Séries de Fourier

Chapitre 1
Séries de Fourier
Exercice 1.1. ENSEA PC 2007, ODT page 29
Montrer qu’il existe une suite ande nombres réels telle que pour tout nombre
complexe zvérifiant |z|= 1 on ait z
2z2+ 5z+ 2 =a0+
+∞
X
n=1
an(zn+z−n).
En déduire le développement en série de Fourier de la fonction f:θ7→ 3
5 + 4 cos θ.
Solution On a 2z2+ 5z+ 2 = 2z+ 2z+1
2.
Déterminons deux constantes Aet Btelles que
∀z∈C,z
2z2+ 5z+ 2 =A
z+1
2
+B
z+ 2.
Comme A
z+1
2
+B
z+ 2 =(A+B)z+1
2B+ 2A
2z2+ 5z+ 2 il suffit que (A, B)soit solution
du système :
(A+B= 1
2A+1
2B= 0.
On en déduit aisément A=−1
3et B=3 3. On a alors si |z|= 1 :
z
2z2+ 5z+ 2 =−1
3
1
z1 + 1
2z+4
3
1
21 + z
2.

2 1 •Séries de Fourier
D’où puisque 1
2|z|<1et |z|
2<1,
z
2z2+ 5z+ 2 =−1
3 +∞
X
n=0
(−2)−nz−n−1!+2
3 +∞
X
n=0 −1
2n
zn!
=2
3−1 3
+∞
X
n=1 −1
2n−1
z−n−1
3
+∞
X
n=1 −1
2n−1
zn
=2
3−1 3
+∞
X
n=1 −1
2n−1
(zn+z−n)
=2
3+2 3
+∞
X
n=1 −1
2n
(zn+z−n)
Soit θun nombre réel et z=eiθ. On a |z|= 1 et
z
2z2+ 5z+ 2 =1 2z+ 5 + 2z−1=1
2eiθ + 5 + 2e−iθ =1
5 + 4 cos θ.
On a aussi zn+z−n=eniθ +e−niθ = 2 cos(nθ).
On en déduit que pour tout θ∈R,
f(θ) = 1
5 + 4 cos θ=2 3+4 3
+∞
X
n=1 −1
2n
cos(nθ).(1)
Nous allons démontrer que la relation (1) est précisément le développement en série
de Fourier de f.
Commençons par déterminer les coefficients de Fourier f.
Comme fest paire les coefficients bp(f)sont nuls pour tout p∈N.
Pour calculer les coefficients ap(f)nous utilisons la relation (1) qui montre que fest
la somme d’une série normalement convergente de fonctions continues.
Pour tout n∈N∗, soit vnla fonction définie sur Rpar vn(θ) = 4
3−1 2ncos(nθ) cos(pθ)
est continue sur Ret on a kvnk∞=4
3·2n.
La série de fonction Pvnest donc normalement convergente sur R. On peut donc
intégrer terme à terme sur le segment [0,2π]:
ap(f) = 1
πZ2π
0
f(θ) cos(pθ)dθ
=2
3
1
πZ2π
0
cos(pθ)dθ +4
3
1
π
+∞
X
n=1 Z2π
0−1
2n
cos(nθ) cos(pθ)dθ

1•Séries de Fourier 3
Or on sait que
Z2π
0
cos(nθ) cos(pθ)dθ =
0si n6=p,
2πsi n=p= 0,
πsi n=p6= 0.
On en déduit que a0(f) = 4
3et ap(f) = 4 3−1 2nsi p>1.
Comme la fonction fest 2π-périodique et de classe C1sur R, sa série de Fourier
est normalement convergente sur Ret sa somme est égale à f(c’est le théorème de
convergence normale). La relation (1) est donc bien le développement en série de
Fourier de f.
Exercice 1.2. CCP PSI 2008, ODT page 27
Etudier la série de Fourier de la fonction fdéfinie par f(x) = 1
λ2−2λcos x+ 1
où λest un nombre réel tel que −1< λ < 1.
Solution Posons uλ(x) = λ2−2λcos x+ 1.
Pour tout λ∈Ret tout x∈Ron a uλ(x) = (λ−cos x)2+(1−cos2x)>0. Comme
(λ−cos x)2>0et 1−cos2x>0,uλ(x)est nul si et seulement si 1−cos2x= 0
et λ−cos x= 0, c’est à dire si et seulement si λ= cos x=±1.
Il en résulte que uλ(x)>0lorsque λ∈]−1,1[.
La fonction fest donc définie sur R.
Elle est 2π-périodique et de classe C∞sur R. La série de Fourier de fest donc
normalement convergente sur Ret sa somme est égale à f. Comme fest une fonction
paire, les coefficients de Fourier trigonométriques bn(f)sont nuls pour tout n∈N.
Calculons les coefficients de Fourier an(f) = 2
πZπ
0
f(t) cos(nx)dx.
Pour n= 0 on calcule l’intégrale I=Zπ
0
dx
λ2−2λcos x+ 1 à l’aide du changement
de variable t= tan x
2. De façon précise l’application x7→ tan x 2est un difféomor-
phisme de l’intervalle [0, π[sur l’intervalle [0,+∞]. On a alors dt =1
2(1 + t2)dx et

