Corrigé du probl`eme 2 : Équation de Dirac en dimension 2 + 1 et

DEA de Physique Quantique 2002-2003
Th´eorie des Champs
Corrig´e du probl`eme 2 :
´
Equation de Dirac en dimension 2 + 1
et th´eor`eme Aharonov Casher.
1. Consid´erons une transformation infinit´esimale Λµν'δµν+ωµνo`u ωµν1. L’invariance de
la m´etrique sous une telle transformation n´ecessite que ωµν =−ωνµ. Le tenseur ωµνest donc
param´etr´e par 3 param`etres, deux affect´es aux transformations sp´eciales et un aux rotations. Le
groupe L↑
+poss`ede donc 3 g´en´erateurs dans l’espace de Minkowski de dimension d= 2 + 1.
2. Matrices de Dirac.
a) Trois matrices γ0,γ1et γ2satisfaisant l’alg`ebre {γµ, γν}= 2gµν sont trois matrices qui
anticommutent et de carr´e ±1. On peut choisir des matrices 2 ×2 comme les trois matrices de
Pauli : γ0=σz,γ1= iσxet γ2= iσy. L’´equation de Dirac en dimension 2+1 fait donc intervenir
des spineurs `a deux composantes.
b) La matrice γ5=i
3! µνργµγνγρ= iγ0γ1γ2= 1. L’espace des matrices de Dirac est maintenant
un espace de dimension 4 et toute matrice de cet espace peut se d´ecomposer sur les trois matrices
γµet l’identit´e.
3. L’´equation de Dirac libre s’´ecrit
(iγµ∂µ−m)ψ(x) = 0 (1)
o`u ψ(x) est un spineur `a deux composantes.
Si Λ ∈ L↑
+on note S(Λ) la matrice correspondante dans la repr´esentation engendr´ee par les
spineurs. L’invariance de l’´equation (1) sous le groupe L↑
+implique que S(Λ)−1γµS(Λ) = Λµνγν.
Si on ´ecrit S(Λ) = exp(−i
2ωµν Σµν ), o`u ωµν param´etrise la transformation, les 3 g´en´erateurs sont
Σµν =i
4[γµ, γν]. On introduit la notation : ~
Kdef = (Σ01,Σ02) pour les g´en´erateurs des transforma-
tions sp´eciales et Sdef = Σ12 pour le g´en´erateur des rotations (l’op´erateur de spin par d´efinition).
On a donc : ~ K=i
2(σy,−σx) et S=1 2σz. Une transformation de Lorentz dans le point de vue
actif peut donc s’´ecrire :
S(Λ) = ei~
φ·~ K−iθS .(2)
Transformations sp´eciales.
La transformation sp´eciale de Lorentz donnant une rapidit´e φxdans le sens du vecteur unitaire
~uxest :
Sx=eiφxKx= ch φx
2−σysh φx 2(3)
et dans le sens de ~uy:
Sy= ch φy
2+σxsh φy 2.(4)
1

Afin de param´etrer ces transformations en fonction de l’impulsion ~p au lieu de la rapidit´e ~ φ, on
utilise p0=mch φxet p1=msh φxpour un boost dans le sens ~ux. Si ~p est dans une direction
quelconque on obtient
S(Λ~p) = p/γ0+m
p2m(p0+m)=1 p2m(p0+m)p0+mip1+p2
−ip1+p2p0+m(5)
o`u p0= +p~p2+m2.
Rotation.
La rotation d’angle θest :
SR=e−iθS = e−i
2θ0
0e
i
2θ!(6)
4. Une transformation Λµν'δµν+ωµνlaissant invariant le vecteur pµest telle ωµνpν= 0.
On a donc ωµν =ηµνρpρo`u ηest un param`etre r´eel. Dans la repr´esentation engendr´ee par les
spineurs, les transformations correspondantes s’´ecrivent Sη= exp −i
2ηµνρpρΣµν =e−iηW o`u
West le g´en´erateur de ce sous-groupe. On a W=i
4µνρpργµγν. En utilisant que γ5= 1, on
v´erifie que i
2ρµν γµγν=γρet finalement
W=p/
2.(7)
5. Ondes planes.
On note ψ(+)
~p (x) = u(~p)e−ipx la solution d’´energie positive et d’impulsion ~p et ψ(−) −~p (x) = v(~p)eipx
la solution d’´energie n´egative et d’impulsion −~p.
a) Les spineurs u(~p) et v(~p) satisfont :
(p/ −m)u(~p) = 0 (8)
(p/ +m)v(~p)=0.(9)
b) On a donc W u(~p) = +m
2u(~p) et W v(~p) = −m 2v(~p).
c) En dimension 2 + 1 le “spin” est donc reli´e au signe de l’´energie. Si on introduit l’op´erateur
W/m, alors (W
m)2=1 4et W mψ(±)
~p (x) = ±1
2ψ(±)
~p (x).
Remarque : Hormis dans le r´ef´erentiel du centre de masse, le spin S(g´en´erateur des rotations)
n’est pas un bon nombre quantique car il ne commute pas avec Kxet Ky. C’est pourquoi on est
amen´e `a introduire l’op´erateur W/m qui commute bien avec l’Hamiltonien de Dirac libre.
d) Pour construire explicitement les spineurs u(~p) et v(~p), le plus simple est de faire agir une
transformation sp´eciale donnant une impulsion ~p sur les solutions obtenues dans le r´ef´erentiel
du centre de masse :
u(~p) = S(Λ~p)1
0=1
p2m(p0+m)p0+m
−ip1+p2(10)
et
u(~p) = S(Λ~p)0
1=1
p2m(p0+m)ip1+p2
p0+m.(11)
2

