Catégories dérivées et géométrie algébriques

CAT´ EGORIES D´ ERIV´ EES ET G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE
RAPHA¨ EL ROUQUIER
Trois expos´es `a la semaine «G´eom´etrie alg´ebrique complexe »au CIRM, Luminy, d´ecembre 2003
1. Introduction
On ´etudie dans un premier temps les propri´et´es internes `a la cat´egorie d´eriv´ee d’une vari´et´e
(et ses variantes). On suit pour l’essentiel des id´ees de Thomason. Le premier chapitre concerne
le probl`eme d’extension de fibr´es vectoriels `a partir d’un ouvert au niveau des cat´egories de
complexes parfaits et des applications en K-th´eorie. Ensuite, on explique comment caract´eriser
les sous-cat´egories correspondant aux objets de support contenu dans un ferm´e donn´e et en
d´eduire une reconstruction de la vari´et´e (vue comme espace annel´e) `a partir d’une structure
cat´egorique. Notre approche pour ces deux parties est de commencer par des r´esultats analogues
pour les cat´egories ab´eliennes de faisceaux (dans la lign´ee de Gabriel). Nous pr´esentons ensuite
la d´emarche parall`ele dans le cas triangul´e, avec les difficult´es suppl´ementaires qui surgissent.
Ces r´esultats permettent de d´eduire facilement le th´eor`eme de Bondal et Orlov qui affirme
qu’une vari´et´e projective lisse `a fibr´e canonique ample ou anti-ample est d´etermin´ee par sa
cat´egorie d´eriv´ee.
Dans la derni`ere partie, nous abordons la possibilit´e d’´equivalences entre cat´egories d´eriv´ees
de vari´et´es projectives lisses non isomorphes. Nous consid´erons aussi le cas plus g´en´eral de
foncteurs pleinement fid`eles, ce qui nous am`ene `a ´evoquer les d´ecompositions semi-orthogonales
et les suites exceptionnelles. Cette partie est dans une large mesure consacr´ee `a des conjectures,
le th`eme principal ´etant le lien avec le programme minimal de Mori.
On appelle vari´et´e un sch´ema s´epar´e de type fini sur un corps k. Soit Xune vari´et´e. On note
X-coh (resp. X-qcoh) la cat´egorie des faisceaux coh´erents (resp. quasi-coh´erents) sur X.
Tous les foncteurs entre cat´egories triangul´ees consid´er´es seront implicitement suppos´es tri-
angul´es.
On note Z(C) le centre d’une cat´egorie C(=endomorphismes du foncteur identit´e).
Pour Run anneau, on note R-mod la cat´egorie des R-modules de type fini.
2. Localisation
2.1. Cas ab´elien. Soit Xune vari´et´e. Etant donn´e un ferm´e Zde X, on note X-cohZla sous-
cat´egorie pleine de X-coh des faisceaux coh´erents dont le support est contenu dans Z. C’est
une sous-cat´egorie de Serre de X-coh.
On rappelle qu’une sous-cat´egorie pleine Id’une cat´egorie ab´elienne Aest une sous-cat´egorie
de Serre si pour toute suite exacte 0 →F→G→H→0 de A, alors F, H ∈ I si et seulement
si G∈ I. On dispose alors d’une cat´egorie ab´elienne quotient A/Iet d’un foncteur A → A/I
de noyau Iet solution du probl`eme universel de passage au quotient (pour les cat´egories
Date: 16 janvier 2004.
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ab´eliennes). On dit alors qu’on a une suite exacte de cat´egories ab´eliennes 0 → I → A →
A/I → 0.
Soit j:U=X−Z→Xl’immersion ouverte.
Proposition 2.1. Le foncteur j∗:X-coh →U-coh induit une ´equivalence X-coh /X-cohZ
∼
→
U-coh,i.e., on a une suite exacte de cat´egories ab´eliennes
0→X-cohZ→X-coh →U-coh →0.
