MECANIQUE : TD n°6 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°6
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Des projectiles sont envoyés, avec une vitesse v=vex constante, sur une cible mobile, qui subit une
translation uniforme de vitesse : v0=v0ex. Si T est la durée qui sépare l’émission de deux projectiles, déterminer la
durée T’ qui sépare leur réception sur la cible.
Rép : T’=Tv/(v-v0)
2°) Un nageur, dont la vitesse par rapport à l’eau est v1, veut traverser une rivière de largeur l. On suppose
que le courant a une vitesse v0 uniforme. Déterminer le temps de traversée τ si :
a) il nage perpendiculairement aux berges, en se laissant déporter par le courant.
b) il suit une trajectoire perpendiculaire aux berges.
Rép : a) τ1=l/v1
b) τ2=l/√(v1²-v0²)
3°) Une grande roue de fête foraine, de rayon R, tourne à vitesse angulaire constante ω autour d’un axe
horizontal (Ox). R1 est le référentiel terrestre et R2 le référentiel lié à la nacelle. Exprimer dans une base appropriée
la vitesse d’entraînement et l’accélération d’entraînement de R2/R1. (la nacelle effectue un mouvement de
translation circulaire par rapport à R1)
Rép : ve=Rωeθ et ae=er(-Rω²)
4°) Soit un plateau horizontal tournant avec une vitesse angulaire ω autour
d’un axe vertical fixe (manège par exemple). R1 est le référentiel terrestre et R2 le
référentiel lié au plateau. Un mobile de position M décrit à vitesse constante v l’axe
(Ox2), lié à R2. Exprimer v(M)/R1 et a(M)/R1 dans la base (er,eθ).
Rép : ve=Rωeθ, va=ωReθ+ver et aa=eθ(Rdω/dt+2ωv)+er(-Rω²)
B – TRAVAUX DIRIGES
I - EFFET DÖPPLER
Un émetteur E , animé de la vitesse v uniforme par rapport à un observateur O, envoie des signaux se
propageant à la vitesse u dans le référentiel lié à O. (u étant colinéaire à v)
L'émetteur E envoie un signal à l’instant t1 où la distance entre O et E est r1. Il envoie le signal suivant à
l'instant t2.
1°) Déterminer les instants t'1 et t'2 de réception des deux signaux consécutifs par l’observateur O.
2°) L'émetteur envoie des signaux avec une fréquence f. Quelle est la fréquence f’ perçue par
l'observateur? Comparer f et f’ dans le cas où l'émetteur s'éloigne de l'observateur et dans le cas où il s’en
rapproche.
3°) Le mouvement d'un vaisseau spatial qui s'approche de la Lune est purement radial (sa vitesse est
orthogonale à la surface lunaire). Ce vaisseau envoie vers la Lune un signal radio de fréquence 3,0 GHz ; il reçoit
de la Lune un écho décalé de 20 kHz. Quelle est la vitesse du vaisseau spatial par rapport à la Lune ? On prendra
8
-1
c=3.10 m.s .
Rép : 1°) t’1=t1+r1/u et t’2=t2+(r1-v(t2-t1)/u. 2°) f’=f/(1-v/u) si l’émetteur s’approche f’>f sinon f≤f’
3°) v=cδf/2f⇒v=1km/s
II - EQUILIBRE RELATIF D’UNE PARTICULE SUR UN CERCEAU EN ROTATION
Une particule, de masse m, glisse sans frottement sur un cerceau C de centre I, de rayon R, dont le plan
contient la verticale Oz; le cerceau C tourne autour de Oz à la vitesse angulaire ω constante. La distance du centre
I à la verticale Oz est IO=D.
On pose θ=(IP0,IP). A l’instant initial la particule P est abandonnée au point le plus haut du cercle.
1°) Calculer les forces d’inertie.
2°) A l’aide du PFD établir l’équation différentielle suivante:
g
θ&&= sinθ +ω ²cosθ (sinθ − D)
R
R
3°) On se place dans le cas où D=2R. Montrer que pour une certaine valeur ω0 de la
vitesse angulaire, on a une position d’équilibre relatif pour θ=45° . A.N pour R=0,5m.
Rép : 1°) Si on note (Oxyz) le référentiel mobile lié au solide alors fe=mω²yey et fc=2mωdy/dt.ex
2°) Par application du PFD dans le référentiel mobile on obtient après quelques lignes de calcul la relation
recherchée.
3°) ω0²=(g/R.tanθ)/(D/R-sinθ)⇒ω0≅4rad.s-1.
