Thème 6 : Racines carrées-Le point sur les nombres I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d’un nombre positif a est un nombre positif La racine carrée de a notée a est le nombre positif tel que a× a = ( a) Exemples : • La racine carrée de 49 est 7, car 72 = 49 et 7 est positif. On note 49 = 7 . • La racine carrée de 1 est 1, car 12 = 1 et 1 est positif. On note 1 = 1 . • La racine carrée de 17,64 est4,2, car 4,22 = 17,64 et 4,2 est positif. On note 2 =a 17,64 = 4,2 . Remarques : 1- la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un nombre est toujours positif ! 2- La racine carrée d’un nombre est un nombre positif :c’est une distance ! Utiliser la définition de la racine carrée pour calculer : 3 × 10 × 3 = 10 × 3 × 3 = 10 × 3 = 30 2 17 = 17 × 17 12 5 × 5 a× a =a = 17 = 12 × 5 = 60 2 2 7 = 2 × 7 × 7 = 2 × 7 = 14 (2 7 ) 2 = 2 7 × 2 7 = 2 × 2 × 7 × 7 = 4 × 7 = 28 Pour s’entraîner : INFO Exercices conseillés : • sans calculatrice N° 6 p 44 N° 22 N° 23 p 50 • pour la calculatrice N° 7 p 44 II – Connaître les racines carrées correspondant aux premiers nombres entiers : 1 = 1 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; 36 = 6 100 = 10 ; 49 = 7 ; 64 = 8 ; 81 = 9 ; 121 = 11 ; 144 = 12 ; 169 = 13 III – PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES 1 – Attention : 16 + 9 = ; 16 + 9 = 100 − 64 = ; 100 - 64 = 11 + 5 ≈.............. ; ; Conclusion: 11+ 5 =............... ; Conclusion: a + b ≠ a+b ATTENTION : ;Conclusion: a − b ≠ a −b a et b entiers positifs et a plus grand que b 2 Produit de deux racines carrées (Démonstration faite en classe) Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a : Exemples : 7 × 3 = 7 × 3 = 21 a + b ≠ a+b et a × b = a×b 18 × 2 = 18 × 2 = 36 = 6 a − b ≠ a−b 3- Quotient de deux racines carrées Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a : Exemples : 42 7 = 42 = 6 7 32 2 = a a = b b 32 = 16 = 4 2 Application : Comment écrire autrement une somme avec des radicaux ? a), 4 5 +8+ 2 5 = 4 5 + 2 5 +8 = 6 5 +8 5 3 − 2 2 − 3 −5 2 = 5 3 − 3 − 2 2 −5 2 = 4 3 −7 2 b) Mettre sous la forme a b b entier positif le plus petit possible : 48 on divise 48 par 2 ,on obtient 24 ;on divise 48 par 3 on obtient 16 et 16 = 4 48 = 16 × 3 = 4 3 Se rappeler II ;les racines carrées correspondant à un entier 54 = 9 × 6 = 3 6 72 = 36 × 2 = 6 2 INFO 20 + 80 2 45 = 4 × 5 + 16 × 5 = 2× 9×5 = 4 × 5 + 16 × 5 = 2× 9 × 5 =2 5+4 5 = 2 × 3× 5 =6 5 =6 5 c) Racines carrées et développements : ( ) 2 A = 3 + 5 On reconnaît (a+ b)² et on applique la formule avec a= 3 et b= 5 A = 3² + 2 × 3 × 5 + 5 A = 9+6 5 +5 A= 14 +6 5 ( ) B = 2 3 +1 2 On n'oublie pas 2ab le double produit !! On réduit 2 ( ) ( ) C = 2 3 −1 2 Démontrer que B + C = 26 ( ) B = 2 3 +1 2 2 C = 2 3 − 1 On applique (a+b)² et (a-b)² B = 12+2 × 2 3 ×1 + 1 C = 12 - 2 × 2 3 × 1 + 1 B = 13+4 3 C = 13 - 4 3 B + C = 13+ 4 3 + 13-4 3 = 26 Pour réviser le contrôle : Exercices conseillés : • Calculs : N° 34-36-38-39-41 p 51 • Aires-Périmètres N° 60 p53 N° 101p56 • Brevet : N° 97-98-99-100 p 56 • Un auto-test avant le petit contrôle III – Fiche bilan