Géométrie dans l`espace - ambition

TS / mathématiques
Terminale S
Ch.6
Mme MAINGUY
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Géométrie dans l'espace
 La perspective cavalière
C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous
voyons dans la réalité. En effet, en perspective cavalière :
● deux droites parallèles dans la réalité sont représentées par des droites parallèles ;
● les milieux des segments et les rapports de longueur sont conservés ;
● les longueurs et les angles ne sont en général pas conservés ;
● les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
I. Règles de base de la géométrie dans l'espace
 Règle 1
Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts.
 Règle 2
Il existe un et un seul plan de l'espace passant par trois points non alignés.
 Théorème
Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite.
exemple : le livre ouvert
 Définition
Quatre points (ou plus) appartenant à un même plan sont dits "coplanaires".
Deux droites ou plus appartenant à un même plan sont dites "coplanaires".
 Règle 3
Quand tous les éléments (points, droites, ...) d'un problème de l'espace sont coplanaires, toutes les règles de
géométrie plane s'appliquent (Thalès, Pythagore, etc...)
On comprendra mieux les règle 2 et définition en donnant les analogies dans le plan :
Par deux points, il passe une droite et une seule.
Trois points appartenant à une même droite sont dits "alignés".
Exercice 1
P est un plan. A , B , C sont trois points non alignés qui n'appartiennent pas à P .
On suppose que  AB coupe P en C , que  AC  coupe P en B et que  BC 
coupe P en A .
Montrer que les points A , B , C sont alignés.
Solution
● A , B , C sont trois points non alignés n'appartenant pas à P donc (règle 2), il existe un unique plan P  contenant
ces trois points.
● Comme A et B sont deux points de P  , alors la droite  AB est contenue dans P  . De la même façon, on peut
affirmer que  AC  et  BC  sont incluses dans P  .
● A est un point commun à P et P  donc l'intersection de ces deux plans est une droite passant par A (théorème).
B et C étant communs à P et P  , l'intersection de P et P  est une droite passant par ces deux points.
On en déduit que l'intersection de P et P  est une droite passant par les trois points A , B et C qui sont donc alignés.
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II. Positions relatives de droites et de plans de l'espace
 Positions relatives de deux droites
Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires.
Si elles sont coplanaires (dans un même plan),
on distingue alors trois cas :
elles peuvent être :
● sécantes
● strictement parallèles
● confondues
elles ont un seul point
commun
elles n'ont aucun point
commun
Si elles sont non coplanaires,
aucun plan ne les contient
toutes les deux.
leur intersection est vide
Remarque
Attention: dans l'espace, deux droites n'ayant aucun point commun ne sont donc pas toujours parallèles.
Schématisation
non coplanaires
coplanaires
sécantes
parallèles
confondues
srictement parallèles
 Positions relatives d'une droite et d'un plan
Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants, soit parallèles.
● sécants
d et P ont un point d'intersection : B
● parallèles
d et P sont strictement parallèles,
leur intersection est vide.
d est contenue dans P .
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Schématisation
la droite et le plan
sont sécants
la droite est parallèle au plan
la droite est strictement
parallèle au plan
la droite est contenue
dans le plan
 Positions relatives de deux plans
Deux plans de l'espace sont soit sécants, soit parallèles.
● sécants
P et P ' ont une droite d'intersection : d
● parallèles
P et P ' sont strictement parallèles,
P et P ' sont confondus.
leur intersection est vide.
Ainsi, deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants.
Schématisation
sécants
parallèles
strictement parallèles
confondus
Exercice 2
Dans le cube ABCDEFGH, on note I le milieu de [AB], J le milieu de [DH], K le
milieu de [HG] et L le milieu de [EF].
Quelle est la nature de l'intersection des plans (IJK) et (BCL) ?
Solution
● Dans le plan (FGH) : K milieu de [HG] et L milieu de [FE]. Or HG = EF
On en déduit que GK = FL.
De plus comme (GH) // (FE) alors on a aussi (GK) // (FL)
On peut donc conclure que GKFL est un parallélogramme;
Ses côtés sont parallèles deux à deux d'où (KL) // (GF)
De même, on justifie que (DA) // (IJ)
Ainsi : (KL) // (GF) // (BC) // (DA) // (IJ)
● Le plan (BCL) contient la droite passant par L et parallèle à (BC) : c'est (KL).
De même, le plan (IJK) contient la droite passant par K et parallèle à (IJ) : c'est (KL)
● Les deux plans (BCL) et (IJK) n'étant pas confondus, l'intersection de ces deux plans
est la droite (KL)
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III. Parallélisme dans l'espace
 Parallélisme de droites : propriétés admises
P1 Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
P2 Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.
 Parallélisme de plans : propriétés admises
P3 Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.
P //P  
  P //P 
P //P 
P4 Si deux droites sécantes d1 et d 2 d'un plan P sont parallèles à un
plan P ' , alors P et P ' sont parallèles.
d1  P et d 2  P 

d1 et d 2 secantes   P //P 
d1 //P  et d 2 //P  
P5 Si deux plans P et P ' sont parallèles, alors tout plan qui coupe
aussi P ' et les droites d'intersection d et d  sont parallèles.
P , coupe
P //P 

