Décomposition d`un anneau fini 1 Anneau produit et idempotents 2

Décomposition d’un anneau fini
Dans ce problème, tous les anneaux considérés sont commutatifs et possèdent
un élément neutre multiplicatif distinct du neutre additif.
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Anneau produit et idempotents
On rappelle qu’un élément x d’un anneau A est appelé idempotent ssi x2 = x.
1. Soit (B, +, ., 0, 1) et (C, +, ., 0, 1) deux anneaux. Soit (x, y) un élément de
l’anneau produit B × C. Montrer que (x, y) est un idempotent de B × C ssi
x est un idempotent de B et y un idempotent de C.
En déduire que B × C possède au moins 4 idempotents distincts.
2. Soit (A, +, ., 0, 1) un anneau commutatif et e un idempotent non nul de A.
Montrer que l’idéal Ae possède la structure d’anneau de neutre e : (Ae, +, ., 0, e).
Cet idéal n’est pas un sous-anneau car son neutre est distinct du neutre de
initial de A sauf dans la cas où e = 1.
3. Soit (A, +, ., 0, 1) un anneau commutatif et e un idempotent différent de 0 et
de 1.
Montrer que 1 − e est un idempotent et que l’application
A → Ae × A(1 − e)
ϕ:
x 7→ (xe, x(1 − e))
est un isomorphisme d’anneaux.
On se penchera tout particulièrement sur le problème de la surjectivité. La
relation e(1 − e) = 0 sera alors très utile.
4. On dit qu’un anneau est indécomposable ssi il n’est pas isomorphe au produit
cartésien de deux anneaux.
Montrer qu’un anneau intègre est indécomposable.
5. Montrer qu’un anneau commutatif est indécomposable ssi ses seuls idempotents sont 0 et 1.
6. Montrer qu’un anneau commutatif qui possède un nombre finis d’idempotents
est isomorphe au produit cartésien d’un nombre fini d’anneaux indécomposables.
En déduire que le nombre d’idempotents d’un tel anneau est de la forme 2n .
7. Montrer que tout anneau commutatif fini est isomorphe au produit cartésien
d’un nombre fini d’anneaux indécomposables.
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Anneaux locaux
Soit (A, +, ., 0, 1) un anneau commutatif. On rappelle que A∗ désigne l’ensemble
des éléments inversibles de A et donc que A∗ 6= A \ {0} sauf dans le cas où A est
un corps. En particulier, dans notre contexte Z∗ = {1, −1}.
On dit que A est un anneau local ssi A \ A∗ est un idéal de A.
1. Montrer que tout corps est un anneau local.
2. (a) Montrer que les idéaux de Z/nZ sont de la forme dZ/nZ où d est un
diviseur de n.
(b) Montrer que si p est un nombre premier et si k ∈ N∗ , alors Z/pk Z est un
anneau local.
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3. Montrer que tout anneau local est indécomposable.
4. Donner un exemple d’anneau commutatif indécomposable mais non local.
5. Soit (A, +, ., 0, 1) un anneau commutatif. Montrer que A est un anneau local
ssi, pour tout x dans A, x ou 1 − x est inversible.
6. (a) Soit (A, +, ., 0, 1) un anneau local. Notons I = A \ A∗ l’idéal formé par
les éléments non inversibles. Montrer que tous les idéaux de A autres que
A sont inclus dans I.
(b) Réciproquement, soit A un anneau commutatif tel que la réunion I de
tous les idéaux de A distincts de A forme un idéal de A. Montrer que A
est un anneau local.
On montrera que I est égal à A \ A∗
7. Soit p un nombre premier. On note Qp l’ensemble des rationnels dont le
dénominateurs n’est pas divisible par p. Montrer que Qp est un anneau local
infini.
8. Soit a ∈ C. On note Ca (X) l’ensemble des fractions rationnelles dont a n’est
pas un pôle. Montrer qu’il s’agit encore d’un anneau local.
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Anneaux indécomposables finis
Soit (A, +, ., 0, 1) un anneau commutatif indécomposable fini.
1. Soit x dans A. Montrer qu’il existe n tel que xn est idempotent.
2. En déduire que tout élément de A est soit inversible soit nilpotent.
3. Soit (B, +, ., 0, 1) un anneau et x un élément de B. Montrer que si x est
nilpotent, alors 1 − x est inversible.
On donnera la formule explicite de l’inverse.
4. En déduire que A est un anneau local.
5. Montrer que tout anneau fini peut se décomposer en produit d’anneaux locaux.
Effectuer cette décomposition pour l’anneau Z/nZ.
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