Électromagnétisme

´
Electromagn´etisme
PHYS 301
Compl´ement de cours 2
Ce compl´ement r´esume ce qui a ´et´e dit au dernier cours `a propos de l’auto-induction et de l’induction
mutuelle, ainsi que certaines notions vues en TD par un des groupes.
Auto-induction
Consid´erons une spire ferm´ee d´ecrivant un contour C, dans laquelle on fait passer un courant I(t)
dont l’intensit´e peut d´ependre du temps. Ce courant est la source d’un champ magn´etique dans tout
l’espace. En particulier, le flux φdu champ magn´etique `a travers une surface Ss’appuyant sur Cest
g´en´eralement non nul :
φ≡ZZS
~
B·d~ S6= 0 .
Attention, le champ ~ Bdont il est question ici est celui cr´e´e par le courant Icirculant dans la spire, alors
qu’auparavant dans le cours nous avions consid´er´e un champ magn´etique externe, cr´e´e par un aimant ou
une autre bobine plac´ee `a cˆot´e. Le champ ~ Best proportionnel `a l’intensit´e Icirculant dans la spire. Le
flux φest donc lui aussi proportionnel `a l’intensit´e I. Le coefficient de proportionnalit´e entre ces deux
grandeurs est appel´e inductance et not´ee L:
φ=LI
C’est une grandeur positive, qui se mesure en henry (symbole H) dans le Syst`eme International d’unit´es.
Elle d´epend de la g´eom´etrie du circuit et de la nature du milieu qui l’entoure (pour une g´eom´etrie donn´ee,
elle a une valeur diff´erente si la spire est situ´ee dans l’air ou dans un milieu magn´etique, par exemple).
Si le courant Ivarie au cours du temps, alors le flux φaussi et d’apr`es le ph´enom`ene d’induction,
cette variation de φest responsable d’une force ´electromotrice edans la spire,
e=−dφ
dt =−LdI dt
o`u la derni`ere ´egalit´e est valable quand la valeur de Lest constante, ce qui est le cas quand la spire
ne se d´eforme pas. Ce ph´enom`ene est appel´e auto-induction : la variation du courant Idans un circuit
est responsable de l’apparition d’une force ´electromotrice dans ce mˆeme circuit, qui `a son tour influe le
courant I.
Cons´equence en ´electrocin´etique
Si l’on place une telle spire dans un circuit ´electrique, on obtient un composant ´electrique appel´e bobine
d’induction ou, par abus de langage, inductance. Ce composant se comporte comme un g´en´erateur dont
la f.´e.m eest donn´ee par l’expression pr´ec´edente. Attention, en ´electrocin´etique on utilise plus souvent
la convention r´ecepteur (par opposition `a la convention g´en´erateur), qui consiste `a compter positivement
les tensions si elles sont orient´ees en sens inverse du courant (voir les fl`eches sur le sch´ema). Avec cette
convention, la tension aux bornes de la bobine s’´ecrit
U=LdI
dt
Cette relation a des cons´equences importantes en ´electrocin´etique. Illustrons-le par un exemple. Consid´erons
un circuit constit´e d’un g´en´erateur de tension continue E, d’une r´esistance Ret d’une bobine d’inductance
1

générateur
allumé
générateur
éteint
R
LL
IIR
UL
UR
E
L. Si la tension est continue, le courant est constant, dI/dt = 0 et la f.´e.m d’autoinduction est nulle : tout
se passe comme si la bobine ´etait absente et le courant vaut I=E/R. Si maintenant (disons `a t= 0)
on coupe l’alimentation du g´en´erateur (E= 0), le courant se met `a varier (il a envie de s’annuler) et du
coup la bobine agit comme un g´en´erateur qui ralentit la d´ecroissance du courant, l’empˆechant de tomber
d’un coup `a une valeur nulle. Montrons-le. ` At > 0, la loi des mailles appliqu´ee au circuit indique que
UR+UL= 0 soit RI +LdI
dt = 0 .
C’est une ´equation diff´erentielle du premier ordre `a coefficients constants, dont la solution s’´ecrit (en
tenant compte de la condition initiale I=E/R `a t= 0)
I(t) = E
Re−t/τ avec τ≡L/R .
Lorsqu’on coupe le g´en´erateur, l’intensit´e ne devient pas instantan´ement nulle, elle tend exponentiellement
vers z´ero, avec une constante de temps τ=L/R. En pr´esence d’´el´ements inductifs, le courant ne peut
pas ˆetre annul´e d’un coup. Ceci se manifeste parfois de fa¸con spectaculaire, quand par exemple on essaie
d’´eteindre un transformateur ou un moteur ´electrique en tirant sur la prise : le courant veut rester non
nul encore un peu et une ´etincelle peut se produire au niveau de la prise, mat´erialisant le passage forc´e
du courant `a travers l’air.
ILire l’article Bobine (´electricit´e) dans Wikipedia.
Induction mutuelle
La notion d’auto-induction peut ˆetre g´en´eralis´ee au cas de plusieurs circuits, ce qui conduit `a une
application super-importantissime : les transformateurs.
Consid´erons deux spires C1et C2, parcourues par ces courants I1(t) et I2(t). Le champ magn´etique
cr´e´e par I1est responsable d’un flux magn´etique φ1→1`a travers S1et d’un flux magn´etique φ1→2`a
travers S2. Ces flux sont proportionnels `a l’intensit´e I1et on ´ecrit
φ1→1=L1I1et φ1→2=M12I1,
o`u L1d´esigne l’auto-inductance du circuit C1(c’est la grandeur dont nous avons parl´e ci-dessus) et M12
le coefficient d’inductance mutuelle des deux circuits. Ce coefficient d´epend de la g´eom´etrie des deux
circuits, de leur espacement et de la nature du milieu dans lequel ils sont plong´es. De mˆeme, le champ
magn´etique cr´e´e par I2est responsable des flux magn´etiques
φ2→1=M21I2et φ2→2=L2I2.
On peut montrer que M12 =M21 et cette grandeur sera plutˆot not´eer Mdans la suite, pour all´eger les
notations. Le flux traversant S1s’´ecrit finalement
φ1=φ1→1+φ2→1=L1I1+MI2
2