  P   d 

 P  d  d //d 
 Parallélisme d'une droite et d'un plan : propriétés admises
P6 Si une droite  est parallèle à une droite d contenue dans
un plan P alors  et P sont parallèles.
d // 
   //P
d  P 
P7 Si une droite d est parallèle à deux plans P et P ' sécants suivant une
droite  , alors d et  sont parallèles.
d //P et d //P 
  d //
P P  =  
Théorème du toit
d1 et d 2 sont deux droites parallèles, d1 contenue dans P1 et
d 2 contenue dans P2.
Si deux plans P1 et P2 sont sécants, alors leur droite commune 
est parallèle à d1 et d 2 .
d1  P1 et d 2  P2

d1 //d 2
   //d1 et  //d 2

P1 P2 = 

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IV. Orthogonalité dans l'espace
1 / droites orthogonales
 Définition
Dans l'espace, dire que deux droites  d1  et  d 2  sont orthogonales
signifie qu'on peut trouver un point I tel que les parallèles à ces droites
passant par I sont perpendiculaires.
On écrit  d1    d 2 
 Théorème (admis)
Si deux droites sont parallèles alors toute orthogonale à l'une
est orthogonale à l'autre.
 d1  //  d2 
   d2     
 d1      
On écrit  d1    d 2 
2 / droites perpendiculaires à un plan
 Définition
I est l'intersection d'une droite  d  et d'un plan  P  .
Dire que  d  et  P  sont perpendiculaires signifie que  d  est
perpendiculaire à deux droites  d1  et  d 2  de  P  passant par I .
Remarque
On admet alors que  d  est perpendiculaire à toute droite    de  P  passant par I .
 Théorème
Si une droite  d  est perpendiculaire à un plan  P  , alors  d  est
orthogonale à toute droite    contenue dans  P  .
Démonstration
Soit    une droite contenue dans le plan  P  .On veut montrer que  d  est perpendiculaire à    .
d 
étant perpendiculaire à  P  alors  d  est en particulier perpendiculaire à  1  , droite de  P  sécante à  d  en
I et parallèle à    .
Ainsi :
 1  //    
  d   
 1    d 
d 
est donc orthogonale à    .
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 Théorème
Pour qu'une droite  d  et un plan  P  soient perpendiculaires, il faut et il suffit
que  d  soit orthogonale à deux droites sécantes de  P  .
Conséquences
1 / si deux droites sont perpendiculaires à même plan  P  , alors elles sont parallèles.
 d1   P  
   d1  //  d 2 
 d2   P 
2 / si deux plans  P1  et  P2  sont perpendiculaires à une même droite  d  , alors ils sont parallèles.
P1    d  
   P  //  P 
P2    d  1 2
Exercice 3
ABCDEFGH est un cube.
1/
Démontrer l'orthogonalité de la droite  DA et du plan  DCH  .
2/
En déduire que les droites  DA et  HC  sont orthogonales.
3/
En déduire l'orthogonalité de la droite  HC  et du plan  DGA puis celle
des droites  HC  et  DF  .
Solution
1/
D est le point d'intersection des droites  DH  et  DC  qui sont deux droites du plan  DCH  .
Par définition du cube,  DA est perpendiculaire aus droites  DH  et  DC  .
Par définition,  DA est perpendiculaire au plan  DCH  .
2/
 DA
étant perpendiculaire au plan  DCH  ,  DA est donc orthogonale à toute droite contenue dans  DCH 
et en particulier à la droite  HC  .
3/
●  HC  est orthogonale aux deux droites  DA et  DG  qui sont toutes deux contenues dasn le plan  DGA
et sécantes en D . Donc  HC  est perpendiculaire au plan  DGA .
● D et F sont deux points de  DGA donc la droite  DF  est contenue dans  DGA .
D'autre part,  HC  étant perpendiculaire au plan  DGA , elle est orthogonale à toute droite de ce plan et en
particulier à la droite  DF  .