Corrigé du probl`eme 2 : Équation de Dirac en dimension 2 + 1 et

DEA de Physique Quantique
Théorie des Champs
2002-2003
Corrigé du problème 2 :
Équation de Dirac en dimension 2 + 1
et théorème Aharonov Casher.
1. Considérons une transformation infinitésimale Λµν ' δ µν + ω µν où ω µν 1. L’invariance de
la métrique sous une telle transformation nécessite que ωµν = −ωνµ . Le tenseur ω µν est donc
paramétré par 3 paramètres, deux affectés aux transformations spéciales et un aux rotations. Le
groupe L↑+ possède donc 3 générateurs dans l’espace de Minkowski de dimension d = 2 + 1.
2. Matrices de Dirac.
a) Trois matrices γ 0 , γ 1 et γ 2 satisfaisant l’algèbre {γ µ , γ ν } = 2g µν sont trois matrices qui
anticommutent et de carré ±1. On peut choisir des matrices 2 × 2 comme les trois matrices de
Pauli : γ 0 = σz , γ 1 = iσx et γ 2 = iσy . L’équation de Dirac en dimension 2 + 1 fait donc intervenir
des spineurs à deux composantes.
b) La matrice γ 5 = 3!i µνρ γ µ γ ν γ ρ = iγ 0 γ 1 γ 2 = 1. L’espace des matrices de Dirac est maintenant
un espace de dimension 4 et toute matrice de cet espace peut se décomposer sur les trois matrices
γ µ et l’identité.
3. L’équation de Dirac libre s’écrit
(iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = 0
(1)
où ψ(x) est un spineur à deux composantes.
Si Λ ∈ L↑+ on note S(Λ) la matrice correspondante dans la représentation engendrée par les
spineurs. L’invariance de l’équation (1) sous le groupe L↑+ implique que S(Λ)−1 γ µ S(Λ) = Λµν γ ν .
Si on écrit S(Λ) = exp(− 2i ω µν Σµν ), où ω µν paramétrise la transformation, les 3 générateurs sont
~ def
Σµν = 4i [γµ , γν ]. On introduit la notation : K
= (Σ01 , Σ02 ) pour les générateurs des transformadef
tions spéciales et S = Σ12 pour le générateur des rotations (l’opérateur de spin par définition).
~ = i (σy , −σx ) et S = 1 σz . Une transformation de Lorentz dans le point de vue
On a donc : K
2
2
actif peut donc s’écrire :
~ ~
S(Λ) = eiφ·K−iθS .
(2)
Transformations spéciales.
La transformation spéciale de Lorentz donnant une rapidité φx dans le sens du vecteur unitaire
~ux est :
φx
φx
− σy sh
(3)
Sx = eiφx Kx = ch
2
2
et dans le sens de ~uy :
φy
φy
Sy = ch
+ σx sh
.
(4)
2
2
1
~ on
Afin de paramétrer ces transformations en fonction de l’impulsion p~ au lieu de la rapidité φ,
0
1
utilise p = m ch φx et p = m sh φx pour un boost dans le sens ~ux . Si p~ est dans une direction
quelconque on obtient
p
/γ 0 + m
1
p0 + m ip1 + p2
S(Λp~ ) = p
=p
(5)
1
2
p0 + m
2m(p0 + m)
2m(p0 + m) −ip + p
p
où p0 = + p~2 + m2 .
Rotation.
La rotation d’angle θ est :
i
SR = e−iθS =
!
e− 2 θ
0
0
e2θ
(6)
i
4. Une transformation Λµν ' δ µν + ω µν laissant invariant le vecteur pµ est telle ω µν pν = 0.
On a donc ω µν = ηµνρ pρ où η est un paramètre réel. Dans la représentation engendrée
par les
spineurs, les transformations correspondantes s’écrivent Sη = exp − 2i ηµνρ pρ Σµν = e−iηW où
W est le générateur de ce sous-groupe. On a W = 4i µνρ pρ γµ γν . En utilisant que γ 5 = 1, on
vérifie que 2i ρµν γµ γν = γ ρ et finalement
W =
/p
.
2
(7)
5. Ondes planes.
(+)
(−)
p)e−ipx la solution d’énergie positive et d’impulsion p~ et ψ−~p (x) = v(~
p)eipx
On note ψp~ (x) = u(~
la solution d’énergie négative et d’impulsion −~
p.
a) Les spineurs u(~
p) et v(~
p) satisfont :
(p
/ − m) u(~
p) = 0
(8)
(p
/ + m) v(~
p) = 0 .
