3. ACTIONS DE GROUPES SUR LES ESPACES MÉTRIQUES On

3. ACTIONS DE GROUPES SUR LES ESPACES M´ ETRIQUES
On utilise [BH, Thu, Hat] comme r´ef´erences de base.
Soient Xun ensemble et Gun groupe. Une action de Gsur Xest donn´ee par un
homomorphisme de groupes ⇢:G!SX,o`uSXd´esigne le groupe des bijections de X.
L’orbite d’un point xest l’ensemble G(x)={⇢(g)(x),g2G}, et son stabilisateur, ou
sous-groupe d’isotropie est Gx= stab(x)={g2G, g(x)=x}. On rappelle que si xet y
sont dans la mˆeme orbite, alors leurs stabilisateurs sont conjugu´es.
Les orbites de Ginduisent une partition de Xet la relation ⌧ˆetre dans la mˆeme
orbite est la relation d’´equivalence associ´ee sur X. On note X/G l’espace quotient,
c.`a.d. l’ensemble des orbites, ou des classes d’´equivalence.
On dit que l’action est fid`ele si ⇢est injective, transitive si Xn’est form´e que d’une
orbite et libre si quel que soit x2X,g(x)=ximplique g=Id.
Si Xest un espace topologique, on munit le groupe des hom´eomorphismes Hom´eo(X)
de la topologie compacte-ouverte : un voisinage d’un hom´eomorphisme f:X!Xest
donn´e par l’ensemble des hom´eomorphismes g:X!Xtels que g(K)⇢U,o`uK⇢X
est compact, U⇢Xest ouvert et f(K)⇢U.
Exercice 3.1.— Montrer que si Xest un espace m´etrique, alors la topologie compacte-
ouverte correspond `a la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
3.1. Actions proprement discontinues
On suppose maintenant que Gop`ere par hom´eomorphismes sur X, autrement dit,
⇢(G)⇢Hom´eo(X). On s’int´eresse aux notions suivantes.
(1) L’action est discr`ete si l’orbite d’un point quelconque est un ensemble discret.
(2) L’action est errante si tout x2Xadmet un voisinage Vtel que
{g2G, g(V)\V6=;}
est fini.
(3) L’action est proprement discontinue si, pour tous compacts Ket Lde X,
{g2G, g(K)\L6=;}
est fini.
(4) L’action est cocompacte s’il existe un compact Ktel que X=[g2Gg(K).
Exercice 3.2.— Montrer que si une action est discr`ete alors ⇢(G)est un sous-groupe
discret de Hom´eo(X). Montrer que la r´eciproque n’est pas vraie.
Exercice 3.3.— Montrer que si l’action est errante, alors le stabilisateur de chaque
point est fini.

Quelques aspects de th´ eorie g´ eom´ etrique des groupes, notes de cours-02
Exercice 3.4.— Montrer qu’une action d’un groupe d´enombrable sur un espace locale-
ment compact est proprement discontinue si et seulement si l’application
G⇥X!X⇥X
(g, x)7! (g(x),x)
est propre, o`u Gest muni de la topologie discr`ete. Montrer alors que ker ⇢est fini.
Exercice 3.5.— Montrer qu’une action proprement discontinue est errante, et qu’une
action errante est discr`ete. Les r´eciproques sont-elles vraies ?
Exercice 3.6.— On consid`ere l’action de Zsur R2\{0}par
gn(x, y)=(2
nx, y/2n).
(1) Montrer que cette action est errante.
(2) Montrer que le quotient n’est pas s´epar´e.
Exercice 3.7.— Montrer que si un groupe Gop`ere proprement discontinˆument sur un
espace localement compact Xalors, pour tout x2X, il existe un voisinage Ude xtel que
stab x={g2G, g(U)\U6=;}.
Actions par isom´etries. — On s’int´eresse maintenant `a des actions de groupes par
isom´etries. Si gest une isom´etrie d’un espace m´etrique X, on note `(g)=inf{d(x, g(x)),x2
X}la distance de translation de g, et Min g={x2X, d(x, g(x)) = `(g)}. On dit que g
est semisimple si Min gest non vide. On dit aussi que gest elliptique si gaunpointfixe,
loxodromique si `(g)>0 et semisimple et parabolique sinon.
Exercice 3.8.— Soit Gun groupe qui op`ere par isom´etries sur un espace m´etrique.
(1) Montrer que Min gest non vide si gest semi-simple.
(2) Montrer que si g, h 2Galors `(hgh1)=`(g)et Min hgh1= hMin g.
Exercice 3.9.— Soit Gun groupe qui op`ere g´eom´etriquement sur un espace m´etrique
propre. Montrer que
(1) Tous les ´el´ements de Gsont semisimples.
(2) L’ensemble {`(g),g2G}est discret dans R.
3.2. Revˆetements
On se r´ef`ere `a [DD, Hat, Mas, Ber]. Un revˆetement est une transformation continue
p:X!Ysurjective telle que, pour tout y2Y, il existe un espace discret Dnon vide,
un voisinage Ude yet un hom´eomorphisme :p1(U)!U⇥Dtels que (x)=(p(x),d)
pour tout x2p1(U). On dit que Yest la base,Xl’espace total de p,p1({y})la fibre de
pau-dessus de y,Uun voisinage distingu´e de yet une trivialisation locale de pau-dessus
de U.

