Introduction à la Logique Mathématique

Introduction à la Logique Mathématique
Seconde partie : Théorie des modèles
Thomas Blossier, Julien Melleray, Frank Wagner

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Table des matières
6 Structures et théories 1
6.1 Structures et sous-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.2 Langage du 1er ordre et satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.3 Équivalence élémenaire, extension élémentaire . . . . . . . . . . . . . . 9
6.4 Théories, modèles et ensembles définissables . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Compacité, Théorème de Löwenheim-Skolem 19
7.1 Ultraproduits ................................ 19
7.2 Le théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.3 Théorème de Löwenheim-Skolem, Catégoricité . . . . . . . . . . . . . . 24
7.4 Applications en algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 Types et élimination des quanteurs 29
8.1 Types .................................... 29
8.2 Elimination des quanteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.3 Les corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Modèles atomiques, modèles saturés 39
9.1 Types isolés et omission de types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.2 Modèles ................................... 41
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iv TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 6
Structures et théories
Les théoriciens des modèles s’intéressent aux structures et à leurs ensembles définis-
sables. Ils étudient plus précisément des classes de structures suivant des propriétés
partagées par celles-ci, qui peuvent être par exemple combinatoires ou géométriques.
Dans ce chapitre on présente des notions de base de la théorie des modèles. Les aspects
syntaxiques des langages considérés sont introduits sans être complètement détaillés,
l’essentiel pour les théoriciens des modèles étant le point de vue sémantique.
6.1 Structures et sous-structures
Les structures, structures de groupes, de corps ..., sont des objets usuels pour les
mathématiciens contemporains. Dans la première partie du cours, la structure sous-
jacente était réduite à un univers muni d’une unique relation binaire, ∈(et de l’égalité
=). Pour ce cours, nous définissons la notion de structures de la façon suivante :
Définition 6.1.
1. Une structure Mest la donnée d’un ensemble de base ou univers Mnon vide
muni :
– d’une famille (cM
i)i∈Ide constantes, où cM i∈M,
– d’une famille (fM
j)j∈Jde fonctions, où pour tout j∈J,fM jest une fonction
totale de Mnjdans Mpour un entier nj>0,
– d’une famille (RM
k)k∈Kde relations, où pour tout k∈K,RM kest un sous-
ensemble de Mmkpour un entier mk>0.
On supposera de plus qu’une structure est toujours munie de l’égalité, c’est-à-dire
que la diagonale de M2est l’une des relations RM
k. L’ensemble de base Msera
appelé domaine de Met sera souvent noté de la même façon que M.
2. Le langage Lassocié à une structure Mconsiste en :
– un symbole de constante cipour chaque constante cM
i,
– un symbole de fonction fjd’arité njpour chaque fonction fM
j,
– un symbole de relation Rkd’arité nkpour chaque relation RM
k.
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