6. Moment cin´etique.
a) L’op´erateur de moment cin´etique total est J=L+S, o`u L=−i(x∂y−y∂x) est le moment
orbital (g´en´erateur des rotations dans la repr´esentation de L↑
+engendr´ee par les fonctions sca-
laires) et Sl’op´erateur de spin. En coordonn´ees polaires (r, θ) le moment orbital s’´ecrit L=−i∂θ
et finalement :
J=1
2σz−i∂θ.(12)
b)´ Etats propres de J.
ΨJ(θ) = ei(J−1/2)θ
ei(J+1/2)θ.(13)
c) Si ΨJ(θ) est univalu´ee (i.e. ΨJ(θ+ 2π)=ΨJ(θ)) alors le moment cin´etique est quantifi´e :
J=`+1
2o`u `∈Z.(14)
7. Th´eor`eme Aharonov-Casher.
(Phys. Rev. A 19 (1979) p.2461). Consid´erons un hamiltonien de Pauli H= (~p−~ A)2−~σ ·~ Bpour
des fermions de spin 1/2 non relativistes en dimension 2 et pour une configuration quelconque
de champ magn´etique (les unit´es sont telles que 2m=e=~= 1). Le facteur gyromagn´etique
est choisi ´egal `a 2 (cons´equence du choix du couplage minimal et de l’invariance sous le groupe
de Galil´ee). Alors le nombre N0d’´etats d’´energie nulle est ´egal au flux magn´etique traversant le
syst`eme en unit´e de quantum de flux : N0= E h|Φ|
φ0i(le quantum de flux est φ0=h/e et E [x]
d´esigne la partie enti`ere de x).
Nous allons ´etendre le th´eor`eme au cas de l’hamiltonien de Dirac pour un champ magn´etique
statique quelconque
H=−i~α ·(~ ∇ − i~ A) + βm . (15)
Rappelons que β=γ0,αx=γ0γ1et αy=γ0γ2.
Nous emploierons des notations complexes pour rep´erer les coordonn´ees d’espace : z=x+iy
et noterons ∂def =∂
∂z et ¯
∂def =∂
∂¯z. On a donc
z
¯z=1 i 1−i x yet ∂
¯
∂=1
21−i
1 i  ∂x ∂y.(16)
a)Potentiel vecteur et champ magn´etique.
Si div ~ A= 0, il est toujours possible d’´ecrire le potentiel vecteur sous la forme Ai=ij0∂jφ
o`u φest une fonction scalaire des coordonn´ees d’espace. On introduit Adef =Ax+ iAy, alors
A=−(A1+ iA2) = −∂2φ+ i∂1φ= 2i ¯ ∂φ.
Le champ magn´etique est B=−∂1A2+∂2A1=−i(∂A −¯ ∂¯ A)=4∂¯ ∂φ = ∆φ.
Consid´erons deux exemples :
Exemple 1 : champ magn´etique uniforme. φ(z, ¯z) = B
4z¯zet A= iB 2z.
Exemple 2 : sol´eno¨ıde infiniment fin portant un flux Φ. Dans ce cas φ(z, ¯z) = Φ
4πln(z¯z) et
A= i Φ
2π¯z. On retrouve un champ magn´etique B(~r)=Φδ(2)(~r) en se rappelant que 1 2πln(r) est
la fonction de Green du Laplacien bidimensionnel.
b)Moment cin´etique.
3