Quelques aspects de th´ eorie g´ eom´ etrique des groupes, notes de cours-03
On en d´eduit qu’un revˆetement est un hom´eomorphisme local surjectif. Un revˆetement
est universel si Xest simplement connexe.
Soit f:Z!Yune application continue ; un rel`evement de fest une application
continue F:Z!Xtelle que pF=f. On a les propri´et´es suivantes.
Proposition 3.10.— Soit p:X!Yun revˆetement entre espaces connexes, localement
connexes par arcs.
(1) Pour toute application continue f:Z!Ytelle que Zest connexe, localement
connexe par arcs, f⇤(⇡1(Z, z)) ⇢p⇤(⇡1(X, x)),o`uf(z)=p(x), il existe une unique
application continue F:Z!Xtelle que F(z)=xet pF=f.
(2) L’espace Yest simplement connexe si et seulement si tout revˆetement au-dessus
de Yest trivial.
Un revˆetement p:X!Yinduit un morphisme p⇤:⇡1(X, x)!⇡1(Y,f(x)) injectif.
Le groupe ⇡1(Y,y)op`ere`adroitesurlafibrep1({y})parrel`evementdeslacets:si
x2p1({y})etun lacet bas´e en y, on consid`ere le relev´e ˜d’origine xet on pose
x·=˜(1) ; on v´erifie que x·(1⇤2)=(x·1)·2.
Proposition 3.11.— Soit p:(X, x)!(Y, y)un revˆetement entre espaces connexes et
localement connexes par arcs. L’action de ⇡1(Y,y)sur la fibre p1({y})est transitive, de
stabilisateur p⇤(⇡1(X, x)), donc la fibre est en bijection avec p⇤(⇡1(X, x))\⇡1(Y,y).
En particulier, p1({y})est fini si et seulement si f⇤(⇡1(X, x)) est d’indice fini dans
⇡1(Y,y).
D´ emonstration. On ´ecrit G=⇡1(Y,y), H=p⇤(⇡1(X, x)) et G=tg2THg pour une
famille Tde repr´esentants.
Si x0est un autre ant´ec´edent, on consid`ere un chemin le reliant `a x: sa projection est
un lacet bas´e en y, montrant ainsi que l’action est transitive.
Si est un lacet bas´e en y, il s’´ecrit donc h⇤g; on le rel`eve en un chemin ˜bas´e en xde
sorte que l’action de hest un lacet bas´e en x(par unicit´e du rel`evement) et gtransforme
xen un autre relev´e x0de y.Sionavaitx=x0, alors gse rel`everait dans ⇡1(X, x), et
serait donc dans H. Ceci montre que le stabilisateur de xest bien p⇤(⇡1(X, x)).
On associe `a un revˆetement p:X!Yle groupe AutYXdes hom´eomorphismes hde
Xtels que ph=p. On dit qu’un revˆetement est galoisien si l’action de AutYXest
transitive sur les fibres de p, et on l’appelle le groupe de Galois de X.
Proposition 3.12.— Soient Xun espace localement compact et Gun groupe discret
op´erant sur Xpar hom´eomorphismes et soit p:X!X/G la projection canonique.
On munit Y=X/G de la topologie quotient. Alors l’action de Gest libre et proprement
discontinue si et seulement si X/G est s´epar´e et p:X!X/G est un revˆetement galoisien
de groupe de Galois G.

