Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels
On considère dans ce qui suit un espace vectoriel Esur un corps K.
1 Sommes et sommes directes de sous espaces vec-
toriels
Proposition et définition :
Soit (Fi)i∈Iune famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. Le sous
espace de Eengendré par par la réunion des Fiest l’ensemble des sommes
Pi∈Ixi, où (xi)iest une famille presque nulle d’éléments de Mtelle que
xi∈Fipour tout i∈I. Il est noté Pi∈IFiet appelé la somme des Fi.
Preuve :
Soit Hle sous espace engendré par la réunion des Fi. Si (xi)i∈Iest une famille
presque nulle d’éléments de Mtelle que ∀i∈I xi∈Fi, alors
∀i∈I xi∈ ∪i∈IFidonc Pi∈Ixi∈Hpar conséquent,
I={Pi∈Ixi/∀i∈I xi∈Fi} ⊂ H. D’autre part Iest un sous espace vectoriel
qui contient les Fidonc I⊂H. Si Jest un sous espace vectoriel contenant les
Fi, il contient Idonc Iest le plus petit tel et I=H.
Définition :
Soit (fi)i∈Iune famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. On dit
que la somme F=Pi∈IFiest directe si tout vecteur vde Fs’écrit de ma-
nière unique sous la forme d’une somme à support fini Pi∈Iuioù pour tout i
de I,ui∈Fi. La somme Fest alors notée F=Li∈IFi.
Remarque :
Dans le cas d’une famille finie F1, . . . , Fnde sous espaces vectoriels de E, on
note F=Ln
i=1 Fi=F1L. . . LFnla somme des Fisi elle est directe. On dit
également dans ce cas que F1,F2,. . .,Fnsont en somme directe. Tout vecteur v
de Fs’écrit alors de manière unique v=Pn
i=1 uioù pour tout i,ui∈Fi. On dit
que uiest la composante de usur Firelativement à cette somme directe.
Proposition :
Soit (Fi)i∈Iune famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. La
somme F=Pi∈Iest directe ssi pour toute famille (ui)i∈Ipresque nulle
telle que ui∈Fipour tout i∈I,Pi∈Iui= 0 ⇒ ∀i∈I, ui= 0.
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Preuve :
Si F=Li∈IFialors Pi∈Iui= 0 ⇒ ∀i∈I, ui= 0 d’après l’unicité de la
décomposition. Réciproquement, si F=Li∈IFiet
(Pi∈Iui= 0 ⇒ ∀i∈I, ui= 0) alors, supposons que x∈Fs’écrive
x=Pi∈Ixi=Pi∈Iviavec xi, vi∈Ipour tout i∈I. Alors Pi∈I(xi−vi) = 0
donc ∀i∈I, xi=vid’où l’unicité de la décomposition.
Proposition :
Soient Fet Gdeux sous espaces vectoriels de E. La somme F+Gest directe
ssi F∩G={0}.
Preuve :
Si la somme F+Gest directe, soit x∈F∩Get x=x1+x2avec x1∈Fet
x2∈Gla décomposition de x. Comme x∈F, par unicité e la décomposition,
x2= 0 et de même puisque x∈G,x1= 0 donc x= 0. Réciproquement, si
F∩G={0}, soit x∈F+Get x=x1+x2=y1+y2avec x1, y1∈Fet
x2, y2∈Gdeux décompositions. Alors x1−y1=x2−y2.
x1−y1∈F⇒x2−y2∈Fet x2−y2∈G⇒x1−y1∈G. Donc
x1−y1∈F∩Gce qui implique que x1=y1et x2−y2∈F∩Gqui implique
que x2=y2.
Proposition :
Si la somme Pi∈IFiest directe, et si Jest une partie de I, alors Pi∈JFiest
directe. En particulier pour tous indices distincts iet j,Fi∩Fj={0}.
Preuve :
Contenue dans la preuve de la proposition précédente.
Remarque :
La réciproque est fausse. Pour montrer que F1, . . . , Fnsont en somme directe,
avec n≥3, il ne suffit pas de vérifier que pour tous indices iet jdistincts,
Fi∩Fj={0}.
Proposition :
Soient F1, . . . , Fnpour n≥3des sous espaces vectoriels de E. Alors la
somme F1+. . . +Fnest directe ssi pour tout i∈ {2; . . . ;n}, on a Fi∩(F1+
. . . +Fi−1) = {0}.