4 1 •Séries de Fourier
cos x=1−t2
1 + t2, d’où
I=Z+∞
0
2dt
(1 + t2)λ2−2λ1−t2
1 + t2+ 1
=Z+∞
0
2dt
(λ2+ 1)(1 + t2)−2λ(1 −t2)
=Z+∞
0
2dt
(λ+ 1)2t2+ (λ−1)2
=2
(λ+ 1)2Z+∞
0
dt
t2+a2,avec a=1−λ
1 + λ.
Or on a Z+∞
0
dt
t2+a2=1
aArctan t a+∞
0
=π
2a.
On en déduit que I=π
(λ+ 1)21 + λ
1−λ=π
1−λ2et enfin : a0(f) = 2 1−λ2.
Calculons maintenant a1(f). On a (1 + λ2)f(x)−2λf(x) cos x= 1. Il en résulte
que (1 + λ2)a0(f)−2λa1(f) = 2 et on a donc lorsque λ6= 0,a1(f) = 2λ
1−λ2.
Pour λ= 0 on a f(x) = 1 et donc c1(f) = 0. On a donc c1(f) = 2λ
1−λ2pour tout
λ∈]−1,1[.
Nous allons maintenant établir, dans le cas où λ6= 0, une relation de récurrence
linéaire entre les coefficients an(f). Pour cela nous partons des relations
cos(n+2)x+cos(nx) = 2 cos (n+ 2)x+nx
2cos (n+ 2)x−nx 2= 2 cos(n+1)xcos x
et (1 + λ2)f(x)−2λcos xf(x) = 1.
On en déduit que (1+λ2)f(x) cos(n+1)x−λf(x)(cos(n+2)x+cos(nx)) = cos(n+1)x
puis par intégration que :
(1 + λ2)an+1(f)−λ(an(f) + an+2(f)) = 0.
C’est une relation de récurrence linéaire du second ordre dont l’équation caractéris-
tique λr2−(1 + λ2)r+λ= 0 admet deux racines réelles : r1=λet r2=1
λ.
Il en résulte qu’il existe deux constantes réelles Aet Btelles que an(f) = Aλn+B1
λn
pour tout n∈N. Les constantes Aet Bsont déterminées par les conditions initiales
a0(f) = A+B=2
1−λ2et a1(f) = Aλ +B1
λ=2λ
1−λ2.
On en déduit aisément A=2
1−λ2et B= 0 d’où : ∀n∈N, an(f) = 2λn 1−λ2.

1•Séries de Fourier 5
Cette dernière égalité est encore vérifiée lorsque λ= 0 puisque fest la fonction
constante égale à 1.
Exercice 1.3. Centrale-Supélec PC 2007, ODT page 11
Soit fla fonction définie sur [−π, π]par f(x) = π2
12 −x2 4.
1) Vérifier que ∀x∈[−π, π], f(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n+1 cos(nx)
n2sans, puis avec
l’aide de Maple.
2) Montrer que la fonction gdéfinie par g(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n+1 cos(nx)
n2(n2+ 1) est de
classe C2sur [−π, π]et tracer son graphe à l’aide de Maple.
3) Trouver une équation différentielle vérifiée par get faisant intervenir f. En
déduire g.
4) Comment calculer +∞
X
n=1
1
n2et +∞
X
n=1
1
n2+ 1 à l’aide des questions précédentes ?
Solution
1) Comme f(−π) = f(π), il existe une fonction 2π-périodique dont la res-
triction à l’intervalle [−π, π]est égale à f. On remarque que la fonction g
est paire, de classe C1par morceaux et continue sur R. Sa série de Fourier
est donc normalement convergente sur Ret sa somme est égale à g. On a
a0(g) = 2
πZπ
0π2
12 −x2 4dx = 0 et on obtient pour n>1, à l’aide de deux
intégrations par parties successives,
an(g) = 2
πZπ
0π2
12 −x2 4cos(nx)dx
=2
π(π2 12 −x2 4sin(nx) nπ
0
+1
2nZπ
0
xsin(nx)dx)
=2
π
1
2nZπ
0
xsin(nx)dx
=1
nπ −xcos(nx) nπ
0
+1
nZπ
0
cos(nx)dx
=(−1)n+1
n2.
Le théorème de convergence normale montre alors que :