Indépendance et probabilité conditionnelle
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VOCABULAIRE
Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable (au
moins en théorie), et qui dans des conditions identiques ne donnent
pas forcément le même résultat : on ne peut le prévoir.
Exemples
• Lancer de dés / nombre de points sur le dé.
• Attendre un bus / heure d’arrivée du bus.
• Récupérer les devoirs d’un groupe d’étudiants / nombre de
devoirs rendus.
• Utiliser un appareil / durée d’utilisation au moment de la
première panne.
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VOCABULAIRE
Dans une expérience aléatoire (Ex. lancer de dé à 6 faces) :
Univers
L’ensemble des résultats possibles.
Ex. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Rq. |Ω| = nombre de résultats possibles.
Événement (aléatoire)
Sous-ensemble de l’univers.
Ex. A = {1, 2, 3} : obtenir 1, 2 ou 3 avec le dé.
Événement réalisé
Le résultat de l’expérience appartient à l’événement.
Ex. Le dé est tombé sur 3 : A est réalisé.
Le dé est tombé sur 5 : A n’est pas réalisé.
Événement élémentaire
L’événement contient exactement un élément.
Ex. A n’est pas élémentaire.
L’événement “faire un 6” ({6}) est élémentaire.
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E XEMPLE
Exemples d’univers
Considérons comme expérience aléatoire deux lancers d’un dé à 6
faces.
• On peut considérer Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Si, par la suite, on ne s’intéresse qu’à la somme des points des
deux dés, on peut aussi noter Ω2 = {2, 3, 4, . . . , 11, 12}.
Remarque
Le choix de l’univers ne changera rien à la probabilité d’un résultat.
Par contre, l’événement associé sera différent, et les calculs peuvent
être plus ou moins simples.
Ex : le résultat “la somme des dés vaut 4” correspond aux
événements :
• Pour Ω1 , on a A1 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}.
• Pour Ω2 , on a A2 = {4}.
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P ROBABILITÉS DISCRÈTES
Equiprobabilité sur un ensemble fini
Une expérience aléatoire est équiprobable si chaque événement
élémentaire a la même probabilité de se réaliser.
Probabilités si équiprobable
Pour une expérience aléatoire équiprobable, si l’univers est Ω, alors :
• La probabilité d’un événement élémentaire est
1
1
=
.
|Ω|
Nombre de cas possibles
• La probabilité d’un événement A est
P(A) =
Nombre de cas favorables
|A|
=
.
|Ω|
Nombre de cas possibles
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E XEMPLE
• On considère encore l’expérience de deux lancers d’un dé à 6
faces.
• On choisit l’univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• L’expérience est alors équiprobable : on suppose le dé non pipé.
• Soit A l’événement correspondant à “la somme des points des
deux lancers soit 4”.
• A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}.
• La probabilité que “la somme des points des deux lancers soit 4”
vaut :
P(A) =
3
1
=
.
36
12
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E XEMPLE
Quelle est la probabilité, lors de deux lancers successifs d’un dé,
“d’obtenir un chiffre plus grand (strictement) que 2, puis un 4 ou 5” ?
a.
1
9
b.
2
9
c.
4
9
d.
5
18
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E XEMPLE
Quelle est la probabilité, lors de deux lancers successifs d’un dé,
“d’obtenir un chiffre plus grand (strictement) que 2, puis un 4 ou 5” ?
1
2
4
5
b.
c.
d.
9
9
9
18
• On reprend l’univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a.
• On note cet événement A, et on énumère A.
• A = {(3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 4), (6, 5)}.
• Donc P(A) =
8
2
|A|
=
= .
|Ω1 |
36
9
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P LAN
Représentation de données
Histogrammes
Probabilités discrètes
Vocabulaire
Formules
Dénombrement
Ensembles finis
Notations
Probabilités discrètes
Propriétés
Indépendance et probabilité conditionnelle
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P RINCIPES EN LIEN AVEC LES ENSEMBLES FINIS
Produit : |A × B| = |A| · |B|.
Union disjointe : Si A ∩ B = ∅, |A ∪ B| = |A| + |B|.
Union : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
A∩B
A
B
Complémentaire : |A| = |Ω| − |A|.
Ω
A
A
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U TILISATION
Se simplifier le calcul !
• Expérience répétée : il est plus simple de compter pour une
répétition, puis d’éléver à la puissance du nombre de répétitions.