pour réviser 1. Connaître la définition et l’appliquer : ( 5) 2 • Définition : • Exemples : Calcule : ; 7× 7= … =… • (5 2 ) 2 ; 64 = … ; 92 = … = 2. Connaître les premiers carrés parfaits a 0 1 4 9 16 100 11 a 3. Calculer la valeur numérique d’une expression littérale Calculer E = 5 x 2 − 3 x + 1 lorsque x = 3 puis x = − 7 4. Calculer et écrire le résultat sous la forme a b ou c + a b a, c sont des entiers et b est un entier positif 3 + 4 2 + 14 18 – 8 + 2 5. Développer et réduire des écritures 4 2 +7 2 = 6 × (3 – 6) = ( 5 + 2) = (2 3 − 5) = 2 2 12 + 75 + 4 300 27 + 81 − 8 3 + 108 12 Si a > 0 , alors l’équation x ² = a admet deux solutions : a et L’équation x ² = 0, admet une seule solution : 0 Si a < 0, alors l’équation x ² = a n’admet pas de solution − a . Propriété : Exemples : 1°) Soit à résoudre l’équation x ² = 9. x ² = 9 signifie que le carré de x est 9 Or, les deux nombres dont le carré est 9 sont 9 = 3 et − 9 = - 3. Conclusion : Les solutions de l’équation x ² = 9 sont 3 et - 3. 2°) L’équation x ² = - 7 n’a pas de solution ( en effet , x ² est positif ) QCM : Il peut y avoir plusieurs réponses possibles ! Demande les réponses en classe ! R1 R2 R3 R4 1 Le nombre 11 est égal à 2 11² 11 121 11 25 7 5 12 10,39 6 3 2 9 + 16 est égal à 3 108 est égal à 3 6 4 27 4 6 × 12 est égal à 6 12 72 6 2 3 8 5 25 est égal à 169 5 13 5 13 25 169 25 169 7 3 −2 3 + 5 11 − 4 3 3 3 9 et 0 8 et -8 9 et -9 6 7 2 x ² − 4 x + 5 pour x = 3 est égal à L’équation x ² = 81 a pour solutions … 3 5 + 20 est égal à 9 (2 + 3) 10 11 12 5 3 50 est égal à 18 8 ( 2 est égal à L’équation x ² + 15 = 11 a pour solutions … 7+ 5 )( ) 7 − 5 est égal à 32 9 et − 9 2 2 5 2 3 3 25 3 100 11,18 5 5 7+4 3 7 13,91 11 + 2 3 4 et -4 2 et -2 Aucun nombre 11 et − 11 2 7 −2 5 2 -2 2 + 2 35 V- Le point sur les nombres : Rationnels - Irrationnels – Décimal – Entier Comment reconnaître ? INFO Les nombres Description Entiers naturels Tous les nombres entiers positifs Exemples 0 ; 18 ; 2 010 15 =5 3 ; 0 ; 8 ; - 2005 ; 2 010 36 = 6 ; Entiers relatifs Tous les nombres entiers positifs et négatifs Décimaux Tous les nombres qui ont une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule Tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction . Rationnels L’écriture décimale peut être finie ou infinie mais nécessairement périodique -5 ; - 3 17,9 ; 2 = 0, 285 714 285 714 285 714............ 7 Ces deux nombres ont une période INFO 22 = 3,142857 142857 142857.......... 7 789 = 6,312 125 6= Irrationnels Tous les nombres qui ne sont pas rationnels ;dans un irrationnel , le nombre de décimales est infini et il n’y a pas de période 41 3 = 0, 41 ; - 0,03 ; − = −0, 6 100 5 Ce nombre a 3 chiffres après la virgule 6 ; 6 est donc rationnel !! 1 π ; 2 ; Place dans le diagramme ci-dessous les nombres suivants : 28 7 2 1 100 ; ; 0, 0087; ; ;π ; 2 63 5 32 3 5 3 INFO Suis l’exemple : 28 28 4× 7 4 2 = = = = et 63 9× 7 9 3 63 ce nombre a une écriture décimale illimitée périodique 0,66666666666……. C’est un rationnel ! Nombres décimaux Nombres rationnels -4 5 1 8 18, 36 5 2 Nombres entiers Nombres réels