Exercice de spécialité Amérique du Nord Juin 2009

Ultrabac Terminale S – Exercice de spécialité du sujet Amérique du Nord juin 2009 Page 1 sur 2
Soit A l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle
[
]
1; 46
.
1. On considère l'équation
: 23 47 1
× + × =
x y(E) où x et y désignent deux entiers relatifs.
1.a) Donner une solution particulière
(
)
0 0
;
x y
de (E).
Après quelques petits essais, on remarque :
(
)
23 2 47 1 46 47 1
× − + × = − + =
Donc le couple
(
)
2;1
− est une solution de (E).
1.b) Déterminer l'ensemble des couples
(
)
;
x y
solutions de (E).
(E) est une équation diophantienne. Un classique de chez classiques à résoudre.
Première phase : de quelle forme sont les solutions de l'équation diophantienne (E) ?
Soit
(
)
;
u v
un couple d'entiers relatifs solution de (E). Il vérifie donc l'égalité :
(
)
(
)
(
)
D'après 1.a
23 47 1 23 2 47 1 23 2 47 1
× + × = = × − + × ⇔ × + = × −
u v u v
D'après cette dernière égalité, 23 divise le produit
(
)
47 1
× −
v
.
Or 23 est premier avec le facteur 47.
En application du théorème de Gauss, il divise nécessairement l'autre facteur
1
−
v
.
Donc il existe un entier relatif λ tel que 1 23 1 23
− = × λ ⇔ = − × λ
v v
Il vient alors pour l'autre entier u :
23
(
)
(
)
47 12 47 23× −× + = = ×vu
47 2
× λ ⇔ = × λ −
u
Toutes les solutions de (E) sont de la forme
(
)
47 2;1 23
× λ − − × λ
où λ est un entier
relatif quelconque.
Seconde phase : réciproquement, tout couple de la forme
(
)
47 2;1 23
× λ − − × λ
est-il
solution de (E) ?
Pour tout entier relatif λ, nous pouvons écrire :
(
)
(
)
23 47 2 47 1 23 1081× × λ − + × − × λ = × λ 46 47 1081− + − × λ
1
=
La réponse est : Oui !
Conclusion : les solutions de l'équation diophantienne
: 23 47 1
× + × =
x y(E) sont les
couples d'entiers de la forme
(
)
47 2;1 23
× λ − − × λ
où λ est un entier relatif.
1.c) En déduire qu'il existe un unique entier x appartenant à A tel que
(
)
23 1 47
≡x .
Là encore, nous allons procéder en deux phases.
Première phase : si un tel entier existe, à quoi ressemble-t-il ?
Soit u un entier de l'intervalle
1; 46
solution de l'équation
(
)
23 1 47
≡x .
Comme
(
)
23 1 47
≡u , alors 47 et par conséquent
47
−
divisent la différence
23 1
−
u
.
Donc, il existe un entier relatif v tel que :
23 1 47 23 47 1
× − = − × ⇔ × + × =
u v u v
Donc le couple
(
)
;
u v
est une solution de l'équation (E).
D'après le résultat de la question 1.b, l'entier u est alors de la forme
47 2
= × λ −
u
où λ est un entier relatif quelconque.
Or, l'entier u qui appartient à l'ensemble A, est compris entre 1 et 46. Il vient alors :
1 46 1 47 2 46 3 47 48
3 48 1
1 0 2
47 47 47
≤ ≤ ⇔ ≤ × λ − ≤ ⇔ ≤ × λ ≤
⇔ ≤ λ ≤ = + ⇒ < λ <
u
L'entier relatif λ étant strictement compris entre 0 et 2, il ne peut être qu'égal à 1. Ainsi :
47 1 2 47 2 45
= × − = − =
u
Ainsi, dans l'ensemble A, seul 45 peut être solution de l'équation
(
)
23 1 47
≡x .
Mais rien ne dit qu'il le soit !
Seconde phase : 45 est-il une solution de l'équation
(
)
23 1 47
≡x ?
23 45 1035 1 22 47 1 modulo 47
× = = + × ≡
Conclusion : L'équation
(
)
23 1 47
≡x a une seule solution dans l'ensemble A : 45.
2. Soient a et b deux entiers relatifs
2.a) Montrer que si
0 modulo 47
× ≡a b alors
0 modulo 47 ou 0 modulo 47
≡ ≡a b
Si
0 modulo 47
× ≡a b , alors 47 divise la différence 0
× − = ×
a b a b
.
Là, de deux choses l'une :
 Soit 47 divise a et alors naturellement, a est congru à 0 modulo 47.
 Soit 47 ne divise pas a.
47 étant un nombre premier, cela implique que le diviseur 47 est premier avec
le facteur a.
Comme 47 divise le produit
×
a b
et qu'il est premier avec le facteur a,
alors 47 divise nécessairement l'autre facteur b en vertu du théorème de Gauss.
