Notions de probabilité 1 Probabilités élémentaires

Chapitre 5a
Notions de probabilité
1 Probabilités élémentaires
1.1 Généralités et vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience faite dans des conditions de déroulement connues, dont tous les résultats
possibles sont connus mais dont on ne peut pas prévoir à l’avance l’issue de façon certaine.
Une éventualité est une issue possible d’une expérience aléatoire.
L’ univers de l’expérience est l’ensemble des éventualités. On le note Ω.
Exemples :
•On lance un dé et on regarde le numéro de la face obtenue :
Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
•On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair :
Ω={P ; I}
•On lance une pièce de monnaie :
Ω={P ; F}
•On lance deux pièces de monnaie :
Ω={PP ; PF ; FP ; FF}
•On lance deux dés :
Ω={(i;j) avec 1 6i66 et 1 6j66}
Notons qu’il existe des expériences aléatoires qui comportent une infinité d’issues :
•On choisit un entier naturel au hasard :
Ω=N
•On choisit un réel au hasard entre 0 et 1 :
Ω=[0 ; 1]
Un événement est une partie de Ω.
Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule issue.
Un événement impossible est un événement qui n’est réalisé par aucune éventualité : c’est donc l’ensemble vide.
Un événement certain est un événement réalisé par toutes les éventualités : c’est donc l’ensemble Ω.
A et B étant 2 événements, on appelle :
•A ou B et on note A ∪B l’événement réalisé si l’un au moins des 2 événements est réalisé (A ou B est donc l’événement
contenant l’ensemble des éventualités appartenant à A ou B).
•A et B et on note A ∩B l’événement réalisé si les 2 événements sont réalisés (A et B est donc l’événement contenant les
seules éventualités appartenant à la fois à A et B).
•Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser simultanément (il n’existe aucune éventualité qui
les réalise tous les deux, c’est-à-dire A ∩B=∅).
•L’événement contraire de A, noté A, est réalisé si A ne l’est pas (A est donc l’événement contenant toutes les éventualités
de Ωn’appartenant pas à A).
Conséquences :
•Si 2 événements sont contraires alors ils sont incompatibles.
•A et B sont contraires ssi l’événement A et B est impossible et l’événement A ou B certain :
A=B⇐⇒ ...........................

1.2 Exercice
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1. Définir l’univers Ω.
2. Ecrire sous forme de partie de Ωles événements :
– A : « obtenir un numéro inférieur ou égal à 2 » ;
– B : « obtenir un numéro impair » ;
– C : « obtenir un numéro strictement supérieur à 4 ».
3. Ecrire les événements B ∪C, B ∩C, A et A ∪C.
4. Citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires l’un de l’autre.
2 Loi de probabilité
On suppose à partir de maintenant que l’univers Ωest un ensemble fini.
2.1 Modélisation par la loi des grands nombres
On lance une dé à 6 faces et on relève le numéro obtenu sur sa face supérieure. On a
Ω={1;2;3;4;5;6}.
Supposons que, lors d’un grand nombre de tirages, on obtient les résultats suivants :
Numéro 1 2 3 4 5 6
Fréquence 0,0606 0,1522 0,1710 0,1685 0,1936 0,2541
La somme des fréquences est bien-entendu égale à 1.
Le dé paraît déséquilibré, les fréquences n’étant pas approximativement égales entre elles.
On peut alors modéliser cette expérience aléatoire en associant à chaque événement élémentaire xiun nombre pipositif
représentant au mieux leur chance de réalisation. On dira par exemple que la probabilité d’obtenir 1 est 0,0606.
On a défini une loi de probabilité sur Ω.
Compte-tenu des variations de fréquences liées au tirage (fluctuation d’échantillonnage), on peut aussi arrondir ces fré-
quences et choisir comme loi de probabilité sur Ω:
Numéro 1 2 3 4 5 6
Probabilité 0,06 0,15 0,17 0,17 0,19 0,26
Il faut vérifier que la somme est encore égale à 1.
Cette loi de probabilité peut-être considérée comme fiable si les fréquences fise rapprochent de pilorsque le nombre de
tirages devient grand. C’est la validation du modèle par la loi des grands nombres.
2.2 Loi équirépartie
Dans le cas où l’on définit une loi de probabilité où chaque événement élémentaire à la même probabilité, on parle de loi
equirépartie.
Remarque :
Les termes équilibré (pour un dé, une pièce,. . . ), indiscernables (pour une boule, un jeton,.. . ) et au hasard conduisent à
des lois équiréparties.

