Le pendule sphérique

Le pendule sphérique
par Gilbert Gastebois
1. Notations
Les vecteurs sont notés en
gras
L0 Longueur du pendule
simple
T0 Période du pendule
θ Élongation angulaire du
pendule
df/dt est notée f ' et d²f/dt²
est notée f ''
Un pendule sphérique est un pendule qui n'oscille pas dans un plan, mais sur une sphère de
rayon L0 centrée sur l'axe du pendule.
2. Mouvement du pendule simple pour les très petits angles
2.1 Équations différentielles du mouvement
m a = m g + T
T = m v²/L0 + m g cosθ
Si θ est petit, on n'a plus de mouvement significatif sur Oz, donc
z = - L0 , z' = 0 , z'' = 0 et cos θ = 1 - θ²/2 = 1.
De plus d'après la conservation de l'énergie mécanique,
v²/L0 = 2 g ( cosθ - cosθm ) = g ( θm² - θ² ) << g donc T = m g
On pose ω0² = g/L0 ( ω0 est la pulsation du pendule dans un repère galiléen )
x'' = - T/m x/l = - g x/L0 = - ω0² x
y'' = - T/m y/l = - g y/L0 = - ω0² y
z'' = 0
Équations différentielles pour les très petits angles
x'' = - ω0² x
y'' = - ω0² y
2.2 Solution
x'' = - ω0² x donc x = Xm sin(ω0t + φ1 )
y'' = - ω0² y donc y = Ym sin(ω0t + φ2)
A t = 0, x = r0, y = 0, vx = 0 et vy = v0
x = Xm sinφ1 = x0 donc φ1= π/2 et x = r0 cos ω0t
y = Ym sinφ2 = 0 donc φ1= 0 et y = Ym sin ω0t
vx = x' = - r0 ω0 sin ω0t
vy = y' = Ym ω0 cos ω0t

A t = 0, vy = Ym ω0 = v0 donc Ym = v0/ω0 = v0/ω0 = v0( L0/g )1/2
Les solutions sont donc :
x = r0 cos ω0t
y = v0/ω0 sin ω0t avec ω0 = ( g/L0 )1/2 et T0 = 2π/ω0 = 2π ( L0/g )1/2
(x/r0 )² + ( y ω0/v0 )² = 1 de la forme : x²/a² + y²/b² = 1 Équation d'une ellipse de demi-
axes a et b
Le mouvement du pendule est donc une ellipse de demi-axes r0 et v0( L0/g )1/2
Remarque : Cette solution n'est valable que pour les très petits angles. Pour des angles un
peu moins petits, l'ellipse précesse lentement. ( Cf 3.3 )
3. Mouvement général du pendule simple
3.1 Équations différentielles en coordonnées cartésiennes
m a = m g + T
T = m v²/L0 + m g cosθ ( cosθ = - z/L0 )
T = m v²/L0 - m g z/L0 = m/L0 (( vx² + vy² + vz²) - g z)
ax = x'' = Tx /m = - (( vx² + vy² + vz²) - g z) x/L0²
ay = y'' = Ty /m = - (( vx² + vy² + vz²) - g z) y/L0²
az = z'' = - g + Tz/m = - g - (( vx² + vy² + vz²) - g z) z/L0²
La solution ne peut être que numérique et donne un mouvement elliptique dont l'axe tourne
uniformément dans le sens du lancement initial. L'ellipse ne se referme pas, on a une dérive
globale de l'axe de l'ellipse.
La vitesse angulaire de la dérive augmente avec l'amplitude angulaire de l'oscillation et avec
le rapport des deux demi-axes de l'ellipse.( Cf 3.3)