D´emonstration. Dans le cas des faisceaux quasi-coh´erents, on dispose du foncteur j∗adjoint `a
droite du foncteur j∗. Le morphisme canonique j∗j∗
∼
→1U-qcoh est un isomorphisme et le noyau
de j∗est X-qcohZ. On d´eduit du lemme 2.2 l’existence d’une suite exacte
0→X-qcohZ→X-qcoh →U-qcoh →0.
Nous allons maintenant d´eduire la proposition de la caract´erisation des faisceaux coh´erents
comme les objets de pr´esentation finie de la cat´egorie des faisceaux quasi-coh´erents. Le lemme
2.3 montre que le foncteur canonique X-coh /X-cohZ→U-coh est pleinement fid`ele. Il reste `a
montrer que le foncteur j∗:X-coh →U-coh est essentiellement surjectif. Soit Gun faisceau
coh´erent sur Uet F=j∗G. On a j∗F'G. Le faisceau quasi-coh´erent Fest r´eunion croissante
(limite inductive filtrante) de ses sous-faisceaux coh´erents, F=SEcoh´erent ⊂FE. On en d´eduit
que j∗F=SEj∗E. Puisque j∗Fest coh´erent et qu’il est r´eunion croissante d’une famille
de sous-faisceaux, un des sous-faisceaux j∗Ede la famille est ´egal `a j∗F(la limite inductive
filtrante se stabilise apr`es un nombre fini de termes). Donc, j∗F=j∗E'Gpour un sous-
faisceau coh´erent Ede F.
Lemme 2.2. Soit F:A → B un foncteur exact entre cat´egories ab´eliennes. On suppose
que Fadmet un adjoint `a droite Get que Gest pleinement fid`ele (i.e.,F G can −−→ 1Best un
isomorphisme).
Alors, ker Fest une sous-cat´egorie de Serre de Aet on a une suite exacte
0→ker F→A→B→0.
Lemme 2.3. Soit Aune cat´egorie ab´elienne, A0une sous-cat´egorie ab´elienne pleine de Aet
Iune sous-cat´egorie de Serre de A. On suppose que pour M∈ A0et N∈ I un sous-objet ou
un quotient de M, alors N∈ A0.
Alors, le foncteur canonique A0/(I ∩ A0)→ A/Iest pleinement fid`ele.
2.2. Cas triangul´e.
2.2.1. Commen¸cons par ´enoncer quelques propri´et´es des cat´egories d´eriv´ees de faisceaux et
comment en d´eduire la construction de foncteurs d´eriv´es `a droite.
Rappelons que le foncteur canonique D(X-coh) →D(X-qcoh) est pleinement fid`ele, i.e.,
D(X-coh) est ´equivalente `a la sous-cat´egorie pleine de D(X-qcoh) des complexes dont les
faisceaux de cohomologie sont coh´erents. On identifiera souvent ces deux cat´egories.
Soit X-inj la cat´egorie des faisceaux quasi-coh´erents injectifs et K(X-inj) la cat´egorie ho-
motopique des complexes d’objets de X-inj. Consid´erons le foncteur canonique K(X-qcoh) →
D(X-qcoh). Ce foncteur admet un adjoint `a droite ρ(“r´esolution homotopiquement injective”).
Soit K(X-qcoh)hi son image essentielle (complexes homotopiquement injectifs). Le foncteur ρ
est pleinement fid`ele, le foncteur canonique K(X-qcoh)hi ∼ →D(X-qcoh) est une ´equivalence,

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d’inverse ρ. L’intersection de K(X-qcoh)hi avec D+(X-qcoh) est K+(X-inj), i.e.,ρse restreint
en une ´equivalence D+(X-qcoh) ∼ →K+(X-inj) : on retrouve les r´esolutions injectives classiques.
Voyons maintenant comment d´eriver un foncteur exact `a gauche F:X-qcoh → A, o`u Aest
une cat´egorie ab´elienne. On ´etend Fen un foncteur K(F) : K(X-qcoh) →K(A). On restreint
ce foncteur `a K(X-qcoh)hi. On obtient alors le foncteur d´eriv´e `a droite
RF :D(X-qcoh) ρ −→
∼K(X-qcoh)hi K(F)
−−−→ K(A)can −−→ D(A).
