Électromagnétisme
publicité
Électromagnétisme PHYS 301 Complément de cours 2 Ce complément résume ce qui a été dit au dernier cours à propos de l’auto-induction et de l’induction mutuelle, ainsi que certaines notions vues en TD par un des groupes. Auto-induction Considérons une spire fermée décrivant un contour C , dans laquelle on fait passer un courant I(t) dont l’intensité peut dépendre du temps. Ce courant est la source d’un champ magnétique dans tout l’espace. En particulier, le flux φ du champ magnétique à travers une surface S s’appuyant sur C est généralement non nul : ZZ ~ · dS ~ 6= 0 . φ≡ B S ~ dont il est question ici est celui créé par le courant I circulant dans la spire, alors Attention, le champ B qu’auparavant dans le cours nous avions considéré un champ magnétique externe, créé par un aimant ou ~ est proportionnel à l’intensité I circulant dans la spire. Le une autre bobine placée à côté. Le champ B flux φ est donc lui aussi proportionnel à l’intensité I. Le coefficient de proportionnalité entre ces deux grandeurs est appelé inductance et notée L : φ = LI C’est une grandeur positive, qui se mesure en henry (symbole H) dans le Système International d’unités. Elle dépend de la géométrie du circuit et de la nature du milieu qui l’entoure (pour une géométrie donnée, elle a une valeur différente si la spire est située dans l’air ou dans un milieu magnétique, par exemple). Si le courant I varie au cours du temps, alors le flux φ aussi et d’après le phénomène d’induction, cette variation de φ est responsable d’une force électromotrice e dans la spire, e=− dI dφ = −L dt dt où la dernière égalité est valable quand la valeur de L est constante, ce qui est le cas quand la spire ne se déforme pas. Ce phénomène est appelé auto-induction : la variation du courant I dans un circuit est responsable de l’apparition d’une force électromotrice dans ce même circuit, qui à son tour influe le courant I. Conséquence en électrocinétique Si l’on place une telle spire dans un circuit électrique, on obtient un composant électrique appelé bobine d’induction ou, par abus de langage, inductance. Ce composant se comporte comme un générateur dont la f.é.m e est donnée par l’expression précédente. Attention, en électrocinétique on utilise plus souvent la convention récepteur (par opposition à la convention générateur), qui consiste à compter positivement les tensions si elles sont orientées en sens inverse du courant (voir les flèches sur le schéma). Avec cette convention, la tension aux bornes de la bobine s’écrit U =L dI dt Cette relation a des conséquences importantes en électrocinétique. Illustrons-le par un exemple. Considérons un circuit constité d’un générateur de tension continue E, d’une résistance R et d’une bobine d’inductance 1 UR I E R I R L L générateur allumé UL générateur éteint L. Si la tension est continue, le courant est constant, dI/dt = 0 et la f.é.m d’autoinduction est nulle : tout se passe comme si la bobine était absente et le courant vaut I = E/R. Si maintenant (disons à t = 0) on coupe l’alimentation du générateur (E = 0), le courant se met à varier (il a envie de s’annuler) et du coup la bobine agit comme un générateur qui ralentit la décroissance du courant, l’empêchant de tomber d’un coup à une valeur nulle. Montrons-le. À t > 0, la loi des mailles appliquée au circuit indique que UR + UL = 0 soit RI + L dI = 0. dt C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, dont la solution s’écrit (en tenant compte de la condition initiale I = E/R à t = 0) I(t) = E −t/τ e R avec τ ≡ L/R . Lorsqu’on coupe le générateur, l’intensité ne devient pas instantanément nulle, elle tend exponentiellement vers zéro, avec une constante de temps τ = L/R. En présence d’éléments inductifs, le courant ne peut pas être annulé d’un coup. Ceci se manifeste parfois de façon spectaculaire, quand par exemple on essaie d’éteindre un transformateur ou un moteur électrique en tirant sur la prise : le courant veut rester non nul encore un peu et une étincelle peut se produire au niveau de la prise, matérialisant le passage forcé du courant à travers l’air. I Lire l’article Bobine (électricité) dans Wikipedia. Induction mutuelle La notion d’auto-induction peut être généralisée au cas de plusieurs circuits, ce qui conduit à une application super-importantissime : les transformateurs. Considérons deux spires C1 et C2 , parcourues par ces courants I1 (t) et I2 (t). Le champ magnétique créé par I1 est responsable d’un flux magnétique φ1→1 à travers S1 et d’un flux magnétique φ1→2 à travers S2 . Ces flux sont proportionnels à l’intensité I1 et on écrit φ1→1 = L1 I1 et φ1→2 = M12 I1 , où L1 désigne l’auto-inductance du circuit C1 (c’est la grandeur dont nous avons parlé ci-dessus) et M12 le coefficient d’inductance mutuelle des deux circuits. Ce coefficient dépend de la géométrie des deux circuits, de leur espacement et de la nature du milieu dans lequel ils sont plongés. De même, le champ magnétique créé par I2 est responsable des flux magnétiques φ2→1 = M21 I2 et φ2→2 = L2 I2 . On peut montrer que M12 = M21 et cette grandeur sera plutôt notéer M dans la suite, pour alléger les notations. Le flux traversant S1 s’écrit finalement φ1 = φ1→1 + φ2→1 = L1 I1 + M I2 2 et de même pour le flux traversant S2 φ2 = φ1→2 + φ2→2 = M I1 + L2 I2 . Si l’un des courants varie, les flux φ1 et φ2 varient aussi et des force électromotrices apparaissent dans les deux circuits. Remarque : on peut montrer que M 2 ≤ L1 L2 . Dans certaines situations, toutes les lignes de champ magnétique créées pas un des circuit passent à travers l’autre. On dit que le couplage entre les deux circuits est serré, et on peut alors montrer (je ne le ferai pas ici) que dans ce cas particulier, M 2 = L1 L2 . Le phénomène d’induction mutuelle peut être la source de problèmes en électronique : un courant passant dans un fil ou une piste de circuit imprimé peut en induire un autre dans un fil voisin, et perturber le signal qu’on essaie d’y faire passer. C’est le phénomène de diaphonie ou cross-talk en anglais. Exemple de calcul (exercice 2 du TD 6) On considère une bobine torique à section carrée, de rayon intérieur R et de rayon extérieur R + a et de hauteur a. Deux circuits C1 et C2 , parcourus par des courants d’intensité I1 et I2 , sont enroulés sur cette bobine, l’un fait N1 tours et l’autre N2 tours autour de la section du tore. En utilisant les ~ 1 créé par I1 à l’intérieur de la bobine est symétries du problème, on montre que le champ magnétique B perpendiculaire à la section du tore (le champ est orthoradial). Grâce au théorème d’Ampère, on calcule facilement la norme du champ magnétique à la distance r de l’axe du tore, B1 (r) = N1 µ0 I1 r Le flux magnétique à travers une spire de C1 est alors donné par ZZ φ= ~ 1 · dS ~= B Z R+a a Z dr R dz N1 0 aµ0 I1 µ0 I1 = N1 ln 2πr 2π Comme le circuit C1 possède N1 spires, le flux φ1→1 est donné par aµ0 I1 R+a φ1→1 = N12 ln 2π R et le coefficient d’auto-induction vaut L1 = N12 aµ0 ln 2π 3 R+a R R+a R On montre de même que L2 = aµ0 N22 ln 2π et M = N1 N2 aµ0 ln 2π R+a R R+a R On remarque que l’on est dans la situation où M 2 = L1 L2 . Transformateurs Ce dispositif (deux enroulements électriques autour d’un même tore) peut être utilisé pour élever ou abaisser la valeur d’une tension alternative, c’est le principe du transformateur. En supposant que les résistances des fils peuvent être négligés, les tensions aux bornes des deux circuits s’écrivent u1 = L1 di1 di2 +M dt dt et u2 = L2 di2 di1 +M dt dt soit, en combinant ces deux équations pour éliminer di1 /dt, u1 L2 di2 M di2 u2 − + = L1 M M dt L1 dt ou encore u1 = L1 M 2 − L1 L2 di2 u2 + M M dt Avec la condition M 2 = L1 L2 , ceci se simplifie en u1 = L1 u2 M soit, avec les expressions obtenues pour L1 et M , u1 = N1 u2 N2 La tension aux bornes de chaque circuit est proportionnelle au nombre de spires de ce circuit. On peut ainsi élever une tension (passer d’une tension u2 à une tension u1 plus élevée) en choisissant N1 > N2 ou au contraire abaisser une tension en choisissant N1 < N2 . Il existe aussi des transformateurs dans lesquels N1 = N2 , qui recopient simplement la tension u2 en u1 . On les appelle des transformateurs d’isolement, leur but est d’utiliser la tension u2 dans un circuit qui est complètement déconnecté électriquement du premier, par exemple pour des raisons de sécurité électrique. Attention, tout ceci n’est valable que pour des tensions alternatives. Si les tensions sont continues, le phénomène d’induction, à la base du fonctionnement des transformateurs, n’a pas lieu. I Lire le début de l’article Transformateur électrique dans Wikipedia. 4
