Exercice de Probabilités Série 2 : Introduction aux probabilités CPP 2ème Année Promo 12 (2005/2006) Probabilités : Série 2 CPP 2ème Année (2005/2006) 1 Exercice 1 Une urne U1 contient deux boules noires et une boule blanche. Une urne U2 contient deux boules blanches et une boule noire. On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire une boule dans cette urne. 1. 2. 3. 4. Faire un arbre. Calculer la probabilité de choisir l'urne U1 et de tirer une boule blanche. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche. On a tiré une boule blanche. Quelle est la probabilité que cette boule provienne de l'urne U1 . Exercice 2 On lance un dé (bien équilibré) six fois de suite. On note S l'évènement "obtenir au moins un 6 lors des six lancers". 1. Décrire S . 2. Calculer P (S). Exercice 3 (Introduction à l'espérance) Un automobiliste eectue un parcours sur lequel se trouvent dix feux tricolores. Ces feux fonctionnent de manière autonome et indépendante et possèdent chacun le même cycle : vert 25 secondes, orange 5 secondes, rouge 30 secondes. 1. Etant donné un feu tricolore, on note S l'évènement "l'automobiliste passe au feu vert". Calculer P (S). 2. Quelle est la probabilité que sur ce parcours (comportant dix feux tricolores) l'automobiliste rencontre exactement six feux verts ? 3. Quelle est la probabilité que sur son parcours l'automobiliste ne rencontre que des feux verts ? 4. Calculer le nombre moyens de feux verts que l'automobiliste rencontre sur son parcours. Probabilités : Série 2 CPP 2ème Année 2 (2005/2006) Exercice 4 Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B , AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d'un individu possède ce facteur, il est dit Rhésus positif (noté Rh+ ) ; s'il ne possède pas ce facteur, il est dit de Rhésus négatif (noté Rh-). Sur une population P , les groupes sanguins se répartissent de la manière suivante : A B 40% AB 10% O 5% 45% Pour chaque groupe, la proportion d'individus possédant ou non le facteur Rhésus se répartit ainsi : Groupe Rh+ Rh- A 82% 18% B 81% 19% AB 83% 17% O 80% 20% Un individu ayant un sang du groupe O et de Rhésus négatif est appelé donneur universel. On choisit un individu au hasard dans la population P . Calculer la probabilité des évènements suivants : 1. O = "l'individu a un sang du groupe O" 2. DU = "l'individu est un donneur universel" 3. Rh = "l'individu a un sang de Rhésus négatif" 4. On suppose dans cette question que l'individu a du sang de Rhésus négatif. Quelle est la probabilité que cet individu soit du groupe O ? Exercice 5 Un jeu de cartes comprend 32 cartes. On en distribue 4 à chacun des joueurs X et Y . Puis on retourne la carte suivante. Elle indique la couleur de la carte qui sera l'atout. On retourne alors les 3 cartes qui suivent et on constitue un talon avec les 20 cartes qui restent. X a 2 atouts. Quelle est la probabilité que Y en ait plus que lui ? Exercice 6 Un joueur est en présence de 2 urnes A et B . Dans l'urne A, il y a 3 boules blanches et 5 boules rouges. Dans l'urne B , il y a 7 boules blanches et 5 boules rouges. Il dispose d'autre part de 2 dés non pipés qu'il lance une fois. Si le total des points obtenu est inférieur à 7, il choisit l'urne A. Si ce toal est strictement supérieur à 7, il choisit l'urne B . Il tire alors dans l'urne choisie successivement 4 boules sans remise. 1. Calculer la probabilité qu'il obtienne 2 boules blanches et 2 boules rouges. 2. Quelle est la probabilité qu'il n'obtienne que des boules rouges ? 3. Le joueur n'obtient que des boules rouges. Quelle est la probabilité que l'urne A qui soit choisie ? 4. Comment modier la condition du choix des urnes, à partir du total des points obtenus, pour que la probabilité du "3." soit inférieure à 13 ? Probabilités : Série 2 CPP 2ème Année (2005/2006) 3 Exercice 7 Dans un sac se trouvent 10 jetons : 8 noirs et 2 blancs. Les jetons sont indiscernables au toucher. 1. On tire au hasard et simultanément 2 jetons du sac. (a) Quelle est la probabilité des évènements suivants : i. A : "Aucun jeton blanc n'est tiré" ii. B : "Un jeton blanc exactement est tiré" S S S (b) On note A B le contraire de A B . Calculer la probabilité de A B ? 2. On tire au hasard et successivement 10 jetons en remettant à chaque tirage le jeton dans le sac. Quelle est la probabilité des évènements suivants : (a) C : "2 jetons blancs exactement sont tirés" (b) D : "Seul le premier jeton tiré est blanc" (c) E : "Au moins un des jetons tiré est blanc" (d) F : "Au plus un des jetons tiré est blanc" 3. Combien de jetons faut-il tirer du sac, successivement et avec remise, pour que la probabilité d'obtenir un jeton blanc soit supérieure à 90% ? Exercice 8 Deux pièces de monnaie amènent pile avec les probabilités respectives p1 et p2 et face avec les probabilités respectives q1 = 1 − p1 et q2 = 1 − p2 . (0 < p1 < 1, 0 < p2 < 1). Au départ, on choisit une des deux pièces au hasard. Puis on joue le premier lancer avec la pièce choisie. Si le résultat est pile, on rejoue avec la même pièce. S'il est face, on change de pièce pour le deuxième lancer. On itère ce processus et l'on joue une suite de lancers en conservant la même pièce si le lancer amène pile, ou en changeant de pièce s'il amène face. 1. Quelle est la probabilité que l'on joue le deuxième lancer avec la pièce numéro 1 ? 2. Sachant que l'on a joué le deuxième lancer avec la pièce numéro 1, quelle est la probabilité de jouer le quatrième lancer avec la pièce numéro 2 ? 3. On joue le deuxième lancer avec la pièce numéro 1. Quelle est la probabilité que le premier lancer ait été eectué avec la pièce numéro 2 ? 4. (a) Quelle est la probabilité que, pour la première fois, on joue avec la pièce numéro 1 au nième lancer ? (b) Calculer la somme des probabilités précédentes lorsque n varie de 1 à +∞. 5. Va-t-on nir par jouer avec la pièce numéro 1 ?