(9)
b) On a donc W u(~
p) = + m
p) et W v(~
p) = − m
p).
2 u(~
2 v(~
c) En dimension 2 + 1 le “spin” est donc relié au signe de l’énergie. Si on introduit l’opérateur
1
W (±)
1 (±)
2
W/m, alors ( W
~ (x) = ± 2 ψp
~ (x).
m ) = 4 et m ψp
Remarque : Hormis dans le référentiel du centre de masse, le spin S (générateur des rotations)
n’est pas un bon nombre quantique car il ne commute pas avec Kx et Ky . C’est pourquoi on est
amené à introduire l’opérateur W/m qui commute bien avec l’Hamiltonien de Dirac libre.
d) Pour construire explicitement les spineurs u(~
p) et v(~
p), le plus simple est de faire agir une
transformation spéciale donnant une impulsion p~ sur les solutions obtenues dans le référentiel
du centre de masse :
1
p0 + m
1
u(~
p) = S(Λp~ )
=p
(10)
1
2
0
2m(p0 + m) −ip + p
et
u(~
p) = S(Λp~ )
0
1
1
=p
2m(p0 + m)
2
ip1 + p2
p0 + m
.
(11)
6. Moment cinétique.
a) L’opérateur de moment cinétique total est J = L + S, où L = −i(x∂y − y∂x ) est le moment
orbital (générateur des rotations dans la représentation de L↑+ engendrée par les fonctions scalaires) et S l’opérateur de spin. En coordonnées polaires (r, θ) le moment orbital s’écrit L = −i∂θ
et finalement :
1
J = σz − i∂θ .
(12)
2
b) États propres de J .
ΨJ (θ) =
ei(J−1/2)θ
ei(J+1/2)θ
.
(13)
c) Si ΨJ (θ) est univaluée (i.e. ΨJ (θ + 2π) = ΨJ (θ)) alors le moment cinétique est quantifié :
J =`+
1
2
où ` ∈ Z .
(14)
7. Théorème Aharonov-Casher.
~ 2 −~σ · B
~ pour
(Phys. Rev. A 19 (1979) p.2461). Considérons un hamiltonien de Pauli H = (~
p − A)
des fermions de spin 1/2 non relativistes en dimension 2 et pour une configuration quelconque
de champ magnétique (les unités sont telles que 2m = e = ~ = 1). Le facteur gyromagnétique
est choisi égal à 2 (conséquence du choix du couplage minimal et de l’invariance sous le groupe
de Galilée). Alors le nombre N0 d’états d’énergieh nulle
i est égal au flux magnétique traversant le
|Φ|
système en unité de quantum de flux : N0 = E φ0 (le quantum de flux est φ0 = h/e et E [x]
désigne la partie entière de x).
Nous allons étendre le théorème au cas de l’hamiltonien de Dirac pour un champ magnétique
statique quelconque
~ − iA)
~ + βm .
H = −i~
α · (∇
(15)
Rappelons que β = γ 0 , αx = γ 0 γ 1 et αy = γ 0 γ 2 .
Nous emploierons des notations complexes pour repérer les coordonnées d’espace : z = x + iy
def ∂
def
et noterons ∂ = ∂z
et ∂¯ = ∂∂z̄ . On a donc
z
z̄
=
1 i
1 −i
x
y
et
∂
∂¯
1
=
2
1 −i
1 i
∂x
∂y
.
(16)
a) Potentiel vecteur et champ magnétique.
~ = 0, il est toujours possible d’écrire le potentiel vecteur sous la forme Ai = ij0 ∂j φ
Si divA
def
où φ est une fonction scalaire des coordonnées d’espace. On introduit A = Ax + iAy , alors
¯
A = −(A1 + iA2 ) = −∂2 φ + i∂1 φ = 2i∂φ.
¯ = ∆φ.
Le champ magnétique est B = −∂1 A2 + ∂2 A1 = −i(∂A − ∂¯Ā) = 4∂ ∂φ
Considérons deux exemples :
Exemple 1 : champ magnétique uniforme. φ(z, z̄) = B4 z z̄ et A = i B2 z.
Φ
Exemple 2 : solénoı̈de infiniment fin portant un flux Φ. Dans ce cas φ(z, z̄) = 4π
ln(z z̄) et
Φ
1
(2)
A = i 2πz̄ . On retrouve un champ magnétique B(~r) = Φ δ (~r) en se rappelant que 2π
ln(r) est
la fonction de Green du Laplacien bidimensionnel.
b) Moment cinétique.