2.3 Exercice
Pour choisir la nouvelle couleur de la peinture de sa chambre, Line décide de s’en remettre au hasard. Elle lance deux dés
tétraédriques équilibrés. Chaque dé à 3 faces de couleur bleue et une face de couleur jaune. La couleur choisie pour la
peinture est celle obtenue en mélangeant les deux couleurs indiquées par les dés.
1. Quel est l’univers de cette expérience aléatoire ?
2. Déterminer la loi de probabilité de l’univers Ω.
3 Paramètres d’une loi de probabilité
3.1 Les paramètres
Soit Ωun univers dont tous les événements élémentaires sont des réels, sur lequel on définit la loi de probabilité suivante :
événement e1e2··· en
Probabilité p1p2··· pn
Définition : Espérance
L’espérance de cette loi est le réel E défini par
E=.....................................
Remarques :
L’espérance d’une loi de probabilité est la valeur moyenne des éventualités élémentaires eipondérées par leur probabilité
(la moyenne est un barycentre). E est un paramètre de position.
Définition : Variance
La variance de cette loi est le réel V défini par
V=p1(e1−E)2+p2(e2−E)2+ · · · + pn(en−E)2=
i=n
X
i=1
pi(ei−E)2.
Définition : Ecart-type
L’écart-type de cette loi est le réel σdéfini par
σ=..............
Remarque :
L’écart-type d’une loi de probabilité exprime l’écart moyen des issues par rapport à leur valeur moyenne. σest un paramètre
de dispersion.
3.2 Exercice
Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés équilibrés à 6 faces, l’un rouge l’autre vert. On note la somme obtenue.
1. Déterminer la loi de probabilité de l’univers Ω.
2. Calculer E, V et σ.

4 Probabilité d’un événement
4.1 Cas général
Soit Ωun univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.
Pour tout événement A de Ω, la probabilité de l’événement A est le réel, noté p(A), tel que :
•p(A) ∈[0, 1] ;
•si A =∅alors p(A) =p(∅)=0 ;
•si A 6= ∅alors p(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires de A, c’est-à-dire
p(A) =X
ei∈A
pi
4.2 Propriétés
Propriétés :
Soit A et B deux événements d’un univers Ω.
1. 06p(A) 61.
2. si A ⊂B alors p(A) 6p(B)
Théorème :
Soit A et B deux événements d’un univers Ω.
p(A ∪B) =..............................
Théorème :
Soit A un événement d’un univers Ω.
p(A) =..............
4.3 Cas d’équiprobabilité
Soit Ωun univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité equirépartie.
Pour tout événement A de Ω,
p(A) =.......................
.....................
5 Variable aléatoire
5.1 Un exemple
Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés équilibrés à 6 faces, l’un rouge l’autre vert. On note X la somme obtenue.
X est alors une fonction de Ωdans R. On dit alors que X est une variable aléatoire.
L’événement " la somme est égale à 6" est notée (X =6) et sa probabilité p(X =6).
La loi de probabilité de X sera alors :
s2 3 · · · 11 12
p(X =s)1
36
1
18 · · · 1 18
1
36
L’espérance de X, notée E(X), la variance de X, notée V(X) et l’écart-type de X, notée σ(X), sont respectivement l’espérance, la
variance et l’écart-type de la loi de probabilité de X.

5.2 Exercice
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On définit une variable aléatoire X en associant à chaque tirage le
nombre :
•(-10) si on tire le numéro 1 ;
•10 si on tire le numéro 6 ;
•0 sinon.
1. Définir l’ensemble des éventualités Ωet donner l’ensemble X(Ω).
2. On suppose que le dé est parfaitement équilibré. Donner la loi de probabilité de X.
3. On suppose que le dé est truqué et que les probabilités d’apparition des numéros 1, 2, 3, 4 et 5 sont toutes égales à 0,12.
Donner la loi de probabilité de X.
5.3 Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire
Définition : Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire
Soit Ωl’univers correspondant à une expérience aléatoire.
Soit X une variable aléatoire définie sur Ωprenant mvaleurs x1,x2,..., xmavec des des probabilités respectives p1,p2,
. . . , pm.
L’espérance mathématique de X est le nombre, noté E(X), défini par :
E(X) =
m
X
i=1
pixi=p1x1+p2x2+...+pmxm
La variance de X est le nombre noté V(X), défini par :
V(X) =E((X −E(X))2)=
m
X
i=1
pi(xi−E(X))2=p1(x1−E(X))2+p2(x2−E(X))2+...+pm(xm−E(X))2
L’écart type de X est le nombre, noté σ(X), défini par :
σ(X) =pV(X)
Remarques :
•L’espérance est la moyenne des valeurs xipondérées par les probabilités pi.
•La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
•La variance est une quantité positive, donc l’écart type est bien défini.