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III - PARTICULE DANS UN ANNEAU EN ROTATION
Un cercle matériel (C) de centre C et de rayon R=0,25m est mis en rotation
uniforme par rapport au référentiel terrestre R supposé galiléen à la vitesse
angulaire constante positive Ω autour d’un diamètre vertical AO qui matérialise
l’axe vertical descendant Ox. Un petit anneau M assimilable à un point matériel M
coulisse sur (C) et est repéré par le paramètre angulaire θ=(Cx,CM) à l’instant t.
1°) On pose ω0²=g/R & λ=Ω²/ω0². A l’aide de la conservation de l’énergie
mécanique, écrire l’équation différentielle du mouvement sous la forme:
(d²θ/dt²)=ωo²f(θ) où f(θ)=sinθ(λcosθ-1)
2°) Retrouver les positions d’équilibres stables. Pour cela on pourra poser
u(θ)=Ep(θ)/mgR et ainsi utiliser la propriété que u’(θ)=-f(θ).
3°) Vérifier les résultats obtenus sur la représentation graphique ci-dessous:
Rép : 1°) On calcule Ek=1/2mR²(dθ/dt)² et Ep=-1/2mΩ²R²sin²θ+(1-cosθ)mgR (origine des potentiels prise
en O)
2°) Pour λ<1 c’est θ=0 et pour λ>1 c’est θ=±Arccos(1/λ)
3°) On vérifie bien le changement de stabilité pour θ=0
P UITS DE P OTENTIEL
2,5
2
1,5
u( )
1
λ=5
0,5
λ=1
0
λ = 0,25
-3,4
-3
-2 ,6
-2,2
-1,8
-1,4
-1
-0 ,6
-0,2
0 ,2
0,6
1
1,4
1 ,8
2 ,2
2,6
3
3,4
-0,5
-1
-1,5
-2
[ θ ] / rad
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I- MOUVEMENT CYCLOÏDAL – POINT COÏNCIDENT
Une automobile se déplace d’un mouvement uniforme de vitesse v sur une route horizontale dirigée
suivant l’axe Ox du référentiel R : OXYZ, où OZ est la verticale ascendante. On admettra que les pneus roulent
sans glisser sur la route. On considérera le référentiel R’ Oxyz lié à une des roues de centre O, de rayon R, et
dont les axes sont parallèles à ceux de R.
0°) On a déjà vu x=R(ωt-sin(ωt)) & y=R(1-cos(ωt)) (Cf TD1 Ex : B-3)
1°) Déterminer la grandeur et la direction, par rapport à la route, de la vitesse de M, à l’instant t ,par
rapport à R et par rapport à R’. Faîtes la représentation vectorielle traduisant la loi de composition des vitesses
de M.
2°) Montrer que le support de la vitesse v de M, dans R, passe à chaque instant par le point I’,
diamétralement opposé au point de contact I du pneu avec le sol.
3°) Déterminer dans R l’accélération de M, le rayon de courbure Rc, et la position du centre de courbure.
Rép : 1°) Par rapport à R : v=2Rωsin(ωt/2) et α=π-ωt/2 et par rapport à R’ : v=Rω et β=2α
passe par I’
3°) Rc=4Rsin(ωt/2) et MΩ
Ω=2MI.
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2°) IM.va=0 ⇒ le support de v
II – COMPOSTION DE DEUX MOUVEMENTS CIRCULAIRES
Un point A se déplace sur un cercle C, de rayon r, de
centre 0 ; C est vertical et tourne autour d'un de ses diamètres
(0z) à la vitesse angulaire constante ω. Soit :
• θ= (Oz,OA ) ;
• α l'angle entre un plan vertical fixe (xOz) et le plan du cercle ;
• R le référentiel fixe (0xyz) ;
• R' le référentiel (0x’y’z’) lié au cercle.
Tous les vecteurs seront exprimés dans la base (ex’,
ey’, ez') liée au référentiel tournant R’, sauf indication contraire.
1°) Exprimer le vecteur position OA . En déduire par le calcul direct les vecteurs vitesse et accélération
de A dans R, exprimés dans la base de R’.
2°) Exprimer en fonction de θ les vecteurs vitesse et accélération de A par rapport à R’ dans la base de
Frénet (ou dans la base des coordonnées polaires sur le cercle), puis dans la base de R’.
3°) Déterminer la trajectoire du point coïncidant P dans le référentiel R. Exprimer alors la vitesse
d'entraînement et les accélérations d'entraînement et de Coriolis du point A.