• “Au moins” ou “au plus” : il est souvent plus simple de dénombrer
le contraire.
Ex. Sur 10 lancers de pièces, compter le nombre de résultats
possibles où la pièce est tombée au moins une fois sur Pile.
Par le principe du complémentaire, on se ramène à calculer le
nombre de résultats possibles où la pièce n’est jamais tombée
sur Pile, donc tout le temps Face.
• Principe de l’union : il permet de passer du dénombrement d’une
union à une intersection, et inversement.
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N OTATIONS
Factorielle : n! = n · (n − 1) · ... · 1.
Nombre de façons d’ordonner n objets.
n!
.
(n − k )!
Nombre de façons de choisir successivement k objets parmi n.
n
n!
Combinaison :
=
.
k
k ! · (n − k )!
Nombre de façons de choisir un groupe de k objets parmi n.
n
n!
Coefficient multinomial :
=
.
k1 , k2 , . . . , kp
k1 ! · k2 ! · ... · kp !
Nombre de façons de répartir n objets en groupes de k1 , k2 , ..., kp
objets.
Arrangement : Akn =
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E XEMPLE
Tirages
On se donne des sachets contenant n boules, et on effectue k tirages.
Dans un même sachet
(sans remise)
Dans des sachets différents
(avec remise)
Avec ordre
(successifs)
Akn
nk
Sans ordre
(simultanés)
n
k
nk
k!
Anagrammes
• Le nombre d’anagrammes d’un mot de longueur n, en
différenciant les lettres identiques est n!.
• Le nombre d’anagrammes
dece mot sans différencier les lettres
n
, si ce mot est composé de p
k1 , k2 , . . . , kp
lettres différentes, et que la lettre i apparaît ki fois.
identiques est
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P LAN
Représentation de données
Histogrammes
Probabilités discrètes
Vocabulaire
Formules
Dénombrement
Ensembles finis
Notations
Probabilités discrètes
Propriétés
Indépendance et probabilité conditionnelle
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P ROPRIÉTÉS
Probabilité
• P(Ω) = 1.
• P(∅) = 0.
• 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Conséquences des ensembles
• Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B).
• Si A et B sont incompatibles (ie. A ∩ B = ∅), alors
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• P(A) = 1 − P(A).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
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E XEMPLE
• La probabilité d’obtenir un chiffre compris entre 1 et 6 sur un
lancer de dé vaut 1.
• La probabilité d’obtenir un 2 ou un 3 est plus petite que celle
d’obtenir un chiffre plus petit que 4.
• Vu que la probabilité d’obtenir un 1 vaut 16 , la probabilité d’obtenir
un chiffre différent de A est 65 .
• Etant donné que la probabilité d’obtenir sur deux lancers une
1
somme de 4 vaut 12
:
• Obtenir une somme de 4 ou un 6 au premier lancer (les 2
évéments sont incompatibles) vaut :
1
12
+
1
6
= 14 .
• Obtenir une somme de 4 ou un 1 au premier lancer vaut :
1
12
+
1
6
−
1
36
= 29 .
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I NDÉPENDANCE
Définition
Deux événements A et B sont dits indépendants si
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Exemple
Lors de lancers successifs d’un même dé,
• “Obtenir un 1 au premier lancer” (A) et “obtenir un 6 au deuxième
lancer” (B) sont des événements indépendants :
A = {(1, 1), ..., (1, 6)}, B = {(1, 6), ..., (6, 6)}, A ∩ B = {(1, 6)}.
6
6
1
P(A) · P(B) = 36
· 36
= 36
= P(A ∩ B).
• “Obtenir un 1 au premier lancer” (A) et “obtenir une somme de 4”
(C) ne sont pas indépendants :
A = {(1, 1), ..., (1, 6)}, C = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, A ∩ C = {(1, 3)}.
6
3
1
1
P(A) · P(C) = 36
· 36
= 72
6= P(A ∩ C) = 36
.
25/26
P ROBABILITÉ CONDITIONNELLE
Définition
Pour A et B deux événements tels que P(B) 6= 0, la probabilité
conditionnelle de A sachant B est :
P(A | B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Probabilités composées
Pour A et B deux événements tels que P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0, alors :
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).
Propriété
Si A et B sont deux événements indépendants avec P(B) 6= 0, alors :
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(A) · P(B)
=
= P(A).
P(B)
P(B)
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