Université de Lorraine-Metz Master 1 de Mathématiques Année

Universit´e de Lorraine-Metz
Master 1 de Math´ematiques Ann´ee 2012/2013
TD n◦2. Groupes et g´eom´etrie
Sous-groupes de Sylow- Classification
Exercice 1.
Soit G=Z/1620Z.
1) D´eterminer, pour tout diviseur premier pde o(G), tous les p-sous-groupes de Sylow de G.
2) Montrer que Gest produit direct des ses sous-goupes de Sylow.
3) Mˆemes questions avec G= (Z/63Z×Z/15Z).
Exercice 2.
Soit Gun groupe d’ordre 15.
1) D´eterminer, pour tout diviseur mde l’ordre de Gle nombre d’´el´ements d’ordre m.
2) D´eterminer le plus petit entier ntel que Sncontienne un sous-groupe d’ordre 15.
Exercice 3.
On dit qu’un groupe Gest simple si ses seuls sous-groupes normaux sont {e}et G.
1) D´eterminer tous les groupes ab´eliens simples.
2) Soient pun nombre premier et run entier sup´erieur ou ´egal `a 2. D´emontrer qu’un groupe
d’ordre prn’est jamais simple.
3) D´eterminer `a isomorphisme pr`es tous les groupes d’ordre p2.
4) Un sous-groupe d’un groupe simple est-il simple?
5) Montrer qu’un groupe d’ordre 56 n’est pas simple.
Exercice 4.
Soit Gun groupe fini.
a. Soit x∈Gd’ordre pα1
1. . . pαs
s(avec αi>0 et p1, . . . , pspremiers tous distincts). D´emontrer
qu’il existe x1, . . . , xsdans Gtels que x=x1. . . xs,o(xi) = pαi
iet xixj=xjxipour tout (i, j).
b. Montrer que Gest produit direct de ses sous-groupes de Sylow si et seulement si tout sous-
groupe de Sylow est normal dans G.
c. Si c’est le cas, montrer que le centre de Gn’est pas trivial et que tout diviseur premier de l’ordre
de Gdivise l’ordre de son centre.
Exercice 5. (Extrait de Janvier 2012)
Soit Gun groupe d’ordre 2pq o`u pet qsont premiers et 2 < p < q. I) Montrer que si q+ 1 6= 2p,
alors un q-sous-groupe de Sylow de G est distingu´e dans G.
II) On suppose par la suite que q+ 1 = 2p. Soit Hun p-sous-groupe de Sylow de Get Kun
q-sous-groupe de Sylow de G.
(a) Montrer qu’au moins l’un entre eux est distingu´e dans G.
(b) Montrer que HK est un sous-groupe de G. D´eterminer son ordre.
(c) Montrer que HK est un sous-groupe cyclique de G.
(d) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que HK est un sous-groupe distingu´e de G.
Exercice 6. (Extrait de Novembre 2011)
Soit Gun groupe d’ordre 99.
1) D´eterminer n3et n11.
2) Montrer que Gest produit direct de ses sous-groupes de Sylow et que Gest ab´elien.
3) D´eterminer `a isomorphisme pr`es tous les groupes d’ordre 99.
4) Montrer que Gest cyclique si et seulement s’il contient un sous-groupe cyclique d’ordre 9.
5) Montrer que tout groupe d’ordre 99 contient un sous groupe cyclique d’ordre 33.

6) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que si Hest un groupe quelconque d’ordre 9 et Kun groupe quelconque
d’ordre 11, le seul morphisme de groupe de K`a valeurs dans Aut(H) est le morphisme trivial.
Exercice 7.(Extrait de Septembre 2000).
Soit Gun groupe. Si x, y ∈G, on appelle commutateur de xet yl’´el´ement not´e [x, y] = xyx−1y−1.
On appelle sous-groupe des commutateurs ou sous-groupe d´eriv´e, et on note [G, G] le sous-groupe
de Gengendr´e par les commutateurs [x, y] pour x, y ∈G.
1) Montrer que [G, G] est un sous-groupe distingu´e de Get que c’est le plus petit sous-groupe
distingu´e Hde Gtel que G/H soit ab´elien.
Soit G=A4, le sous-groupe de S4des permutations de signature 1.
2) Montrer directement que [G, G] contient au moins 3 ´el´ements.
3) D´eterminer deux 3-sous-groupes de Sylow de A4. En d´eduire leur nombre total.
4) D´eterminer le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de A4.
5) Montrer que l’ordre de [G, G] est 4.(Utiliser 1))
6) En d´eduire que A4ne contient pas de sous-groupe d’ordre 6.
7) D´eterminer tous les sous-groupes de A4. Lesquels sont-distingu´es?
8) Montrer que A4est produit semi-direct de deux sous-groupes de Sylow. En est-il le produit
direct?
Exercice 8. Extrait de Avril 2002).
Tous les groupes d’ordre 255 sont cycliques.
1) Montrer, en regardant les sous-groupes de Sylow, que tous les groupes d’ordre 15, 51 et 85 sont
cycliques.
2) Soit Gun groupe d’ordre 255.
a) Montrer que le 17-sous-groupe de Sylow de Gest normal. On le note H17 .
b) Montrer que Gadmet un sous-groupe d’ordre 3, not´e, H3et un sous-groupe d’ordre 5, not´e, H5.
Montrer que l’un d’eux est un sous-groupe normal de G.
c) En d´eduire que H3H5,H3H17 et H5H17 sont des sous-groupes de Get qu’ils sont cycliques.
d) Montrer H3H5H17 est un sous-groupe de G. Quel est son ordre?
e) Montrer que H3H5H17 est ab´elien, puis conclure.
Exercice 9.
Soit Gun groupe d’ordre 48. On veut montrer que Gn’est pas simple. Pour tout diviseur premier
pde |G|, on appelle nple nombre des p-sous-groupes de Sylow de G.
1) Montrer que si n3= 1 ou 16, Gn’est pas simple.
2) On suppose que n3= 4 et soit X={H1, H2, H3, H4}l’ensemble des 3-sous-groupes de Sylow
de G. On fait op´erer Gsur Xpar conjugaison c’est `a dire g.Hi=gHig−1.
a) Montrer que cette action induit un homomorphisme de groupes de Gdans Bij(X).
b) Conclure.
Exercice 10.
1) D´eterminer `a isomorphisme pr`es tous les groupes d’ordre 1225.
2) Soit Gun groupe d’ordre 30.
a) Montrer que n3= 1 ou n5= 1. En d´eduire que Gcontient un sous-groupe cyclique d’ordre 15.
b) Montrer que Gest produit semi-direct de deux sous-groupes cycliques.