Quelques aspects de th´ eorie g´ eom´ etrique des groupes, notes de cours-04
Sous ces conditions, on suppose en outre que Xest connexe et localement connexe par
arcs. Soient x2Xet y=p(x). Pour tout 2⇡1(Y, y), il existe un unique g2Gtel
que g(x)=x·et 2⇡1(X/G, y)7! g2Gest un morphisme de groupes, surjectif, de
noyau p⇤(⇡1(X, x)).
Remarque 3.13.— La d´emonstration montre que si les orbites sont discr`etes et, pour
chaque x2X, il existe un voisinage Utel que g(U)\U=;pour tout g6=e, alors
X!X/G est un revˆetement.
D´ emonstration. Supposons l’action libre et proprement discontinue.
Soit x2X. Il existe un voisinage Ude xtel que g(U)\U=;. En e↵et, si Kun
voisinage compact de xassez petit, seul un nombre fini de translations g(K)intersectent
K, avec x/2g(K)d`esqueg6= 1. Donc U=K\[g6=1g(K)convient.Parcons´equent,
p1(G(U)) est hom´eomorphe `a U⇥G,o`uonamuniGde la topologie discr`ete. Par
cons´equent p:X!X/G est un revˆetement, Gop`ere transitivement sur les fibres par
d´efinition donc il est galoisien de groupe de Galois G.
Si x,ysont deux points d’orbites distinctes, on consid`ere la r´eunion Kde deux voisi-
nages compacts disjoints de ces points. Comme l’action est libre K\[g6=1g(K)contient
{x, y}et comme elle est proprement discontinue, il s’agit encore de la r´eunion disjointe
de voisinages de xet y. Par cons´equent X/G est s´epar´e.
R´eciproquement, si X/G est s´epar´e et la projection p:X!X/G est un revˆetement,
alors pour tout G(x), il existe un ouvert G(U)⇢X/G tel que p1(G(U)) est hom´eomorphe
`a G(U)⇥G. Par cons´equent, l’action est libre. De plus, X/G ´e t a n t s ´e p a r ´e , s i xet y
sont d’orbites distinctes, il existe deux ouverts disjoints Uet Vqui les contiennent. Par
cons´equent, pour tout (x, y)2X⇥X, il existe U⇥V3(x, y)telqueg(U)\V6=;pour
au plus un ´el´ement g2G.
Soit K⇢Xun compact. On recouvre K⇥Kpar un nombre fini d’ouverts U⇥V
v´erifiant la propri´et´e ci-dessus. Par suite, l’action est proprement discontinue.
On suppose maintenant que p:X!X/G est un revˆetement galoisien, Xest connexe
et localement connexe par arcs. Si 2⇡1(X/G, y), alors x·est un point de Xtel que
p(x·)=y. Comme l’action de Gest transitive sur les fibres, il existe g2Gtel que
g(x)=x·; comme l’action de Gest libre, gest unique.
Remarquons que si est un lacet de X/G bas´e en y,˜son rel`evement bas´e en x, et si
g2G, alors ˜est un chemin joignant x`a x·,g˜est le relev`ement de bas´e en g(x)
joignant g(x)`ag(x·), donc g(x·)=g(x)·(les actions commutent).
Il vient, pour ,02⇡1(X/G, y),
(gg0)(x)=g(x·0)=g(x)·0=(x·)·0=x·(0)=g0(x)
impliquant donc que 7! gest un morphisme de groupes. Il est surjectif car Xest
connexe par arcs, donc il existe ˜reliant x`a g(x)pourg2Garbitraire. Donc g=gp˜.

Quelques aspects de th´ eorie g´ eom´ etrique des groupes, notes de cours-05
Un ´el´ement du noyau est repr´esent´e par un lacet tel que x·=x, donc le rel`evement
de est un lacet en x. La r´eciproque est claire.
Voil`a une description un peu plus pr´ecise du groupe d’automorphismes de revˆetement.
Proposition 3.14.— Soient Xun espace connexe, localement connexe par arcs et locale-
ment compact et soit p:(X, x)!(Y,y)un revˆetement. Le groupe AutYXest isomorphe `a
p⇤⇡1(X, x)\N(p⇤⇡1(X, x)). Il op`ere sur Xlibrement et proprement discontinˆument. Pour
tout sous-groupe Gde AutYX, la projection canonique p0:X/G !Yest un revˆetement.
Si Hest un sous-groupe d’un groupe G,lenormalisateur N(H)deHdans Gest le
sous-groupe N(H)={g2G, gHg1=H}. C’est le plus grand sous-groupe de Gdans
lequel Hest distingu´e.
Proposition 3.15.— Soit p:(X, x)!(Y, y)un revˆetement avec Xconnexe, localement
connexe par arcs et localement compact. Les conditions suivantes sont ´equivalentes.
(1) le revˆetement pest galoisien ;
(2) le sous-groupe p⇤(⇡1(X, x)) est distingu´e dans ⇡1(Y,y);
(3) il existe un groupe discret Gop´erant proprement discontinˆument sur Xet un
hom´eomorphisme h:X/G !Ytel que h⇡=p,o`u⇡:X!X/G est la
projection canonique.
Dans ce cas, on a AutYX=G,AutYXest isomorphe `a p⇤(⇡1(X, x))\⇡1(Y,y)et Yest
hom´eomorphe `a X/AutYX.
Revˆetement universel. — On dit qu’un espace Xest semilocalement simplement
connexe si tout point x2Xadmet un voisinage Utel que l’injection canonique U,!X
induise le morphisme trivial au niveau des groupes fondamentaux.
Th´ eor` eme 3.16.— Soit (Y,y)un espace connexe et localement connexe par arcs. Alors
Yadmet un revˆetement universel ˜ Ysi et seulement si Yest semilocalement simplement
connexe. Dans ce cas,
(1) le groupe fondamental ⇡1(Y, y)op`ere proprement discontinˆument et librement sur
˜
Y;
(2) si Hest un sous-groupe de ⇡1(Y, y), alors il existe un revˆetement point´e p:
(X, x)!(Y,y), unique `a isomorphisme pr`es, tel que p⇤(⇡1(X, x)) = H;
(3) si p:(X, x)!(Y,y)est un revˆetement, alors il existe un sous-groupe Hde
⇡1(Y,y)isomorphe `a ⇡1(X, x).
Exercice 3.17.— Soit ⇡:F(S)!Gune pr´esentation de groupe. Montrer que le groupe
fondamental du graphe de Cayley Gde (G, S)est isomorphe `a ker ⇡.