Décomposition d`un anneau fini 1 Anneau produit et idempotents 2

D´ecomposition d’un anneau fini
Dans ce probl`eme, tous les anneaux consid´er´es sont commutatifs et poss`edent
un ´el´ement neutre multiplicatif distinct du neutre additif.
1 Anneau produit et idempotents
On rappelle qu’un ´el´ement xd’un anneau Aest appel´e idempotent ssi x2=x.
1. Soit (B, +, ., 0,1) et (C, +, ., 0,1) deux anneaux. Soit (x, y) un ´el´ement de
l’anneau produit B×C. Montrer que (x, y) est un idempotent de B×Cssi
xest un idempotent de Bet yun idempotent de C.
En d´eduire que B×Cposs`ede au moins 4 idempotents distincts.
2. Soit (A, +, ., 0,1) un anneau commutatif et eun idempotent non nul de A.
Montrer que l’id´eal Ae poss`ede la structure d’anneau de neutre e: (Ae, +, ., 0, e).
Cet id´eal n’est pas un sous-anneau car son neutre est distinct du neutre de
initial de Asauf dans la cas o`u e= 1.
3. Soit (A, +, ., 0,1) un anneau commutatif et eun idempotent diff´erent de 0 et
de 1.
Montrer que 1 −eest un idempotent et que l’application
ϕ:A→Ae ×A(1 −e)
x7→ (xe, x(1 −e))
est un isomorphisme d’anneaux.
On se penchera tout particuli`erement sur le probl`eme de la surjectivit´e. La
relation e(1 −e)=0sera alors tr`es utile.
4. On dit qu’un anneau est ind´ecomposable ssi il n’est pas isomorphe au produit
cart´esien de deux anneaux.
Montrer qu’un anneau int`egre est ind´ecomposable.
5. Montrer qu’un anneau commutatif est ind´ecomposable ssi ses seuls idempo-
tents sont 0 et 1.
6. Montrer qu’un anneau commutatif qui poss`ede un nombre finis d’idempotents
est isomorphe au produit cart´esien d’un nombre fini d’anneaux ind´ecompo-
sables.
En d´eduire que le nombre d’idempotents d’un tel anneau est de la forme 2n.
7. Montrer que tout anneau commutatif fini est isomorphe au produit cart´esien
d’un nombre fini d’anneaux ind´ecomposables.
2 Anneaux locaux
Soit (A, +, ., 0,1) un anneau commutatif. On rappelle que A∗d´esigne l’ensemble
des ´el´ements inversibles de Aet donc que A∗6=A\ {0}sauf dans le cas o`u Aest
un corps. En particulier, dans notre contexte Z∗={1,−1}.
On dit que Aest un anneau local ssi A\A∗est un id´eal de A.
1. Montrer que tout corps est un anneau local.
2. (a) Montrer que les id´eaux de Z/nZsont de la forme dZ/nZo`u dest un
diviseur de n.
(b) Montrer que si pest un nombre premier et si k∈N∗, alors Z/pkZest un
anneau local.
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3. Montrer que tout anneau local est ind´ecomposable.
4. Donner un exemple d’anneau commutatif ind´ecomposable mais non local.
5. Soit (A, +, ., 0,1) un anneau commutatif. Montrer que Aest un anneau local
ssi, pour tout xdans A,xou 1 −xest inversible.
6. (a) Soit (A, +, ., 0,1) un anneau local. Notons I=A\A∗l’id´eal form´e par
les ´el´ements non inversibles. Montrer que tous les id´eaux de Aautres que
Asont inclus dans I.
(b) R´eciproquement, soit Aun anneau commutatif tel que la r´eunion Ide
tous les id´eaux de Adistincts de Aforme un id´eal de A. Montrer que A
est un anneau local.
On montrera que Iest ´egal `a A\A∗
7. Soit pun nombre premier. On note Qpl’ensemble des rationnels dont le
d´enominateurs n’est pas divisible par p. Montrer que Qpest un anneau local
infini.
8. Soit a∈C. On note Ca(X) l’ensemble des fractions rationnelles dont an’est
pas un pˆole. Montrer qu’il s’agit encore d’un anneau local.
3 Anneaux ind´ecomposables finis
Soit (A, +, ., 0,1) un anneau commutatif ind´ecomposable fini.
1. Soit xdans A. Montrer qu’il existe ntel que xnest idempotent.
2. En d´eduire que tout ´el´ement de Aest soit inversible soit nilpotent.
3. Soit (B, +, ., 0,1) un anneau et xun ´el´ement de B. Montrer que si xest
nilpotent, alors 1 −xest inversible.
On donnera la formule explicite de l’inverse.
4. En d´eduire que Aest un anneau local.
5. Montrer que tout anneau fini peut se d´ecomposer en produit d’anneaux lo-
caux.
Effectuer cette d´ecomposition pour l’anneau Z/nZ.
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