3.2 Équations différentielles en coordonnées sphériques
3.2.1 Approche newtonienne
r = L0
En coordonnées sphériques :
x = L0 sinθ cosφ
y = L0 sinθ sinφ
z = - L0 cosθ
x' = L0 cosθ cosφ θ' - L0 sinθ sinφ φ'
y' = L0 cosθ sinφ θ' + L0 sinθ cosφ φ'
z' = L0 sinθ θ'
x'' = - L0 sinθ cosφ θ'² + L0 cosθ cosφ θ'' - 2 L0 cosθ sinφ θ' φ' - L0 sinθ cosφ φ'² -
L0 sinθ sinφ φ''
y'' = - L0 sinθ sinφ θ'² + L0 cosθ sinφ θ'' + 2 L0 cosθ cosφ θ' φ' - L0 sinθ sinφ φ'² +
L0 sinθ cosφ φ''
z'' = L0 cosθ θ'² + L0 sinθ θ''
m a = m g + T donc T = m a - mg = -T OM
T parallèle à OM donc T X OM = 0 ou ( a - g ) X OM = 0
( X est le produit vectoriel )
donc
x'' x y'' z - z'' y + g y ( 1 )
y'' X y = z'' x - g x - x'' z ( 2 )
z'' - g z x'' y - y'' x ( 3 )
L'équation ( 3 ) donne après remplacement de x'' et z'' et simplification ( heureusement
beaucoup de termes se simplifient !! ) :
φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sin θ
L'équation ( 1 ) donne après remplacement de y'' , z'' et φ'' trouvé précédemment et après
simplification ( ça se simplifie encore beaucoup .. ) :
θ'' = - g/L0 sinθ + sinθ cosθ φ'²
On a donc les trois relations :
r = L0
θ'' = - g/L0 sinθ + sinθ cosθ φ'²
φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ
Ces deux équations semblent beaucoup plus simples que les équations cartésiennes, mais
elles ne sont pas plus solubles...
Il faut les résoudre numériquement.
3.2.2 Approche Lagrangienne
Le lagrangien L est la différence entre les énergies cinétique et potentielle.
La deuxième loi de Newton ou le principe de moindre action entraîne :
d(dL/dq')/dt - dL/dq =0 ( ici, q est θ ou φ q et q' sont considérés comme deux
variables indépendantes )
L = Ec - Ep = 1/2 mv² + mgL0 cosθ = 1/2 m( vθ² + vφ² ) + mgL0 cosθ
vθ = L0 θ' et vφ = L0 sinθ φ'
L = 1/2 m( L0² θ'² + L0² sin²θ φ'² ) + mgL0 cosθ
dL/dθ' = m L0² θ' donc d(dL/dθ')/dt = m L0² θ''

dL/dθ = m L0² sinθ cosθ φ'² - mgL0 sinθ
d(dL/dθ')/dt - dL/dθ = m L0² θ' - m L0² sinθ cosθ φ'² + mgL0 sinθ = 0
L0 θ'' - L0 sinθ cosθ φ'² + g sinθ = 0
θ'' = - g/L0 sinθ + sinθ cosθ φ'²
dL/dφ' = m L0² sin²θ φ' donc d(dL/dφ')/dt = m L0² sin²θ φ'' + 2 m L0² sinθ cosθ θ ' φ'
dL/dφ = 0
d(dL/dφ')/dt - dL/dφ = m L0² ( sin²θ φ'' + 2 sinθ cosθ θ' φ' ) = 0
φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ
Remarque : Comme souvent, la méthode du Lagrangien simplifie énormément les calculs !!
3.2.3 Approche physique
Les résultats précédents peuvent paraître bizarres et il est bon de comprendre l'origine
physique de ces expressions
Le seconde est la conséquence de la conservation de la composante Lz du moment cinétique.
Lz se conserve car la force mg reste dans le plan vertical du pendule, on n'a donc aucune
composante de son moment sur Oz et donc aucune variation de Lz
Lz = m R² φ', R = L0 sinθ donc Lz = m L0² sin²θ φ' = constante
Lz = constante donc sin²θ φ' = constante = C et φ' = C/sin²θ avec C = sin²θ0 φ0'
donc φ'' = - 2 C sinθ cosθ θ'/sin4θ = - 2 C cosθ θ'/sin3θ or C = φ' sin²θ donc
φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ Ce qui est bien la formule trouvée précédemment.
La première expression est la conséquence de la loi de Newton pour un objet en rotation qui
est :
dLr/dt = Σ MF = Mmg = - m g L0 sinθ ( Lr est la composante perpendiculaire à Oz
du moment cinétique L )
Lr = m L0 vt et donc dLr/dt = m L0 at ( vt et at sont les composantes
tangentielles au cercle décrit par la masse du pendule )
a est la somme de deux termes, l'accélération due au mouvement dans le plan vertical aθ et
l'accélération due au mouvement dans le plan horizontal aφ .
aθ t = L0 θ'' et aφc = R φ'² avec R = L0 sinθ donc aφc = L0 sinθ φ'² ( aφc est la
composante centripète de aφ )
Sa projection sur l'axe tangent vaut aφt = a φc cosθ = - L0 sinθ cosθ φ'² ( l'autre
composante perpendiculaire de aφ donne une contribution nulle à at )
Donc at = aθ t + aφt = L0 θ'' - L0 sinθ cosθ φ'² = L0 ( θ'' - sinθ cosθ φ'² )
dLr/dt = m L0 at = m L0² ( θ'' - sinθ cosθ φ'² ) = - m g L0 sinθ donc en divisant par m
L0², on obtient :
θ'' = - g/L0 sinθ + sinθ cosθ φ'² C'est bien la relation trouvée précédemment.

