Thème 6 : Racines carrées-Le point sur les nombres

Thème 6 : Racines carrées-Le point sur les nombres
I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d’un nombre positif
Exemples :
• La racine carrée de 49 est 7, car 7
2
= 49 et 7 est positif. On note 749 =.
• La racine carrée de 1 est 1, car 1
2
= 1 et 1 est positif. On note 11 = .
• La racine carrée de 17,64 est4,2, car 4,2
2
= 17,64 et 4,2 est positif. On note 2,464,17 = .
Remarques :
1- la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un nombre est
toujours positif !
2- La racine carrée d’un nombre est un nombre positif :c’est une distance !
Utiliser la définition de la racine carrée pour calculer :
( )
2
2
2
3 10 3 10 10 30
17
12 12 60
2 7 2 2 14
2 7 2 7 2 7
3
2 2 4 28
3 3
17 17 17
5 5 5
7 7 7
7 7 7
× × = × = × =
= =
= × =
×
×
×
×
×
= × = × =
= × = × × = × =
a est un nombre
positif
La racine carrée de a notée
a
est le nombre positif tel que
(
)
2
a a a a
× = =
INFO
a a a
× =
Pour
s’entraîner :
Exercices conseillés
:
• sans calculatrice N° 6 p 44 N° 22 N° 23 p 50
• pour la calculatrice N° 7 p 44

II – Connaître les racines carrées correspondant aux premiers nombres entiers :
III – PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES
1 – Attention :
16 9
64
5
+ = =
− = =
+ ≈ =
; 16+9 ;Conclusion:
100 ; 100-64 ; Conclusion:
11 ; 11+5 ; Conclusion:.............. ...............
ATTENTION :
a b a b a b a b
+ ≠ + − ≠ −
a et b entiers positifs et a plus grand que b
2 Produit de deux racines carrées (Démonstration faite en classe)
Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a :
baba ×=×
Exemples : 636218218213737 ==×=×=×=×
babaetbaba −≠−+≠+
3- Quotient de deux racines carrées
Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a :
b
a
b
a=
Exemples : 416
2
32
2
32
6
7
42
7
42 =====
Application : Comment écrire autrement une somme avec des radicaux ?
a),
2 2
4 5 4 5 2 5 6 5
5 3 3 5 3 3 4
5 2 2 2 5 2 7
3
2
2
8 5 8 8+
−−−
+ + = + = +
= =− − − −
1 1 ; 4 2 ; 9 3 ; 16 4 ; 25 5 ; 36 6 ; 49 7 ; 64 8 ; 81 9
100 10 ; 121 11 ; 144 12 ; 169 13
= = = = = = = = =
= = = =

b ) Mettre sous la forme
a b
b entier positif le plus petit possible :
48 on divise 48 par 2 ,on obtient 24 ;on divise 48 pa 16r 3 on obtient 16 et
48 3 3
54 6 6
72 2 2
4
16 4
9 3
36 6
= × =
= × =
= × =
=
4 16
4
20 80
5 5
516
5
5 5
6 5
2 4
+
= × + ×
= × + ×
= +
=
c) Racines carrées et développements :
(
)
2
2
3 5
3² 5
9 5 On réduit
= 14
On reconnaît (a+ b)² et on applique la f
ormule avec a= 3 et b= 5
2 3 5 On n'oublie pas 2ab le double produit !!
6
6
+
5
5
A
A
A
A
× ×
= +
= + +
= + +
(
)
(
)
2 2
2 3 1 2 3 1
B C
= + = −
Démontrer que B + C = 26
(
)
(
)
2 2
2 3 1 2 3 1 On applique (a+b)² et (a-b)²
12+ 1 1 12 - 1 2 2 3 2 2 3 1
4 13+ 13 -
13+ 13- 26
3 4 3
4 3 4 3
B C
B C
B C
B C
× × ×
= + = −
= × + = +
= =
+ = + =
9
9
2 45
2 5
2 5
3
2 5
6 5
= × ×
= × ×
= × ×
=
INFO
Se rappeler
II
;
les racine
s
carrées correspondant à
un entier
Pour réviser
le contrôle :
Exercices conseillés
:
• Calculs : N° 34-36-38-39-41 p 51
• Aires-Périmètres N° 60 p53 N° 101p56
• Brevet : N° 97-98-99-100 p 56
• Un auto-test avant le petit contrôle

III – Fiche bilan pour réviser
1. Connaître la définition et l’appliquer :
• Définition :
• Exemples : Calcule :
(
)
=
2
5 …
; =× 77 … ; =64 …
; =
2
9 …
•
(
)
2
25 =
2. Connaître les premiers carrés parfaits
a
0 1 4 9 16 100
a 11 12
3. Calculer la valeur numérique d’une expression littérale
Calculer 135
2
+−= xxE lorsque 3=x puis 7−=x
4. Calculer et écrire le résultat sous la forme
ou , sont des entiers et est un
entier positif
a b c a b a c b+
14243 ++
18 – 8 + 2
5. Développer et réduire des écritures
2724 + =
6 × (3 – 6) =
(
)
2
25 + =
(
)
2
532 − =
12 + 75 + 4 300
27 81 8 3 108
+−+

Propriété :
Exemples :
1°) Soit à résoudre l’équation x ² = 9.
x ² = 9 signifie que le carré de x est 9
Or, les deux nombres dont le carré est 9 sont =93 et 9− = - 3.
Conclusion : Les solutions de l’équation x ² = 9 sont 3 et - 3.
2°) L’équation x ² = - 7 n’a pas de solution ( en effet , x ² est positif )
QCM :
Il peut y avoir plusieurs réponses possibles ! Demande les réponses en classe !
R1 R2 R3 R4
Si a > 0 , alors l’équation x ² = a admet deux solutions : a et a− .
L’équation x ² = 0, admet une seule solution : 0
Si a < 0, alors l’équation x ² = a n’admet pas de solution