Le foncteur RF est triangul´e, en particulier envoie triangle distingu´e sur triangle distingu´e,
alors que Fn’envoie `a priori pas suite exacte sur suite exacte. L’exactitude `a gauche de F
montre que H0(RF (M)) ∼ →F(M) pour M∈X-qcoh.
2.2.2. Le foncteur j∗se d´erive en un foncteur Rj∗:D(U-qcoh) →D(X-qcoh). C’est un adjoint
`a droite du foncteur j∗:D(X-qcoh) →D(U-qcoh). Le noyau du foncteur j∗est DZ(X-qcoh),
la sous-cat´egorie pleine de D(X-qcoh) des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont
support´es par Z. C’est une sous-cat´egorie ´epaisse.
On rappelle qu’une sous-cat´egorie pleine Id’une cat´egorie triangul´ee Test ´epaisse si les
conditions suivantes sont remplies
– pour F→G→H un triangle distingu´e de Tdont deux des termes sont dans I, alors
le troisi`eme terme est dans I
– pour F, G ∈ T tels que F⊕G∈ I, alors F, G ∈ I.
On dispose alors d’une cat´egorie triangul´ee quotient T/Iet d’un foncteur T → T /Ide noyau
I, solution du probl`eme universel de quotient (parmi les cat´egories triangul´ees). On dira qu’on
a une suite exacte de cat´egories triangul´ees 0 → I → T → T /I → 0.
Le lemme 2.4 fournit une suite exacte de cat´egories triangul´ees
0→DZ(X-qcoh) →D(X-qcoh) →D(U-qcoh) →0
Lemme 2.4. Soit F:T → T 0un foncteur entre cat´egories triangul´ees. On suppose que F
admet un adjoint `a droite Get que Gest pleinement fid`ele.
Alors, ker Fest une sous-cat´egorie ´epaisse de Tet on a une suite exacte
0→ker F→ T → T 0→0.
2.2.3. Passons maintenant aux choses s´erieuses : on rappelle la notion d’objet parfait et les
premi`eres propri´et´es.
On dit qu’un objet de D(X-qcoh) est parfait s’il est localement (quasi)-isomorphe `a un
complexe born´e de fibr´es vectoriels. On note X-parf la sous-cat´egorie pleine de D(X-qcoh) des
objets parfaits. C’est une sous-cat´egorie ´epaisse de Db(X-coh). Si Xest quasi-projective, alors
un complexe est parfait si et seulement si il est quasi-isomorphe `a un complexe born´e de fibr´es
vectoriels. La vari´et´e Xest r´eguli`ere si et seulement si Db(X-coh) = X-parf.
Soit Tune cat´egorie triangul´ee admettant des sommes directes infinies. On dit qu’un ob-
jet X∈ T est compact si pour tout ensemble Ed’objets de T, le morphisme canonique
LE∈E Hom(C, E)→Hom(C, LE∈E E) est un isomorphisme. On note Tcla sous-cat´egorie
pleine de Tdes objets compacts. C’est une sous-cat´egorie ´epaisse.
Un point clef dans l’approche de Thomason est la caract´erisation des objets parfaits comme
les objets compacts de D(X-qcoh) :
Lemme 2.5. Soit C∈D(X-qcoh). Alors, Cest parfait si et seulement si il est compact.

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D´emonstration. Commen¸cons par prouver le lemme dans le cas affin X= Spec R. Puisque R
est compact, on d´eduit que tout objet parfait est compact. Soit Cun complexe de R-modules
et itel que HiC6= 0. Alors, Hom(R, C[i]) 6= 0. On d´eduit du lemme 2.9 que les objets parfaits
co¨ıncident avec les objets compacts.