3
¯ Une fonction invariante par rotation est
L’opérateur de moment orbital s’écrit L = z∂ − z̄ ∂.
une fonction de z z̄ ; en effet Lf (z z̄) = 0. Les états propres de L sont de la forme z ` ou z̄ −` , par
conséquent on peut écrire un état propre du moment cinétique J sous la forme :
J−1/2
−J+1/2
z
ϕ(z z̄)
z̄
ϕ(z z̄)
ψJ (z, z̄) =
ou ψJ (z, z̄) =
(17)
z J+1/2 χ(z z̄)
z̄ −J−1/2 χ(z z̄)
où ϕ(t) et χ(t) sont deux fonctions quelconques.
c) L’hamiltonien de Dirac est :
H = iσy ∂x − iσx ∂y + σy Ax − σx Ay + σz m =
ou encore
H=
m
2∂ − iĀ
−2∂¯ + iA
−m
m
2∂ − 2∂φ
¯
−2∂¯ − 2∂φ
−m
(18)
.
(19)
Les composantes du spineur
ψ(z, z̄) =
f (z, z̄)
g(z, z̄)
,
(20)
état propre de H, satisfont donc les deux équations :
(
2(∂ − ∂φ) g = (E − m) f
¯ f = (E + m) g
−2(∂¯ + ∂φ)
(21)
d) États d’énergie E = +m.
¯
Pour une solution d’énergie E = +m on a (∂¯ + ∂φ)f
= 0 et g = 0. En écrivant f (z, z̄) =
−φ(z,z̄)
¯
h(z, z̄) e
, on constate que la fonction h obéit à ∂h(z,
z̄) = 0, c’est-à-dire que h doit être
une fonction de z seulement. Les états d’énergie E = +m sont donc de la forme
1
(22)
ψ(z, z̄) = h(z) e−φ(z,z̄)
0
où h(z) est une fonction analytique quelconque.
e) Faisons deux hypothèses sur la fonction φ :
¯
• lorsque z → 0 on suppose que φ(z, z̄) ∝ z z̄. Cela signifie que le champ magnétique B = 4∂ ∂φ
est fini à l’origine.
• Si on écrit φ(z, z̄) = F (z,z̄)
4π ln(z z̄), la fonction F tend vers une constante Φ lorsque |z| → ∞. Le
champ magnétique est donc nul à l’infini. D’autre part, le potentiel vecteur se comporte comme
~ ' Φ ~uθ . La circulation de A
~ sur un circuit fermé tournant autour de l’origine à distance
A
2π r H
~
~
r → ∞ est dl · A = Φ, ce qui montre que Φ est le flux magnétique total traversant le système.
f) On considère maintenant les états
ψJ (z, z̄) = z
J−1/2 −φ(z,z̄)
e
1
0
qui ne sont des états propres de J que si φ n’est fonction que du produit z z̄.
On suppose que Φ > 0
4
(23)
On étudie à quelles conditions la fonction d’onde (23) est normalisable.
• À l’origine
Z
Z
dr r ψJ† ψJ ' dr r2J < ∞ si J > −1/2
• À l’infini
Z
Z ∞
†
dr r ψJ ψJ '
∞
(24)
0
0
Φ
2J −2 2π
ln(r)
dr r e
Z
=
∞
Φ
dr r2J− π < ∞ si J <
Φ
− 1/2 .
2π
(25)
La normalisabilité de la fonction d’onde impose donc que J est borné inférieurement et
Φ
supérieurement : 0 < J + 21 < 2π
, c’est-à-dire que le nombre d’états (23) est
Φ
,
(26)
N0 = E
φ0
où φ0 = h/e = 2π est le quantum de flux, ce qui démontre le théorème.
Remarques :
• Si le flux total est négatif, on doit considérer les états d’énergie E = −m
0
−J−1/2 +φ(z,z̄)
ψJ (z, z̄) = z̄
e
1
dont le nombre est E
h
|Φ|
φ0
i
(27)
.
• Si le champ magnétique n’est pas régulier à l’origine, comme c’est le cas pour le solénoı̈de
Φ
infiniment fin évoqué ci-dessus (φ = 2π
ln(r)), le théorème doit être modifié : cf. Moroz, Phys.
Lett. B 358 (1995) p.305.
• Notons que le théorème Aharonov-Casher est un cas particulier du théorème de l’index
d’Atiyah-Singer (cf. M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IoP publishing).
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