Corrigé

Licence informatique S4
Maths pour l’Info
Examen partiel du 14 mars 2016
Corrig´e
Dur´ee 2h
Probl`eme I. Notions de base. 6 pts
1)1 pt Enoncer le th´eor`eme de division euclidienne dans Z. Utiliser l’algorithme
d’Euclide pour calculer le pgcd de 5435 et 16. Que vaut le pgcd de -5435 et 16?
Enonc´e :soit n∈Zet m∈Z6= 0, il existe un unique couple de nombres (q, r) tel
que n=qm +ret 0 ≤r < |m|.
Le PGCD de deux nombres aet best le plus grand diviseurs de aet b. C’est donc
un nombre positif. Il est obtenu par l’algorithme d’Euclide.
5435 = 16 ×339 + 11
16 = 11 ×1+5
11 = 5 ×2+1
−5435 = 16 ×(−340) + 5
16 = 5 ×3+1
Le PGCD de 5435 et 16 est ´egal `a 1 : ils sont premiers entre eux. Donc le PGCD
de - 5435 et 16 est ´egal aussi ´egal `a 1.
2)1 pt Donner la relation entre le pgcd et le ppcm de deux entiers relatifs. En
d´eduire le ppcm de -5435 et 16.
(a∨b) (a∧b) = |ab|
ce qui implique que le ppcm de dat est ´egal `a 5435 ×16.
3)1 pt Quel est le premier chiffre dans l’´ecriture hexad´ecimale (en base 16) de
5435 ?
L’´ecriture hexad´ecimale de 5435 est a0a1a2. . . ak
16, avec
5435 = a0+a1(16) + a2(16)2+. . . ak(16)k
akest le pgcd de 5435 et 16, il est donc ´egal `a 1.
4)1 pt Utiliser l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer l’´ecriture hexad´ecimale de
5435.
5435 = 16 ×(339) + 11
339 = 16 ×21+3
21 = 16 ×1+5
1 = 16 ×0+1
1

5435 = 11 +3(16) + 5(16)2+1(16)3
Le r´esultat est 153Bo`u Bd´esigne 11.
5)1 pt Enoncer le th´eor`eme de d´ecomposition en facteurs premiers.
´
Enonc´e : Soit n∈Zun nombre entier relatif, alors il existe un ensemble fini unique
de nombres premiers p1< ... < pnet un ensemble unique de nombres entiers stricte-
ment positifs α1, ..., αntels que n=εpα1
1....pαn
n, o`u ε=±1.
Pour Nentiers p1,· · · , pN>1 et Nentiers α1,· · · , αN>0, d´eterminer le nombre
de diviseurs de p=pα1
1pα2 2·pαN
N.
τ=QN
j=1(αj+ 1). Dans le cas N= 2 les repr´esenter sur un diagramme de Hasse.
6)1 pt D´ecomposer en facteurs premiers 900 et 16. D´eterminer leur pgcd et le
ppcm.
900 = 22×32×52,16 = 24,900 ∧16 = 22,900 ∨16 = 24×32×52.
Probl`eme II. Equations en nombres entiers. 5 pts
1)1 pt Soit l’´equation ax +by =c. R´esumer l’´etude g´en´erale : existence, nombre
de solutions, comment les obtenir.
´
Enonc´e : Soit d=a∧b. Si cn’est pas multiple de d, il n’y a pas de solution
enti`ere. Si cest multiple de d, les solutions de ax +by =csont de la forme
(uc −bk)/d, (vc +ak)/d) o`u au +bv =det kparcourt Z.
Etudier ensuite les ´equations suivantes en suivant ce protocole.
2)2 pts 5435x+ 16y= 5.
Puisque 5435 et 16sont premiers entre eux, on cherche uet vtels que 5435u+16v= 1
(Bezout), soit u= 3 et v=−1019, puis (x, y) = (5u−16 k, 5v+ 5435 k)
3)2 pts 17x−40y= 1.
Ici c’est plus simple, de mˆeme 17 et −40 sont premiers entre eux, on trouve (u, v) =
(−7,−3) et (x, y) = (−7,−3) + k(40,17).
Probl`eme III. Autour du th´eor`eme d’Euclide. 6 pts
1)1 pt Enoncer le th´eor`eme d’Euclide.
´
Enonc´e : Il existe une infinit´e de nombres premiers.
2)2 pts L´eg`ere variation sur la preuve du cours.
a) Soit nun entier ≥3. Montrer que n!−1 a un diviseur ppremier. Ceci provient
du lemme du cours : tout entier >1 est divisible par un nombre premier.
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b) Montrer par l’absurde que p>n.
Supposons que p≤n. Alors pdivise n!, ce qui est impossible car il divise
n!−1.
c) En d´eduire que pour tout entier n≥3, il existe un entier ppremier tel que
n<p<n!.
d) Conclure. On finit comme dans la d´emonstration du cours.
3)3 pts On veut montrer que l’ensemble Xdes entiers premiers de la forme
4n+ 3 est infini. On proc`ede par l’absurde et on suppose que Xest fini : X=
{p1, p2· · · pN}.
(a) Montrer que le produit de nombres entiers de la forme 4n+ 1 est de la forme
4n+ 1.
On proc`ede par r´ecurrence sur le nombre de facteurs, il suffit donc de voir que
c’est vrai pour deux facteurs
(4n+ 1) ×(4m+ 1) = 4(4mn +m+n)+1.
(b) Montrer que le nombre M= 4p1p2· · · pN−1 est de la forme 4n+ 3.
Encore par r´ecurrence sur le nombre de facteurs.
Initialisation 4(4n+ 3) −1 = 4(4n+ 2) + 3
4p1p2· · · pN−1 = (4p1p2· · · pN−1−1)
| {z }
4n+3
pN
|{z}
4m+3
+pN−1
| {z }
4m0+2
= 4(4mn+3m+3n+2)+3
(c) Montrer par l’absurde grˆace au (a) qu’il existe un diviseur premier de Mde la
forme 4n+ 3. Puisque tout nombre entier non nul admet un diviseur premier,
Madmet un diviseur premier. Il ne peut ˆetre pair puisque Mest impair. Donc
tout diviseur premier de Mest impair, donc de la forme 4n+ 1 ou 4n+ 3.
Supposons qu’il n’ait aucun diviseur premier de la forme 4n+ 3. Donc tous
ses diviseurs premiers sont de la forme 4n+ 1. Par (a)Mest donc de la forme
4n+ 1, ce qui contredit le fait que Mest de la forme 4n+ 3.
(d) Conclure. On conclut comme dans le cours : aucun des pjne peut diviser M,
on a donc cr´e´e un nouvel ´el´ement dans X.
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