On prend maintenant pour Xune vari´et´e quelconque. Soit X=U1∪U2avec U1ouvert
affine et U2ouvert tel que le nombre minimal d’ouverts affines dans un recouvrement de U2
est strictement inf´erieur au nombre minimal d’ouverts affines dans un recouvrement de X. Par
r´ecurrence, on peut supposer le lemme ´etabli pour U2et U12 =U1∩U2. On note jr:Ur→X
et j12 :U12 →Vles immersions ouvertes. Pour D∈D(X-qcoh), on a un triangle distingu´e de
«Mayer-Vietoris »:
D→Rj1∗j∗
1D⊕Rj2∗j∗ 2D→Rj12∗j∗ 12D
Soit C∈D(X-qcoh). On d´eduit du triangle pr´ec´edent que Cest compact si j∗
1C,j∗ 2Cet j∗ 12C
sont compacts. La r´eciproque est claire. Par r´ecurrence, on obtient le lemme. 
L’importance de la cat´egorie X-parf tient aussi au fait qu’elle permet de d´efinir les “bons”
groupes de K-th´eorie, pour une vari´et´e qui n’a pas assez de fibr´es vectoriels amples. On d´efinit
ainsi K0(X) = K0(X-parf).
On rappelle que l’on d´efinit K0(T), pour une cat´egorie triangul´ee T, comme le quotient du
groupe ab´elien libre de base les classes d’isomorphisme d’objets de Tpar la relation [M] =
[L] + [N] pour tout triangle distingu´e L→M→N .
Cette d´efinition de K0(X) co¨ıncide avec la d´efinition classique (groupe de Grothendieck de
la cat´egorie exacte des fibr´es vectoriels) lorsque Xa une famille ample de fibr´es en droite, en
particulier dans le cas d’une vari´et´e quasi-projective.
2.2.4. On note X-parfZ=X-parf ∩DZ(X-qcoh).
Th´eor`eme 2.6 (Thomason-Trobaugh).Le foncteur j∗induit un foncteur pleinement fid`ele
X-parf /X-parfZ→U-parf. Un objet de U-parf est la restriction d’un objet de X-parf si et
seulement si sa classe dans K0(U)est la restriction d’un ´el´ement de K0(X).
L’apparition de K0dans le th´eor`eme 2.6 provient du lemme suivant de Thomason (la preuve
est astucieuse).
Lemme 2.7. Soit Tune cat´egorie triangul´ee. L’application qui a une sous-cat´egorie triangul´ee
pleine Ide Tengendrant Tcomme sous-cat´egorie ´epaisse associe l’image de K0(I)dans K0(T)
est une bijection vers l’ensemble des sous-groupes ab´eliens de K0(T).
L’existence d’un calcul des fractions fournit un crit`ere simple pour la pleine fid´elit´e :
Lemme 2.8. Soit Tune cat´egorie triangul´ee, Iune sous-cat´egorie ´epaisse de Tet T0une
sous-cat´egorie triangul´ee pleine de T.
Supposons que tout morphisme C→Davec C∈ T 0et D∈ I se factorise par un ´el´ement de
I ∩ T 0. Alors, le foncteur canonique T0/(I ∩ T 0)→ T /Iest pleinement fid`ele.
Pour Iune sous-cat´egorie pleine d’une cat´egorie triangul´ee T, on note ¯ Ila plus petite sous-
cat´egorie ´epaisse de Tstable par sommes directes infinies et contenant I.
Soit Iune sous-cat´egorie ´epaisse d’une cat´egorie triangul´ee T. L’orthogonal `a droite I⊥de
Idans Test la sous-cat´egorie pleine de Tform´ee des Dtels que Hom(C, D) = 0 pour tout
C∈ I. C’est une sous-cat´egorie ´epaisse.

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Le lemme suivant est li´e au th´eor`eme de repr´esentabilit´e de Brown-Neeman et sa preuve n’est
pas imm´ediate.
Lemme 2.9. Soit Tune cat´egorie triangul´ee admettant des sommes directes infinies. Soit I
une sous-cat´egorie ´epaisse de Tc. Alors, toute fl`eche d’un objet de Tcvers un objet de ¯ Ise
factorise par un objet de I. En particulier, Tc∩¯ I=I.