3.3 Etude de la précession du mouvement pour les petits angles
( Les calculs qui suivent sont dus, en grande partie à M. Jean-Pierre André que je remercie )
Les équations du mouvement sont ( Cf 3.2.3 ) :
θ'' = - g/L0 sinθ + sinθ cosθ φ'² ( 1 )
φ' = C/sin²θ avec C = sin²θ0 φ0'
On peut remplacer φ' dans l'équation différentielle (1), on obtient :
θ'' = - g/L0 sinθ + C² cosθ/sin3θ
On multiplie de chaque côté par θ'
θ'' θ' = - g/L0 sinθ θ' + C² cosθ θ'/sin3θ
d(1/2 θ'²)/dt = g/L0 d(cosθ)/dt + C²d(-1/(2sin²θ )/dt = d(g/L0 cosθ -C²/(2sin²θ))/dt donc
ω'² = 2g/L0 cosθ - C²/sin2θ + D
On peut ainsi calculer (dφ/dθ )² = φ'²/θ'² = C²/((2g/L0 cosθ - C²/sin²θ + D)sin4θ)
dφ/dθ = C/((2g/L0 cosθ - C²/sin²θ + D)1/2sin²θ) et
dφ = C L01/2dθ/((2g cosθ - C²L0/sin²θ + DL0)1/2sin²θ ) =
C L01/2sinθ dθ/((2g cosθ sin²θ - C²L0 + DL0sin²θ)1/2sin²θ )
On pose u = cosθ sin²θ = 1 - u²
dφ = - C (L0/(2g))1/2du/((u² - DL0/(2g) u² - u3 + DL0/(2g) - C²L0/(2g))1/2(1 - u²))
(u² - DL0/(2g) u² - u3 + DL0/(2g) -C²L0/(2g)) est une équation du troisième degré qui a trois
solutions a, b et c , on peut donc la remplacer par
(u - a)(b - u)(u - c) a est le cosinus de l'angle θ maximal, b est le cosinus de l'angle θ
minimal et c<0 n'a pas de signification physique.
En développant (u - a)(b - u)(u - c) et en comparant le résultat avec
u² - DL0/(2g) u² - u3 + DL0/(2g) -C²L0/(2g) on obtient :
c = - (1 + ab)/(a + b)
DL0/(2g) = (1 - a² - b² - ab)/(a + b)
C²L0/(2g) = (1 - a²)(1 - b²)/(a + b)
dφ = - C (L0/(2g))1/2du/((u - a)(b - u)(u - c))1/2(1 - u²))
Résolution pour les petits angles
si θ reste petit, u = cosθ, a = cosθM et b = cosθm restent voisins de 1 ( et inférieurs à 1 ) et
c voisin de -1
On pose alors u = 1 - v ( v voisin de zéro )
dφ = -C (L0/(2g))1/2/((1 - u²)(u - c)1/2) du/((u - a)(b - u))1/2)
On développe 1/(1 - u²)(u - c)1/2 au premier ordre en v
1/((1 - u²)(u - c)1/2) = 1/((1 - u)(1 + u)(u - c)1/2) =1/(v(2 - v)(1 - c - v)1/2) =
1/(2v(1 - v/2)(1 - c)1/2 ( 1 - v/(2 - 2c))) =
1/(2v(1 - c)1/2 (1 - v/2 - v/(2 - 2c)) = 1/(2v(1 - c)1/2 (1 - v(2 - c)/(2 - 2c)) =
(1 + v(2 - c)/(2 - 2c))/(2v(1 - c)1/2)
dφ = C (L0/(2g))1/2(1 + v(2 - c)/(2 - 2c))/(2(1 - c)1/2) dv/(v(1 - v - a)(b - 1 + v))1/2)
dφ = C (L0/(2g))1/2/2(1 - c)1/2 dv/(v(1 - v - a)(b - 1 + v))1/2) +
C (L0/2g)1/2 (2 - c)/(2 - 2c))/(2(1 - c)1/2) dv /(((1 - a) - v)(v - (1 - b)))1/2)