L’op´erateur de moment orbital s’´ecrit L=z∂ −¯z¯ ∂. Une fonction invariante par rotation est
une fonction de z¯z; en effet Lf(z¯z) = 0. Les ´etats propres de Lsont de la forme z`ou ¯z−`, par
cons´equent on peut ´ecrire un ´etat propre du moment cin´etique Jsous la forme :
ψJ(z, ¯z) = zJ−1/2ϕ(z¯z)
zJ+1/2χ(z¯z)ou ψJ(z, ¯z) = ¯z−J+1/2ϕ(z¯z) ¯z−J−1/2χ(z¯z)(17)
o`u ϕ(t) et χ(t) sont deux fonctions quelconques.
c) L’hamiltonien de Dirac est :
H= iσy∂x−iσx∂y+σyAx−σxAy+σzm=m2∂−i¯
A
−2¯ ∂+ iA−m(18)
ou encore
H=m2∂−2∂φ
−2¯ ∂−2¯ ∂φ −m.(19)
Les composantes du spineur
ψ(z, ¯z) = f(z, ¯z)
g(z, ¯z),(20)
´etat propre de H, satisfont donc les deux ´equations :
(2(∂−∂φ)g= (E−m)f
−2( ¯ ∂+¯ ∂φ)f= (E+m)g(21)
d)´ Etats d’´energie E= +m.
Pour une solution d’´energie E= +mon a ( ¯ ∂+¯ ∂φ)f= 0 et g= 0. En ´ecrivant f(z, ¯z) =
h(z, ¯z)e−φ(z,¯z), on constate que la fonction hob´eit `a ¯ ∂h(z, ¯z) = 0, c’est-`a-dire que hdoit ˆetre
une fonction de zseulement. Les ´etats d’´energie E= +msont donc de la forme
ψ(z, ¯z) = h(z)e−φ(z,¯z)1
0(22)
o`u h(z) est une fonction analytique quelconque.
e) Faisons deux hypoth`eses sur la fonction φ:
•lorsque z→0 on suppose que φ(z, ¯z)∝z¯z. Cela signifie que le champ magn´etique B= 4∂¯ ∂φ
est fini `a l’origine.
•Si on ´ecrit φ(z, ¯z) = F(z,¯z)
4πln(z¯z), la fonction Ftend vers une constante Φ lorsque |z|→∞. Le
champ magn´etique est donc nul `a l’infini. D’autre part, le potentiel vecteur se comporte comme
~
A'Φ
2π
~uθ
r. La circulation de ~
Asur un circuit ferm´e tournant autour de l’origine `a distance
r→ ∞ est H~ dl·~ A= Φ, ce qui montre que Φ est le flux magn´etique total traversant le syst`eme.
f) On consid`ere maintenant les ´etats
ψJ(z, ¯z) = zJ−1/2e−φ(z,¯z)1
0(23)
qui ne sont des ´etats propres de Jque si φn’est fonction que du produit z¯z.
On suppose que Φ >0
4

On ´etudie `a quelles conditions la fonction d’onde (23) est normalisable.
•` A l’origine Z0
dr r ψ†
JψJ'Z0
dr r2J<∞si J > −1/2 (24)
•` A l’infini
Z∞
dr r ψ†
JψJ'Z∞
dr r2Je−2Φ
2πln(r)=Z∞
dr r2J−Φ
π<∞si J < Φ
2π−1/2.(25)
La normalisabilit´e de la fonction d’onde impose donc que Jest born´e inf´erieurement et
sup´erieurement : 0 < J +1
2<Φ 2π, c’est-`a-dire que le nombre d’´etats (23) est
N0= E Φ
φ0,(26)
o`u φ0=h/e = 2πest le quantum de flux, ce qui d´emontre le th´eor`eme.
Remarques :
•Si le flux total est n´egatif, on doit consid´erer les ´etats d’´energie E=−m
ψJ(z, ¯z) = ¯z−J−1/2e+φ(z,¯z)0
1(27)
dont le nombre est E h|Φ|
φ0i.
•Si le champ magn´etique n’est pas r´egulier `a l’origine, comme c’est le cas pour le sol´eno¨ıde
infiniment fin ´evoqu´e ci-dessus (φ=Φ
2πln(r)), le th´eor`eme doit ˆetre modifi´e : cf. Moroz, Phys.
Lett. B 358 (1995) p.305.
•Notons que le th´eor`eme Aharonov-Casher est un cas particulier du th´eor`eme de l’index
d’Atiyah-Singer (cf. M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IoP publishing).
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