On a ¯ I=Tsi et seulement si l’orthogonal `a droite I⊥de Idans Test nul.
Lemme 2.10. Soit Yun ferm´e de X. Alors, on a DY(X-qcoh) = X-parfY.
Pour Z0un ferm´e de X, on pose K0(Xsur Z0) = K0(X-parfZ0). On va en fait d´emontrer une
version «`a supports »du th´eor`eme 2.6 :
Th´eor`eme 2.11. Soit Z0un ferm´e de X. Le foncteur j∗induit un foncteur pleinement fid`ele
X-parfZ0/X-parfZ∩Z0→U-parfU∩Z0. Un objet de U-parfU∩Z0est l’image d’un objet de X-parfZ0
si et seulement si sa classe dans K0(Usur U∩Z0)est l’image d’un ´el´ement de K0(Xsur Z0).
D´emonstration du th´eor`eme 2.11 et du lemme 2.10. Prouvons tout d’abord que le lemme pour
Ximplique le th´eor`eme pour X. La combinaison des lemmes 2.8, 2.9 et 2.10 montre que j∗
induit un foncteur pleinement fid`ele X-parfZ0/X-parfZ∩Z0→U-parfU∩Z0. Soit Il’image de ce
foncteur : c’est une sous-cat´egorie triangul´ee pleine. Puisque X-parf Z0=DZ0(X-qcoh) (lemme
2.10), on a ¯ I=DU∩Z0(U-qcoh). On d´eduit alors du lemme 2.9 que U-parfZ0∩Uest la sous-
cat´egorie ´epaisse engendr´ee par I. Le th´eor`eme r´esulte alors du lemme 2.7.
Le lemme 2.9 montre qu’il suffit de v´erifier que (X-parfY)⊥= 0 pour d´emontrer le lemme
2.10.
Commen¸cons par d´emontrer le lemme lorsque Xest affine. Soit {y1,...,yr}une famille de
g´en´erateurs de l’id´eal de d´efinition de Yet
Gr=
r
O
i=1
(0 → OX
yi
−→ OX→0)
le complexe de Koszul (les termes non nuls sont en degr´es −r,...,0). On montre par r´ecurrence
sur rqu’un objet C∈DY(X-qcoh) est nul si Gr⊗C= 0 est nul. On en d´eduira le lemme,
puisque Hom(G∨
r, C[i]) 'Hi(Gr⊗C), o`u G∨ r=RHom(Gr,OX) est le dual de Gr. Le cas r= 0
est clair.
Prenons r > 0 et soit C∈DY(X-qcoh) non nul. Par r´ecurrence, il existe itel que Hi(Gr−1⊗C)
est non nul. Le triangle distingu´e
Gr−1⊗Cyr
−→ Gr−1⊗C→Gr⊗C
fournit une suite exacte Hi−1(Gr⊗C)→Hi(Gr−1⊗C)yr
−→ Hi(Gr−1⊗C). Puisque Hi(Gr−1⊗
C) est support´e par le ferm´e yr= 0, la multiplication par yry a un noyau non nul, donc
Hi−1(Gr⊗C)6= 0. Ceci compl`ete la preuve du lemme 2.10 dans le cas affine.
On prouve maintenant le lemme par r´ecurrence sur le nombre minimal d’ouverts affines
n´ecessaires pour recouvrir X.
Soit X=U1∪U2avec U1ouvert affine et U2ouvert v´erifiant le lemme. On pose Zi=X−Ui.
Soit C∈DY(X-qcoh) tel que Hom(D, C) = 0 pour tout D∈X-parfY.
Soit D∈U1-parfY∩Z2. Le foncteur Rj1∗:D(U1-qcoh) →D(X-qcoh) se restreint en des
´equivalences DY∩Z2(U1)∼
→DY∩Z2(X) et U1-parfY∩Z2
∼
→X-parfY∩Z2. Par cons´equent, on a