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2 Exemples
2.1 Sous espaces suppplémentaires
Définition :
Soient Fet Gdeux sous espaces vectoriels de E. On dit que Fet Gsont
supplémentaires dans Esi E=FLG. Cela signifie que tout ude Es’écrit
de manière unique u=v+wavec v∈Fet w∈G.
Théorème :
Soit Fun sous espace vectoriel de E. Alors Fpossède au moins un supplé-
mentaire Gdans E.
Preuve :
Cas où Eest de dimension finie nuniquement.
Soit {e1;. . . ;ep}une base de F, on la complète en une base {e1;e2;. . . ;en}de E
et on considère G=vect{ep+1;. . . ;en}. On a de manière évidente E=FLG.
Remarque :
Un même sous espace Fde Epossède en général une infinité de
supplémentaires dans E. Il y a cependant deux cas d’unicité :
– Si F=E, le seul supplémentaire de Fdans Eet {0}.
– Si F={0}, le seul supplémentaire de Fdans Eest Elui-même.
Exemple :
– Dans l’espace vectoriel Mn(K)des matrices carrées d’ordre nà coefficients
dans K, les sous espaces Sn(K)et An(K)formés respectivement des matrices
symétriques et antisymétriques sont supplémentaires.
– Dans l’espace vectoriel F(R;R)des applications de Rdans R, les sous
espaces P(R;R)et A(R;R)formés respectivement des donctions paires et
impaires sont supplémentaires.
Proposition :
Si pest un projecteur de E(c’est à dire un endomorphisme de Etel que
p◦p=p) alors E=Ker(p)LIm(p). L’application pest la projection sur
Im(p)parallèlement à Ker(p).
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Preuve :
Soit x∈E, alors x=x−p(x) + p(x)avec p(x)∈Im(p)et x−p(x)∈ker(p).
En outre, si x∈ker(p)∩Im(p),x=p(y)avec y∈Eet
p(x) = 0 = p◦p(y) = p(y) = x.
Proposition :
Si sest un endomorphisme involutif de E(c’est à dire si s◦s=id) alors
E=Inv(s)LOpp(s)où Inv(s) = {x∈E / s(x) = x}et Opp(s) =
{x∈E / s(x) = −x}. L’application sest la symétrie par rapport à Inv(s)
parallèlement à Opp(s).
Preuve :
Il est évident que Inv(s)∩Opp(s) = {0}.
Proposition et définition :
Soit Hun sous espace vetoriel de E. Les conditions suivantes sont équiva-
lentes :
– Il existe un vecteur udans E−Htel que E=KuLH.
– Pour tout vecteur udans E−H,E=KuLH.
– il existe une forme linéaire non nulle ftelle que H=Ker(f).
Si ces conditions sont réalisées ont dit que Fest un hyperplan de E.
Preuve :
– Si E=KuLH, soit v∈E−H. Alors v=λu +havec h∈Het λ∈K∗.
On a donc u=λ−1(v−h). Soit x∈E, alors x=x1u+x2avec x1∈Ket
x2∈H. D’où x=λ−1x1v−λ−1h+x2∈Kv+H. Par conséquent,
E=Kv+H. Si x∈Kv∩H,x=βv =βλu +βh. On a donc
βλu +βh ∈Het h∈Hdonc βλu ∈Hce qui, puisque u /∈et λ6= 0 impose
β= 0 et achève de prouver que E=KvLH.
– Si E=KuLH, soit fla forme linéaire définie par f(λu +h) = λ. Alors f
est une forme linéaire non nulle telle que ker(f) = H.
– Si fest une forme linéaire non nulle, soit xtel que f(x)6= 0. On note
H=ker(f). On sait que Hest un sous espace vectoriel de E.x /∈h. Soit
u∈Kx∩H. On a u=λx avec λ∈K∗et puisque u∈H, on a
f(u) = λf(x) = 0 d’où λ= 0 et u= 0. Soit y∈E.
f(y−f(y)f(x)−1x) = f(y)−f(y)f(x)−1f(x) = 0 donc
y−f(y)f(x)−1x∈Het y=y−f(y)f(x)−1x+f(y)f(x)−1x∈H+Kx.
Finalement, E=Kx+H.
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