4°) En déduire, en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, les vecteurs
vitesse et accélération de A par rapport à R, exprimés dans la base de R’. Montrer que l'on retrouve bien le
résultat de la question 1°).
Rép : 1°) OA=rsinθex’+rcosθez’
va=rdθ/dt.cosθex’+ωrsinθey’-rdθ/dt.sinθez’
rω²sinθ]+ey’[2ωrdθ/dt.cosθ]-ez’[r(dθ/dt)²cosθ+rd²θ/dt²sinθ]
2°) rd²θ/dt²T+r(dθ/dt)².N
de rauon rsinθ à ω=cste d’où ve=ωrsinθey’ et ae=-rsinθω²ex’, et ac=2rdθ/dtωcosθey’
question 1°).
et
aa=ex’[d²θ/dt²cosθ-r(dθ/dt)²sinθ3°) Le point coïncident décrit un cercle
4°) On retrouve bien les résultats de la
III – LE PROBLEME DU NAGEUR
Un nageur parti de A, se déplace à la vitesse constante V par rapport à l’eau
d’une rivière de largeur d dont les eaux sont animées de courant de vitesse constant u
(u<V). Le nageur effectue les trajets aller & retour: AA1A en un temps t1, et AA2A en un
temps t2.
1°) Exprimer le rapport t2/t1 en fonction du rapport des vitesses β=u/V
2°) Sachant que t2=2t1=7mn, déterminer la direction de la vitesse V du nageur
qui se déplace à contre-courant pour atteindre A, et le temps t0 qu’aurait mis le nageur
pour parcourir l’aller-retour (2d) sur un lac (u=0).
Rép : 1°) t2/t1=1/√(1-β²)
2°) t0=1min45s
IV – MOUVEMENT DE LA VALVE D’UNE ROUE
Une roue de rayon a et de centre C roule sans glisser sur l'axe (Ox), en restant
dans le plan (xOz). La valve est au point M (cf. schéma), à une distance b de l'axe de la
roue. Soit v la vitesse de C.
1°) Exprimer le vecteur vitesse de M par rapport à R, auquel est lié le repère (0,
ex, ey, ez), en utilisant la base orthonormée (i, j, ey) définie par CM=bi.
2°) Exprimer le vecteur accélération par rapport à R dans la même base.
Rép : 1°) v(M)=bv/a.j+vex
2°) a(M)=-b.(v/a)²i+b/a.dv/dt.j+dv/dt.ex.
V – MOUVEMENT ELLIPTIQUE D’UN POINT APPARTENANT A UNE TIGE
Une tige, de longueur l, a ses extrémités qui se déplacent, respectivement, le
long de l'axe Ox d'un référentiel R=Oxyz et le long d'une droite D parallèle à l'axe Oy. La
distance qui sépare D de Oy est OH = h. La position, dans le plan Oxy, d'un point
quelconque A de la tige BC est caractérisée par l'angle θ= (-Oy,BC). On note b la
distance AB.
1°) Exprimer, en fonction de θ, les coordonnées de C et A dans la base de R.
2°) Quelles sont, dans la base de R, les composantes de vA/R, de vA/R1, R1 étant le référentiel, d'origine B,
en translation par rapport à R? Trouver la vitesse d'entraînement de R1 par rapport à R.
3°) Quelles sont, dans la base de R, les composantes de aA/R et de aA/R1? Trouver l'accélération
d'entraînement de R1 par rapport à R.
4°) Montrer que la trajectoire de A est une ellipse et déterminer ses caractéristiques.
Rép : 1°) OC=(h, -lcosθ) et OA=(h-(l-b)sinθ, -bcosθ)
2°) vA/R=[-(l-b).dθ/dt.cosθ, bdθ/dt.sinθ], vA/R1=[bdθ/dt.cosθ, bdθ/dtsinθ] et
ve=-ldθ/dtcosθex
3°)
aA/R=[-(l-b).(d²θ/dt²cosθ-(dθ/dt)²sinθ),
b(d²θ/dt²sinθ+(dθ/dt)²cosθ)],
aA/R1=[b(d²θ/dt²cosθ-(dθ/dt)²sinθ),
b(d²θ/dt²sinθ+(dθ/dt)²cosθ)] et ae=-l(d²θ/dt²cosθ-(dθ/dt)²sinθ).ex.
4°) (y/b)²+((x-h)/(l-b))²=1
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