Et comme 47 divise b, alors nous avons naturellement :
0 modulo 47
≡b
Conclusion : si
0 modulo 47
× ≡a b alors
0 modulo 47 ou 0 modulo 47
≡ ≡a b

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2.b) En déduire que :
si
2
1 modulo 47
≡a alors
1 modulo 47 ou 1 modulo 47
≡ ≡ −a a
Raisonnons modulo 47 :
( ) ( )
2 2
Si 1 modulo 47 alors 1 0 modulo 47
alors 1 1 0 modulo 47
alors 1 0 modulo 47 ou 1 0 modulo 47
alors 1 modulo 47 ou 1 modulo 47
≡ − ≡
− × + ≡
− ≡ + ≡
≡ ≡ −
a a
a a
a a
a a
Allons un peu plus loin. Même si ce n'est pas demandé, la réciproque est évidente.
( )
2 2
2
2
Si 1 modulo 47 alors 1 1 modulo 47
Si 1 modulo 47 alors 1 1 modulo 47
≡ ≡ ≡
≡ − ≡ − ≡
a a
a a
En conclusion, nous avons l'équivalence :
2
1 modulo 47 1 modulo 47 ou 1 modulo 47
≡ ⇔ ≡ ≡ −a a a
Nous réutiliserons ce résultat non demandé par la suite...
3.a) Montrer que pour tout entier p de A, il existe une entier relatif q par lequel
1 modulo 47
× ≡p q
Soit p un entier appartenant à l'ensemble A, c'est-à-dire un entier compris entre 1 et 46.
Comme 47 est un nombre premier, alors il est premier avec chacun des entiers naturels
qui le précèdent. Donc en particulier avec p.
Comme les entiers p et 47 sont premiers entre eux, alors, en application du théorème de
Bezout, il existe deux entiers relatifs u et v tel que :
47 1
× + × =
p u v
Modulo 47, cette égalité devient :
1 47 1 modulo 47
× = − × ≡p u v
Conclusion : pour tout entier naturel p compris entre 1 et 46, il existe un entier q tel que :
1 modulo 47
× ≡p q
Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier noté
(
)
inv
p
appartenant à A tel que :
(
)
inv 1 modulo 47
× ≡p p
Par exemple :
(
)
( )
( )
inv 1 1 car 1 1 1 modulo 47
inv 2 24 car 2 24 1 modulo 47
inv 3 16 car 3 16 1 modulo 47
48
48
= × ≡
= × ≡
≡== ×
=
3.b) Quels sont les entiers p de A qui vérifient
(
)
inv=
p p
?
Nous recherchons les entiers naturels compris entre 1 et 46 qui sont leurs propres
inverses modulo 47.
Procédons par équivalences...modulo 47 !
D'après l'équivalence établie lors de la quest
2
ion 2.c
est son propre inverse modulo 47 1 modulo 47
1 modulo 47
1 modulo 47 ou 1 modulo 47
⇔ × ≡
⇔ ≡
⇔ ≡ ≡ −
p p p
p
p p
Dans l'intervalle des entiers
1; 46
=A :
Il existe seulement un entier congru à 1 modulo 47 : il s'agit de 1.
Il existe seulement un entier congru à
1
−
modulo 47 : il s'agit de 46.
Conclusion : dans l'ensemble A, seuls les entiers 1 et 46 sont leurs propres inverses.
3.c) Montrer que
46! 1 modulo 47
≡ − .
La factorielle
46! 1 2 3 46
= × × × ×
…
est le produit de tous les entiers naturels compris
entre 1 et 46.
Les inverses modulo 47 dans l'ensemble A, c'est comme les chaussettes dans un tiroir, ça
marche par deux.
Comprenez que pour tout entier naturel p dans A, il existe un unique autre entier q de A
tel que :
1 modulo 47 et sont les inverses l'un
de l'autre modulo 47
× ≡ ⇔ p q p q
Mais ce que nous disons là doit cependant être nuancé.
En effet, 1 et 46 étant leurs propres inverses, il sera difficile de faire de leur trouver une
âme soeur pour constituer une paire d'inverses.
Par contre, les quarante-quatre entiers compris entre 2 et 45 ont eux un inverse compris
entre 2 et 45 qui leur est différent.
Ces quarante-quatre entiers entre 2 et 45 vont former vingt-deux couples d'inverses,
c'est-à-dire vingt-deux produits tous congrus à 1 modulo 47.
Avec tous ces accouplements, la factorielle de 46 se simplifie alors grandement :
Avec ces quarante-quatre nombres,
nous constituons vingt-deux couples
sur le principe : un nombre son inverse
Vingt-deux couples
"un nombr
46! 1 2 3 4 43 44 45 46 modulo 47
1 1 1 1
×
≡ × × × × × × × ×
≡ × × × × …
…
e son inverse"
Autant de facteurs 1.
46 modulo 47
1 1 46 46 1 modulo 47
×
×
≡ × × ≡ ≡ −
D'où ce qui était demandé
D'après le résultat
de la question
précédente
inv(p) est
l'inverse de p
modulo 47