Nombre d`automorphismes diagonalisables sur un corps fini

Fq
EGL(E)
n≥1
GLn(Fq)Fq
X
(n1,...,nq−1)
t.q. n1+···+nq−1=n
|GLn(Fq)|
|GLn1(Fq)|. . . |GLnq−1(Fq)|.
A∈Mn(Fq)
Aq−A= 0 A A =P DP −1D
DFqDq=D Aq=A
Aq=A A Xq−X
A Xq−X A
A∈GLn(Fq)A Aq−1= Id
F×
qζ
q−1
Xq−1−1=(X−1)(X−ζ). . . (X−ζq−2)
(A−Id)(A−ζId) . . . (A−ζq−2Id) = 0 X−ζi
E=⊕EiEi= ker(A−ζiId) i= 0, . . . , q −2
i1q−1
ni= dim(Ei)n1+· · · +nq−1=n q −1
E A
Eiζi
(n1, . . . , nq−1)
N= (n1, . . . , nq−1)ZNq−1
ZNG= GLn(Fq)

ZN(Ei) (g(Ei)) (Ei) (E0
i)
(ei,j ) (ei,j )EiE0
i
g ei,j e0
i,j g.(Ei)) = (E0 i)G
ZN(Ei)
EiGLni(Fq)ZN
|GLn(Fq)|
|GLn1(Fq)|. . . |GLnq−1(Fq)|
GLn(Fq)ZN