et de mˆeme pour le flux traversant S2
φ2=φ1→2+φ2→2=MI1+L2I2.
Si l’un des courants varie, les flux φ1et φ2varient aussi et des force ´electromotrices apparaissent dans
les deux circuits.
Remarque : on peut montrer que
M2≤L1L2.
Dans certaines situations, toutes les lignes de champ magn´etique cr´e´ees pas un des circuit passent `a
travers l’autre. On dit que le couplage entre les deux circuits est serr´e, et on peut alors montrer (je ne le
ferai pas ici) que dans ce cas particulier,
M2=L1L2.
Le ph´enom`ene d’induction mutuelle peut ˆetre la source de probl`emes en ´electronique : un courant
passant dans un fil ou une piste de circuit imprim´e peut en induire un autre dans un fil voisin, et
perturber le signal qu’on essaie d’y faire passer. C’est le ph´enom`ene de diaphonie ou cross-talk en
anglais.
Exemple de calcul (exercice 2 du TD 6)
On consid`ere une bobine torique `a section carr´ee, de rayon int´erieur Ret de rayon ext´erieur R+a
et de hauteur a. Deux circuits C1et C2, parcourus par des courants d’intensit´e I1et I2, sont enroul´es
sur cette bobine, l’un fait N1tours et l’autre N2tours autour de la section du tore. En utilisant les
sym´etries du probl`eme, on montre que le champ magn´etique ~ B1cr´e´e par I1`a l’int´erieur de la bobine est
perpendiculaire `a la section du tore (le champ est orthoradial). Grˆace au th´eor`eme d’Amp`ere, on calcule
facilement la norme du champ magn´etique `a la distance rde l’axe du tore,
B1(r) = N1
µ0I1
r
Le flux magn´etique `a travers une spire de C1est alors donn´e par
φ=ZZ ~ B1·d~ S=ZR+a
R
dr Za
0
dz N1
µ0I1
2πr =N1
aµ0I1
2πln R+a R
Comme le circuit C1poss`ede N1spires, le flux φ1→1est donn´e par
φ1→1=N2
1
aµ0I1
2πln R+a R
et le coefficient d’auto-induction vaut
L1=N2
1
aµ0
2πln R+a R
3

On montre de mˆeme que
L2=N2
2
aµ0
2πln R+a R
et
M=N1N2
aµ0
2πln R+a R
On remarque que l’on est dans la situation o`u M2=L1L2.
Transformateurs
Ce dispositif (deux enroulements ´electriques autour d’un mˆeme tore) peut ˆetre utilis´e pour ´elever ou
abaisser la valeur d’une tension alternative, c’est le principe du transformateur. En supposant que les
r´esistances des fils peuvent ˆetre n´eglig´es, les tensions aux bornes des deux circuits s’´ecrivent
u1=L1
di1
dt +Mdi2 dt et u2=L2
di2
dt +Mdi1 dt
soit, en combinant ces deux ´equations pour ´eliminer di1/dt,
u1
L1
=u2
M−L2 M
di2
dt +M L1
di2
dt
ou encore
u1=L1
Mu2+M2−L1L2 M
di2
dt
Avec la condition M2=L1L2, ceci se simplifie en
u1=L1
Mu2
soit, avec les expressions obtenues pour L1et M,
u1=N1
N2
u2
La tension aux bornes de chaque circuit est proportionnelle au nombre de spires de ce circuit. On peut
ainsi ´elever une tension (passer d’une tension u2`a une tension u1plus ´elev´ee) en choisissant N1> N2ou
au contraire abaisser une tension en choisissant N1< N2.
Il existe aussi des transformateurs dans lesquels N1=N2, qui recopient simplement la tension u2
en u1. On les appelle des transformateurs d’isolement, leur but est d’utiliser la tension u2dans un circuit
qui est compl`etement d´econnect´e ´electriquement du premier, par exemple pour des raisons de s´ecurit´e
´electrique.
Attention, tout ceci n’est valable que pour des tensions alternatives. Si les tensions sont continues, le
ph´enom`ene d’induction, `a la base du fonctionnement des transformateurs, n’a pas lieu.
ILire le d´ebut de l’article Transformateur ´electrique dans Wikipedia.
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